全国统一高考数学真题及逐题详细解析理科—海南卷1552.pdf

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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（新课标卷）第卷 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合0,1,2M ，2|320Nx xx，则MN()A1 B2 C0,1 D1,2 2设复数12,z z在复平面内的对应点关于虚轴对称，12zi，则12z z（）A5 B5 C4i D4i 3设向量,a b满足|10ab，|6ab，则a b()A1 B2 C3 D5 4钝角三角形ABC的面积是12，1AB，2BC，则AC()A5 B5 C2 D1 5某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是075，连续两天优良的

2、概率是06，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A08 B075 C06 D0 45 6如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A 1727 B 59 C 1027 D 13 7执行右图程序框图，如果输入的,x t 均为 2，则输出的S（）A4 B5 C6 D7 8设曲线ln(1)yaxx在点(0,0)处的切线方程为2yx，则a（）A0 B1 C2 D3 结束 输出S 1M，3S 开始 输入x，t 是 否 9设

3、,x y满足约束条件70,310,350.xyxyxy 则2zxy的最大值为（）A10 B8 C3 D2 10设F为抛物线2:3C yx的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于,A B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（）A3 34 B9 38 C6332 D94 11 直三棱柱111ABCABC中，90BCA，M N,分别是1111AB AC,的中点，1BCCACC，则BM与AN所成的角的余弦值为（）A110 B25 C3010 D22 12 设函数()3sinxf xm 若存在()f x的极值点0 x满足22200()xf xm，则m的取值范围是（）A,66,B,44,C,22,D,14,

4、第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生必须做答第 22 题第 24题为选考题，考生根据要求做答 二填空题 1310()xa的展开式中，7x的系数为15，则a _(用数字填写答案)14函数()sin(2)2sincos()f xxx的最大值为_ 15已知偶函数()f x在0,)单调递减，(2)0f若(1)0f x，则x的取值范围是_ 16设点0(,1)M x，若在圆22:1O xy上存在点N，使得45OMN，则0 x的取值范围是_ 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分）已知数列na满足11a，131nnaa（）证明

5、12na 是等比数列，并求na的通项公式；（）证明：1211132naaa 18（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PAABCD平面，E 为 PD 的中点 （）证明：PBAEC平面；（）设二面角DAEC为 60，1AP ，3AD ，求三棱锥EACD 的体积 19（本小题满分 12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 29 33 36 44 48 52 59（）求y关于的线性

6、回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121niiiniittyybtt，aybt 20（本小题满分 12 分）设12,F F分别是椭圆22221xyab（0ab）的左右焦点，M 是 C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF与 C 的另一个交点为 N（）若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率；（）若直线 MN 在y 轴上的截距为 2，且1|5|MNF N，求,a b 21（本小题满分 12 分）已知函数()2xx

7、f xeex。（）讨论()f x 的单调性；（）设()(2)4()g xfxbf x，当0 x 时，0g x,求b的最大值；（）已知1.414221.4143，估计2ln 的近似值（精确到 0.001）。22（本小题满分 10）选修 41：几何证明选讲 如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O 相交于点 B，C，2PCPA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E证明：（）BEEC；（）22AD DEPB。23（本小题满分 10）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为2cos

8、，0,2（）求 C 的参数方程；（）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线:32l yx垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定 D 的坐标 24（本小题满分 10）选修 4-5：不等式选讲 设函数1()|f xxxaa（0a ）。（）证明：()2f x；（）若(3)5f，求a的取值范围参考答案 一、选择题 1D 解析 1：直接检验法 把0,1,2M 中的数，代入不等式2320 xx，经检验1,2x 满足。解析 2：把 0，1，2 代人2203xx验证，只有 1，2 满足不等式，故选 D.考点：考查集合与一元二次不等式的知识，简单题.2A.解析：12iz 与2z 关于虚轴对称，12(2

9、i)(2i)5z z ，故选 A.解析 2：考察复平面坐标与复数一一对应，12zi对应点(2,1)关于虚轴（y 轴）对称点为(2,1)，因此22122,45zi z zi 考点：考查复数的基本知识，简单题.3A.解析：|10,|6abab 1a b，故选A.解析 2：考察向量的运算，是课本上的原型，222210abaa bb（1）同理有22226abaa bb（2），(1)-(2)=44a b即1a b 考点：考查平面向量的数量积，中等题.4B.解析 1：ABC 面积为12，1,2ABBC 11212sinsin45,135222BBB 当 B=45时，此时，AC=AB=1,故 A=90，这与

