2021年自招模拟卷(一)(教师版)15555.pdf

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1、自招模拟卷（一）1.计算：146 5146 5的值是_【答案】2 5【解析】146 5146 5142 45142 4535352 5 2.已知：2x 是220 xaxb的一个根，求22ab的最小值【答案】2【解析】将2x 代入方程可得4220ab，即2ba，2222222122abaaa，即22ab的最小值为 2 3.已知 p、q、r 都是正数，求证：关于 x 的三个方程：208qxpx，208rxqx，208pxrx至少有一个方程有两个不相等的正实数根【答案】略【解析】从反面考虑：假设三个方程都没有不相等的实数根，则：123020202qprqpr ，三式相加，得02pqr，与 p、q、r

2、 为正数矛盾，故其中必有一个方程有不等的实数根，不妨设方程208qxpx的两根为1x，2x，根据韦达定理有1208qxx，即1x，2x同号，又120 xxp，所以1x，2x均大于 0，综上所述，至少存在有一个方程有两个不等正实数根 4.若615325xyxyyxyx，则222245623xxyyxxyy的值是_ 【答案】92a 【解析】325xyyxy，222530 xxyy，230 xyxy，12xy 或3xy，又6153xxyyx，2218450 xxyy，3xy或15xy，3xy，2222222222456361569239632xxyyyyyxxyyyyy 5.a，b 是正数，并且抛物

3、线22yxaxb和22yxbxa都与 x 轴有公共点，则 22ab的最小值是_ 【答案】20 【解析】由题意，2180ab，22440ba，2ab，24088abbb，,a b都为正数，2b，2816ab，即4a，2220ab，当4,2ab取到最小值 6.求一个一元二次方程，使它的两根分别比方程23230 xx的两个根的平方多 1 【答案】2940400yy【解析】设23230 xx的两根分别为1x，2x，所求方程的根为1y，2y，由题意，得1223xx，121xx，222121212121122yyxxxxx x 22402239，2222212121212401119y yxxx xxx，

4、所求方程为24040099yy，即2940400yy 7.如图，在梯形 ABCD 中，/ADBC BCAD，90D，12BCCD，45ABE，10AE，求CE的长度【答案】4 或 6【解析】作DFAD交 DA 延长线于 F，延长 DC 至 H，使CHAF，连 BH，则90F，又90D，/ADBC，90C，四边形 ABCD 是矩形，又BCCD，四边形 ABCD 是正方形，BCBF，90CBF，在BCH和BFA中，90BCHBFA ，BCBF，CHFA，BCHBFA，BHBA，HBCABF，9045HBCEBCFBAEBCEBA ，45EBHHBCEBCEBA ，在EBH和EBA中，BEBE，EB

5、HEBA，BHBA，EBHEBA，10ECAFECCHEHEA，C E D B A F H 设CEx，则10AFCHx，又12DFCD，12DEx，2ADx，222DEADAE，22122100 xx，解得4CE 或 6 8.如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 上的点，AECF，连接 EF、BF，EF 与对角线 AC 交于点 O，且BEBF，2BEFBAC（1）求证：OEOF；（2）若2 3BC，求 AB 的长【答案】（1）略；（2）6【解析】（1）四边形 ABCD 是矩形，/ABCD，ABCD，90BAC，OAEOCF，OEAOFC，又AECF，OAEOCF，OEOF；（

6、2）连 OB，由（1）得OAEOCF，OAOC，又四边形 ABCD 是矩形，OAOB，BACOBA，又2BEFBAC，2BEFOBA，又BEBF，OEOF，OEEF，903BEFOBEOBE ，30OBE，30BAC，36ABBC A B C D O E F 9.如图，矩形 ABCD 中，6AD，7DC，菱形 EFGH 的三个顶点 E、G、H 分别在矩形 ABCD 的边 AB、CD、AD 上，2AH，连接 CF 当FCG的面积最小时，求 DG 的长【答案】37【解析】作FMCD交 CD 延长线于 M，延长 GH、BA 交于点 K，设DGx，四边形 ABCD 是矩形，/ABCD，90DHAEFM

