经济数学——微积分作业答案4006.pdf

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1、 1 天津科技大学高等数学（二）检测题 1-1答案 一、填空题 1.4,2；2.4,2()2,1(；3.2；4.2e1xy.二、选择题 1.(C)；2.（D）；3.（D）；4.(C)；5.(C).三、解答题 1.解：由1)1(2)1(22xxxxf，有 1)(2 xxf，所以，xxxxf21)1()1(22.所以，)1ln()(2xxxf在),(上是奇函数.2.解：)e()(xfxgf,1e,1,1e,0,1e,1xxx 即)(xgf.0,1,0,0,0,1xxx )(e)(xfxfg,1,e,1,e,1,e101xxx 即)(xfg.1,e,1,1,1,e1xxx 3.解：因为，xxfxf)

2、1()(3，)0(x （1）所以，令tx1，则xt1，故有ttftf1)()1(3，即 xxfxf1)1(3)(（2）联立方程（1）（2），解得xxxf8183)(.2 天津科技大学高等数学(二)检测题 1-2答案 一、填空题 1.2,2；2.),3 1,(；3.3,(；4.Q101000（100000 Q），101000Q（100000 Q）.二、选择题 1.（D）；2.(B).三、1.21,tanxvvuuy；2.xxvvuuy1,sin,22；3.xvuuyv1,e1,ln；4.xttvvuuy,sin1,arctan,.四、解答题 1.解：设成本函数为)(xC，收益函数为)(xR，利润

3、函数为)(xL，则)50)(200()200(50)200()()()(xxxxxxCxRxL.2.解：设卖出游戏机Q台时的成本函数为)(QC，收益函数为)(QR，利润函数为)(QL，则750050)607500(110)()()(QQQQCQRQL.（1）由0)(QL，得150Q，即卖出150台可保本；（2）当100Q时，2500)100(L，此时亏本2500元；（3）由1250L，即1250750050Q，得175Q，所以当生产175台时，可获利1250元.3.解：设所围圆锥底圆半径为r，由2222RRrRRr，用V表示所围圆锥的体积，则 22231rRrV222)22()22(31RRR

4、RR 22234)2(24R （20）.3 天津科技大学高等数学(二)检测题 2-1答案 一、填空题 1.nn1；2.112)1(nn；3.nn)1(1；4.（1）1；（2）0；（3）0；（4）不存在.二、选择题 1.(A)；2.(C)；3.(D)；4.(C)；5.(D).天津科技大学高等数学(二)检测题 2-2答案 一、填空题 1.0 xa；2.2；3.0；4.不存在；5.0.二、选择题 1.(B)；2.(B)；3.(D)；4.(B)；5.（A）.4 天津科技大学高等数学(二)检测题 2-3答案 一、填空题 1.1、1；2.0、1；3.0；4.2.二、选择题 1.(D)；2.(C)、(B)；

5、3.(D).三、计算题 1.解：2112lim)1)(1()2)(1(lim123lim11221xxxxxxxxxxxx.2.解：hhxhhxhxhxhh322033033lim)(lim 22203)33(limxhxhxh.3.解：21111lim)11(lim11lim000 xxxxxxxxx.4.解：2111lim)1)(1(1lim1211lim1121xxxxxxxxx.5.解：110101cos1sinlimcossinlimxxxxxxxxxx.6.解：因为01lim2xxx，而xarctan有界，所以0arctan1lim2xxxx.于是，2)02)(01(arctan1

6、211lim2xxxxx.7.解：11lim12/)121(lim112531lim2222nnnnnnnnnn.8.解：由21)1()(1lim)11(lim22xxaxabbbaxxxxx，有 ,2,01baa 得.3,1ba 5 天津科技大学高等数学(二)检测题 2-4答案 一、填空题 1.1；2.52；3.21；4.e1；5.4e1；6.2e.二、选择题 1.(D)；2.(C).三、计算题 1.解：212/)(limcos1lim200 xxxxxx.2.解：22111sin(1)111limlimlim114(1)(1)(1)xxxxxxxxxxx.3.解：ee1221lim1212

7、lim1122212xxxxxxxxx.4.解：2sin2210sin10e)21(lim)21(limxxxxxxxx.四、解答题 1.证明：设22212111nnnnxn，则nx nynnn1111222；nx nznnnnnnnnnn/1111112222，因为1limlimnnnnzy，所以112111lim222nnnnn.2.证明：显然数列nx有界，又nnnnxxxx)2(1，这表明数列nx单调增加，于是极限nnxlim存在.设axnnlim，对递推公式212nnnxxx两边取极限，有22aaa，解得1a（由数列nx单调增加，故0a舍去），所以1limnnx.6 天津科技大学高等数

8、学(二)检测题 2-5答案 一、填空题 1.),2()2,1()1,(、，1x；2.，0；3.1.二、选择题 1.（C）；2.（B）；3.（D）；4.（C）.三、计算题 1.解：原式2142lim0 xxx.2.解：原式21sinlim212sinlim020 xxxxxxx.3.解：原式22lim2222nnn.4.解：原式e1e)sin1(lim)sin1(lim212sinsin12021202222xxxxxxxx.（其中212sinlim220 xxx）.5.解：当且仅当)1()(lim1fxfx时，函数)(xf在1x点连续，由此有 22lim221xxbaxxx，首先01)(lim