10、ABC 为钝角三角形矛盾.当 B=135时，2222cos135122 125252BCACACABBCAB ，故选B.解析 2：因为111sin2 1 sin222ABCSacBB，所以2sin2B，所以4B，或34B。当4B时，经计算ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。所以34B，使用余弦定理，得2222cosbacacB5。解析 3：考察三角形面积公式与余弦定理的简单应用，11sin22SAB BCABC则有2sin2ABC，因此当4ABC时2222cos1ACABBCAB BCABC，AC=1 注意此时为等腰直角三角形不合题意舍去，当34ABC时 2222cos5ACABBCAB

11、 BCABC，5AC（大边对大角）满足条件 考点：考查正余弦定理的应用，中等题.5A.解析 1：设第 i 天空气优良记着事件iA，则1(A)0.75,(A A)0.6(i1,2,)iiiPP,第 1 天空气优良，第 2 天空气也优良这个事件的概率为 12211()0.60.8(|).75)0A APAAPPA，故选 A.解析 2：考察独立事件的概率乘法，设某一天空气优良为事件 A,后一天空气优良概 B，则根据概率乘法有连续两天空气优良()()()P ABP AP B，得()0.8P B 考点：考查条件概率的概率，简单题.6C.解析 1：毛胚的体积23654V 制成品的体积 221322434V

12、 切削掉的体积与毛胚体积之比为：13454101127VV ，故选 C.解析 2：因为加工前的零件半径为 3，高为 6，所以体积19654v。因为加工后的零件，左半部分为小圆柱，半径 2，高为 4，右半部分为大圆柱，半径为 3，高为 2，所以体积2449234v。所以，削掉部分的体积与原体积之比等于5434105427。解析 3：三视图，注意三视图位置为（正，侧，俯）由图可以看出相当于一个平躺的圆柱（底面圆的半径为 3，高为 6）外侧消掉一部分（剩余部分小圆柱底面半径为 2，高为 4，大圆柱底面半径为 3，高为 2）则原毛坯的体积为54V原，剩余部分体积为161834V剩，因此20105427

13、VV削毛 考点：考查三视图于空间几何体的体积，中等题.7D.解析 1：第 1 次循环，1221M，235S，2k；第 2 次循环，2222M，257S，3k。退出循环，7S。解析 2：简单的程序框图，但由于变量涉及到 5 个，容易出错，同时一定要注意每一步执行的顺序根据流程图模拟运算有第一次结果2,5,2MSk，第二次结果2,7,3MSk，此时kt不成立退出循环，输出7S 考点：考查算法的基本知识，简单题.8D.解析 1：考察导数的几何意义，复合函数求导1,(0)12,31yayaax 解析 2：因为曲线ln(1)yaxx在点(0,0)处的切线方程为2yx，又因为11yax 所以01|20 1

14、xya，解得3a，故选 D.考点：考查导数的几何应用，中等题.9B 解析 1：考察线性规划问题，通过对应方程两两联立得交点分别为(5,2)，(3,4)，（1,2）经检验都在可行域内，因此max5,2,8xyz 解析 2：画出可行域，如右图：可行域为ABC，计算得：(3,4)A，(5,2)B，(2,1)C。因为：()2 342z A ，()2 528z B ，()2 2 13z C ，所以2zxy的最大值为 8 解析 3：作出x，y满足约束条件70310350 xyxyxy 表示的平面区域如图阴影部分：做出目标函数0l：2yx，2yxz，当2yxz的截距 最小时，z有最大值。当2yxz经过C点时

15、，z有最大值。由31070 xyxy 得：(5,2)C 此时：z有最大值2 528，故选 B 解析 4：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.10D 解析 1：23yx 抛物线 C 的焦点的坐标为：()3,04F 所以直线AB的方程为：330an)t(4yx 故233()343xyyx 从而2122161689012xxxx 弦长12|=3122xxAB 又O点到直线4 3:430ABxy 的距离2238(43=3)4d 13129428OABS,故选 D.解析 2：过点3(,0)4F且倾斜角为30的直线AB的方程为33()34yx。由33()34yx，得334xy，将334xy