7、G ，DGHHKA，又四边形 EFGH 是菱形，HEGFHG，/GHEF，HGFHEF，BEFHKA，HEAFGM，Rt HAERt FMG，2MFHA，1127722FCGSFM CGxx，222222DGDHHGHEHAAE，且7AE，2222427x，37x，7737FCGSx，FCG面积最小为737，此时37DG 10.已知 ABCD 是一个半径为 R 的圆的内接四边形，12AB，6CD，分别延长 AB 和 DC，它们相交于 P 且8BP，60APD，则 R 等于_ 【答案】2 21 【解析】由割线定理得，PA PBPC PD，K A B E D G C M F H A B C P D

8、 20 86PC PC，10PC，由60APD，20,10APPC，得90ACP，AD为直径，由勾股定理得223364 21ADACCD，2 21R 11.设 P n为两个骰子顶面上的数字之和为n的概率，求：12345_PPPPP【答案】518【解析】分别计算每个 P n的概率，12314110,2,3,4,536363612369PPPPP，51234518PPPPP 12.一个正三角形的外接圆的半径为 1，向该圆内随机投一点 P，求点 P 恰好落在正三角形外的概率【答案】43 34【解析】利用正弦定理，这个正三角形的边长为2 sin2sin603RA，这个正三角形的面积是：233 3344

9、，点 P 恰好落在正三角形外的概率是43 34 13.正整数 n 小于 100，并满足等式236nnnn ，其中 x表示不超过 x 的最大 整数，这样的正整数 n 有_个 【答案】16 【解析】由题意22nn ，33nn ，66nn ，236236nnnnnnnn ，22nn ，33nn ，66nn ，2n，3n，6n均为整数，即 n 为 6 的倍数，因此共有 16 个 14.甲乙两人相约 7 点到 8 点在某地会面，先到者等候另一人 20 分钟，过时离去，试求这两人能会面的概率【答案】30【解析】设 7 点为第 0 分钟，8 点为第 60 分钟，另设甲乙到达的时间分别为,x y，如图建立直角

10、坐标系，202020 xyxy，2020yxyx，阴影部分的面积为：224060220002，这两人能会面的概率是2000536009 15.若前 2017 个正整数的乘积122017能被2010k整除，则正整数k的最大值为_【答案】30 x y 20 40 20 40 60 60【解析】201023567，又2201730,20176767，2017!质因数分解中 67 的幂指数等于 30，k的最大值为 30【课后作业】1.（15 分）已知21a，2 26b，62c，那么 a、b、c 的大小关系是（）Aabc Bbac Ccba Dcab【答案】B【解析】12121a ，212 262 26

11、622b，416262624c，bac 2.（15 分）若22mn，22nm（mn），则332mmnn的值为（）A1 B0 C1 D2 【答案】D 【解析】由题意22mnnm，1mn，332222222mmnnm nmnn mmn 3.（15 分）反比例函数4yx 的图象与直线ykxb 交于1,1AmB n两点，则OAB的面积为（）A112 B4 C152 D132 【答案】C 【解析】4.1,xyAm，代入得，4m，同理，4n 1,44,1AB,利用面积公式得，915162 222ABCS 4.（15 分）从编号 1、2、3、4、5、6 的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编号都大于 2

12、的概率为_【答案】15【解析】显然这种抽取是不分顺序的，343615CC 5.（20 分）如图，以等腰Rt ABC的斜边 AB 为边作菱形 ABDE，使 D、E、C 三点在同一直线上，求CAE【答案】15【解析】作CFAB，EGAB，/CFEG，Rt ABC为等腰直角三角形，ACBC，BFAF，45BAC，12CFAB，四边形 ABDE 是菱形，AEAB，/GFEC，四边形 CEGF 是平行四边形，GECF，12GEAE，又90AGE，30EAG，15CAEBACBAE A C B D E F G 6.（20 分）如图，等腰ABC中，P 为底边 BC 上任意一点，过 P 作两腰的平行线 分别与 AB、AC 相交于 Q、R 两点，又P是 P 关于直线 RQ 的对称点 求证：P QBP RC 【答案】略 【解析】/PQAC，QPQB 又P是 P 关于直线 RQ 的对称点，QPQP，Q 为P BP的外心 同理，R 为P CP的外心 22 180360P QBP PBP PCP PCPP RPCRP RC ，且QPRPQBRC故P QBP RC A B C P R Q P