全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)无答案5804.pdf

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1、2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）1计算yxyxxyyxDdd1)1ln()(_，其中区域D由直线1 yx与两坐标轴所围成三角形区域.2设)(xf是连续函数，且满足2022d)(3)(xxfxxf,则)(xf_.3曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是_.4设函数)(xyy 由方程29ln)(yyfexe确定，其中f具有二阶导数，且1 f，则22ddxy_.二、（5 分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.三、（15 分）设函数)(xf连续，10d)()(txtfxg，且Axxfx)(lim0，

2、A为常数，求)(xg并讨论)(xg在0 x处的连续性.四、（15 分）已知平面区域0,0|),(yxyxD，L为D的正向边界，试证：（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe.五、（10 分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10 分）设抛物线cbxaxyln22过原点.当10 x时,0y,又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为31.试确定cba,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15 分）已知)(xu

3、n满足),2,1()()(1nexxuxuxnnn,且neun)1(,求函数项级数1)(nnxu之和.八、（10 分）求1x时,与02nnx等价的无穷大量.2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、（25 分，每小题 5 分）（1）设22(1)(1)(1),nnxaaa其中|1,a 求lim.nnx（2）求21lim1xxxex。（3）设0s，求0(1,2,)sxnIex dx n。（4）设函数()f t有二阶连续导数，221,(,)rxyg x yfr，求2222ggxy。（5）求直线10:0 xylz与直线2213:421xyzl的距离。二、（15 分）设函数()f x在(,)上

4、具有二阶导数，并且 ()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfx且存在一点0 x，使得0()0f x。三、（15 分）设函数()yf x由参数方程22(1)()xtttyt 所确定，其中()t具有二阶导数，曲线()yt与22132tuyedue在1t 出相切，求函数()t。四、（15 分）设10,nnnkkaSa证明：（1）当1时，级数1nnnaS收敛；（2）当1且()nsn 时，级数1nnnaS发散。五、（15 分）设l是过原点、方向为(,)，（其中2221)的直线，均匀椭球 2222221xyzabc，其中（0,cba密度为 1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于

5、方向(,)的最大值和最小值。六、(15 分)设函数()x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分422()cxydxx dyxy的值为常数。（1）设L为正向闭曲线22(2)1,xy证明422()0;cxydxx dyxy（2）求函数()x；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()cxydxx dyxy。2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一 计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）（1）.求11 cos0sinlimxxxx；（2）.求111lim.12nnnnn；（3）已知2ln 1arctanttxeyte，求22d

6、ydx。二（本题 10 分）求方程2410 xydxxydy的通解。三 （本 题 15 分）设 函 数 f(x)在 x=0 的 某 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数，且 0,0,0fff均不为 0，证明：存在唯一一组实数123,k k k，使得 12320230lim0hk f hk fhk fhfh。四（本 题17分）设2221222:1xyzabc，其 中0abc，2222:zxy，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。五（本题 16 分）已知 S 是空间曲线22310 xyz绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z）取上侧，是 S 在,P x

7、y z点处的切平面，,x y z是原点到切平面的距离，,表示 S 的正法向的方向余弦。计算：（1）,SzdSx y z；（2）3Szxyz dS 六（本题 12 分）设 f(x)是在,内的可微函数，且 fxmfx、，其中01m，任 取 实 数0a，定 义1ln,1,2,.,nnaf an证 明：11nnnaa绝对收敛。七（本题15分）是否存在区间0,2上的连续可微函数f(x)，满足 021ff，201,1fxf x dx、？请说明理由。第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、（本大题共 5 小题，每小题 6 分共 30 分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤）(1)求极限21)!(limnn

8、n(2)求通过直线034550232:zyxzyxl的两个互相垂直的平面1和2，使其中一个平面过点)1,3,4(。(3)已知函数byaxeyxuz),(，且02yxu。确定常数a和b，使函数),(yxzz 满足方程02zyzxzyxz(4)设函数)(xuu 连续可微，1)2(u，且udyuxudxyx)()2(3在右半平面与路径无关，求),(yxu。(5)求极限dttttxxxxcossinlim13 二、（本题 10 分）计算dxxexsin20 三、求方程50121sin2xxx的近似解，精确到 0.001.四、（本题 12 分）设函数)(xfy 二阶可导，且0)(xf，0)0(f，0)0

9、(f，求uxfufxx330sin)()(lim，其中u是曲线)(xfy 上点)(,(xfxP处的切线在x轴上的截距。五、（本题 12 分）求最小实数C，使得满足1)(10dxxf的连续函数)(xf都 有 Cdxxf)(10 六、（本题 12 分）设)(xf为连续函数，0t。区域是由抛物面22yxz 和球面2222tzyx)0(z所围起来的部分。定义三重积分 dvzyxftF)()(222 求)(tF的导数)(tF 七、（本题 14 分）设nna1与nnb1为正项级数，证明：（1）若01lim11nnnnnbbaa，则级数nna1收敛；（2）若01lim11nnnnnbbaa，且级数nnb1发

10、散，则级数nna1发散。第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、解答下列各题（每小题 6 分共 24 分，要求写出重要步骤）1.求极限2lim 1 sin14nnn.2.证明广义积分0sin xdxx不是绝对收敛的 3.设函数 yy x由323322xx yy确定，求 y x的极值。4.过曲线30yx x上的点 A 作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为34，求点 A 的坐标。二、（满分 12）计算定积分2sinarctan1 cosxxxeIdxx 三、（满分 12 分）设 f x在0 x 处存在二阶导数 0f，且 0lim0 xfxx。证明：级数11nfn收敛。四、（满分 12

11、 分）设 ,0fxfxaxb，证明 2sinbaf x dxm 五、（满分 14 分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分33323Ixx dydzyy dzdxzz dxdy。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。六、（满分 14 分）设 22aaCydxxdyIrxy，其中a为常数，曲线C为椭圆222xxyyr，取正向。求极限 limarIr 七（满分 14 分）判断级数1111212nnnn的敛散性，若收敛，求其和。五、向量代数和空间解析几何 1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标

12、表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.、解析几何部分 一、向量与坐标 1.向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2.坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3.向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4.向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算

13、性质、计算方法及应用.5.应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程 1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线 1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4.根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、

14、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论 1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.