16、代入23yx，消去x，整理得293 304yy。由弦长公式得，2121221|1()4AByyy yk12。直线AB的一般式方程为4 3123 30 xy，原点O到直线AB的距离|3 3|3848 144d。13912284ABCS。解析 3：考察抛物线的定义及三角形面积，由已知得焦点坐标为3(,0)4F，因此 AB 直线方程为33(),44 33034yxxy即，与抛物线方程联立化简得：联立方程得：2412 390yy，因此2()46ABABAByyyyy y同时113962244OABABSOF yy或者有2219210,2162ABxxxx又根据抛物线的定义有2131222ABABxxp

17、，同时根据原点到直线距离有高为223384(4 3)h，因此1924OABSAB h 解析 4：3(,0)4F，设11(,)A x y、22(,)B xy，直线AB的方程为33()34yx，代入抛物线方程得：22190216xx，12212xx，12916xx 由弦长公式得221212|(1)()412ABkxxx x 由点到直线的距离公式得：O到直线AB的距离2233|00|33483()(1)3d 13912284OABS 考点：综合考查抛物线的知识，弦长计算与分析直线和圆锥曲线位置关系的能力，难度为困难题.11C.解析 1：设 AC=2，330cos,|3065013AN BMAN BM

18、ANBM 故选 C.解析 2：C 分别以11111,C BCC A C,为,x y z轴，建立直角坐标系。不妨设12BCCACC，则(0,2,2)A，(2,0,2)B，(1,1,0)M，(0,1,0)N，所以(1,1,2)BM ，(0,1,2)AN。0 1430cos,10|65BM ANBM ANBMAN。解析 3：考察异面直线夹角问题，取 BC 中点 D，连结 MN,ND，由于111/2MNBCBC因此有/NDBM，则 ND 与 NA 所成夹角即为异面直线 BN 与 AN 夹角，设2BC，则6,BMND 5,5ANAD，因此22230cos210NDNAADANDND NA 解析 4：如图

19、所示，取BC的中点P，连结NP、AP M，N分别是11AB，11AC的中点，四边形NMBP为平行四边形，BMPNP 所求角的余弦值等于ANP的余弦值 不妨令12BCCACC，则5ANAP 6NPMB，222222|(5)(6)(5)30cos2|10256ANNPAPANPANNP 考点：考查空间夹角问题.中等题.12C.解析 1：3()3sin()cosxxf xfmmxm 令()0cos0()2xxxkkZmfm(21)2kmx，即f(x)的极值点0(2)1()2mxkkZ 存在f(x)的极值点0 x，满足22200()f xxm 2220(2)m31sin2xkmm 又222202sin

20、)(21)msinssinin(222()1kkxkmm 存在kZ，使得2212(2)m3km 存在kZ,使得223(2)141km 223(21)131|m|24414maxkm，故选 C.解析 2：考察三角函数的性质及特称命题与全称命题（正难则反）转化，以及关于不等式恒成立问题()3sin()f xxm的极值点即为三角型函数的最高或者最低点处的横坐标，由三角形性质可知22Tmm，因此0()2mxkm kZ,假设不存在这样的0 x，即对任意的0 x都有22200()xf xm，则22()32mkmm，整理得：223()()304f mmkk恒成立，即22334kkm，23()4f kkk最小

21、值为3(104k 或），22m 因此原特称命题成立的条件是2m 解析 3：()3cosxfxmm，令()3cos0 xfxmm得：1()2xmkkZ 01()2xmkkZ，又22200()xf xm，22221()3sin()22mkkm 即：22131()2mk，211()02k，故：0k 22131()2m，即：24m，故：2m 或2m 考点：考查导数与极值，三角函数，不等式的知识，为困难题.二、填空题 1312 解析：1010110(0(),1,10)rrrrTC xrxaa展开式的通项为 10()xa展开式中7x的系数为31031125C aa 考点：考查二项展开式的通项公式，简单题.

22、141 解析 1：()sin(2)2sincos()f xxx()sinf xx的最大值为 1.解析 2：考察两角和差的正弦公式，注意角的拆分()sin()2sincos()f xxx，又()sin()sin()coscos()sinf xxxx，因此()sin()coscos()sinsinf xxxx即最大值为 1 考点：本题考查和差角公式，为中等题.15(1,3)解析 1：考察偶函数的性质，对称区间单调性相反，数形结合易得212,13xx 解析 2：作出函数f(x)的示意图，如图所示 因为(1213)201xxf x 解析 3：特殊化，数形结合 因为偶函数 f x在0,单调递减，20f，

23、所以不妨画出图像如下：函数(1)f x的图像为：由图可知，不等式(1)0f x的解集为(1,3)。考点：本题考查函数的单调性与奇偶性.简单题.16 1,1 解析 1：数形结合，当(1,1)M时，恰好存在圆上（0,1）（1,0）两个点使得，45OMN结合图像，当 M 继续向右运动时，与圆上任意一点形成的夹角都小于 45 度，再结合对称性可得0 x范围在 1,1 解析 2：直线OM的斜率为01x，设直线MN的斜率为k，因为45OMN，所以001tan 45|11kxkx，解得0011xkx，或者0011xkx。当0011xkx时，直线MN的方程为00011()1xyxxx，整理得2000(1)(1

24、)10 xxxyx。为保证点N在圆O上，令圆心O到直线MN的距离1d，即20220011(1)(1)xxx，解得011x。当0011xkx时，同理可得011x。解析 3：设N点的坐标为,s(cos)in （1）当00,1x 时 0(,1)Mx点的坐标为 OM,MN的斜率分别为：001 s nc s,io1OMMNkxkx 45OMN 1tan45()1MNOMMNOMMNOMMNOMkkkkkkkk 即000011 sin1()11 sincoscos()xxxx 取正号时，化简（*）式得：2000(1)sin11()cosxxx 取负号化简（*）式得：2000(1)sin1(1)cosxxx

25、 2220000(1)(1)sin()1xxx 222400000(1)(1)11|1xxxxx 故0|2 时，在区间ln(102),(b bb 上()0g x.若32ln(1(2)224ln101bb bb ，令3214b，由()0g x，得 34ln2282(23)21822 8ln2212822318 下面进行误差估计：1.414221.4143 231.414230.6928121212888.316 18219.412828430.6934 符合精度要求的值为ln20.693(0.001)精确到.考点：本题考查利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论的能力及误差估计的思想，思路背景为

26、常规思路，构建函数()g x的图像即可，难度压轴题.22解析 1：（）连接AB，AC。由题设知PAPD，故PADPDA。因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而BEEC。因此BEEC。（）由切割线定理得2PAPB PC。因为PAPDDC，所以2DCPB，BDPB。由相交线定理得AD DEBD DC，所以22AD DEPB。解析 2：(I)连接OA,OD交BC于F,设PAD，因PA是O的切线，则90-EAOOEA 2,2PCPA PCPD PADPPDA是等腰三角形 PDAEDF (90)90EDFOEA OEBC故OE平分弧BC,从而 BE=EC.(II

27、)2,2PC PCPADPBP 22PAPBPD 由（I）知PDPA 222PAPAPBPBPA ()()DEBD DCBD PAPDPBPAAPADPAPB 把2PAPB代人上式，得222PAPBBPPBPB 22DEBADP 考点：考查与圆有关的角的知识和圆幂定理的应用.难度中等.23解析 1：（）C 的普通方程为 22(1)1xy（01y）。可得 C 的参数方程为 1 cos,sin,xtyt （为参数，0t ）。（）设(1 cos,sin)Dtt，由（）知 C 是以(1,0)G为圆心，1 为半径的上半圆。因为 C 在点 D 处切线与垂直，所以直线 GD 与的斜率相同，tan3t ，3t

28、。故 D 的直角坐标为(1cos,sin)33，即33(,)22。解析 2：（I）极坐标方程为2cos,0,2 22cos 对应的普通方程为：220()02xyxy，即22(01)1()xyy 对应的参数方程为0,sin1 cos,xy (II)设半圆的圆心为A，则A(1,0),又由（I）知，可以设 D 点坐标为(1cosn),si 直线DA的斜率tank 切线与直线32yx垂直 tan3=3(0,)3,sin231cos2 即D点坐标为3(3,22)考点：本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用，难度中等题.24解析 1：（）由0a ，有1()|f xxxaa11|()|2xxa

29、aaa。所以()2f x 。（）1(3)|3|3|faa。当3a 时，1(3)faa，由(3)5f得52132a。当03a时，1(3)6faa，由(3)5f得1532a。综上，a 的取值范围是15 521(,)22。解析 2：（I）()|()10af xxxaa 1111,2x,(12),aaaaxfxaaaxaxxaa ()f x在递增(,)a，在递减(-1)a，-，在1,aa上为常数()f x的最小值为()(1112)2f afaaaaa()2f x （II）（1）当3a 时，1(3)5faa 252215122510aaa 52123a （2）当03a时，2(3)61510faaaa 152a 或152a 故1532a 综上所述15 521(,)22a 考点：考查带有绝对值的不等式的应用能力，考查函数与不等式的关系，中等题.