9、21babaxxx，即ab1，于是，23221lim21lim2lim1221221axaxxxaaxxxxbaxxxxx，所以，4a、5b.7 天津科技大学高等数学（二）检测题 2-6答案 一、选择题 1.（D）；2.（B）.二、证明题 1.证明：令1sin)(xxxf，由于)(xf是初等函数，所以在,0上连续且01)0(f，01)(f.由零点定理得方程1sinxx在),0(内至少有一个实根.2.证明：设2/1ln)(xxxf，则函数)(xf在闭区间 1,2/1 上连续，又02ln)21(f，021)1(f，由零点定理知方程xx21ln在)1,21(内至少有一个实根，从而至少有一个不超过1的

10、正根.注：0)21(f也可以用0)(lim0 xfx替代.3.证明：记)()()(xgxfxF，由题设知)(xF在闭区间,ba上连续，且 0)()()(agafaF，0)()()(bgbfbF.若)()(agaf或)()(bgbf，则 可 取a或b，若)()(agaf，)()(bgbf，则得0)(aF，0)(bF.由闭区间上连续函数的零点定理，知至少存在一),(ba，使0)(F即)()(gf.综上：至少存在一,ba，使得)()(gf.4 证明：由函数)(xf在闭区间,1nxx上连续，则)(xf在闭区间,1nxx上有最小值m与最大值M，而Mnxfxfxfmn)()()(21，由介值定理推论有,1

11、nxx使得nxfxfxffn)()()()(21.8 天津科技大学高等数学（二）检测题 3-1解答 一、填空题 1.)(0 xf ；2.)0(f；3.4，1；4.012yx.二、选择题 1.(B)；2.（B）；3.（C）；4.（B）；5.（B）.三、解答题 1.解：11elim)0()(lim)0(00 xxfxffxxx；01coslim)0()(lim)0(00 xxxfxffxx，于是)(xf在0 x点不可导.0,si n,0,e)(xxxxfx 2.解：由于)0(01sinlim)(lim200fxxxfxx，故)(xf在0 x处连续.由导数定义，01sinlim01sinlim0)0

12、()(lim)0(0200 xxxxxxfxffxxx，所以，)(xf在0 x处可导.3.解：要使)(xf在1x处可导，必须)(xf在1x处连续，而 eelim)1(1xxf；babaxfx)(lim)1(1；baf)1(.由)1()1()1(fff，有e ba.又 axbabaxxfxffxx1)(lim1)1()(lim)1(01，e11)e(elim1)(elim1)1()(lim)1(1000 xxbaxfxffxxxxx.由)(xf在1x处可导，有)1()1(ff，得ea，此时0b.故当ea，0b时，函数)(xf在1x处可导.4.解：由极限1)(lim21xxfx存在，及)(xf在1

13、x点连续，则0)1(f，于是 22)1(111)1()(lim1)(lim121fxxfxfxxfxx，所以4)1(f.9 天津科技大学高等数学（二）检测题 3-2答案 一、填空题 1.11(3)2xx；2.1arctan2tansecxxxx；3.124xxxx；4.)1()1(22xfxfx.二、选择题 1.（D）；2.（A）；3.（B）；4.（D）.三、计算题 1.解：xxxxxxycos11)cos1()sin(sin)cos1(cos2.2.解：xxxxxxxxxytansec2sectansecsec2sec222.3.解：)1cot()1()1sin()1cos(xxxy.4.解

14、：2222222sin cossinsincos2sin2 sin2 sincosyxxxxxxxxxxx.5.解：xxxxxxxxxy1csc2221csc22e1cot1csc211cot1csc1csc2e.6.解：由ln(1)ln(1)yxx，所以 111111212(1)yxxxxxx.7.解：222222229118292 932 9919xxyxxxxx.8.解：22221211(1)211xyxxxx.10 天津科技大学高等数学（二）检测题 3-3答案 一、填空题 1.1e xxx；2.xln23；3.4)1(6x；4.0；5.)121112()2)(1(e12xxxxxxx.

15、二、选择题 1.（C）；2.（B）；3.（D）；4.（C）.三、计算题 1.解：xxye2，取xu e，2xv，由莱布尼茨公式，有，2)e(49502)e(100)e()98()99(2)100()()100(1000100)100(xxxkkkkxxvuCy )9900200(e2xxx.2.解：方程1sin xuu两边同时对x求导，有0ddddcosxuxuxuu，解得 uxuxucosdd，所以)cos)(1(dddddd2uxuuxuuyxy.3.解：方程两边对x求导，有xyxxyyyddeedd，得yxxyyyy2ee1edd；322222)2()3(e2e)2()3(e)2()dd

16、(e)2(ddeddyyyyyyxyyxyxyyyyyy.4.解：方程两边对x求导，有0eeeexxyyyyyx，当0 x时，得1)0(y，1e)0(y.切线方程为)0)(1e(1xy，即01)1e(yx.11 天津科技大学高等数学（二）检测题 3-4答案 一、填空题 1.充分必要；2.1；3.xd253；4sinsin(cos ln)dxxxxxxx；5.(1)ln 1xC，(2)Cx3e31.二、选择题 1.（B）；2.（B）.三、计算题 1.解：由)1(e22ee2dd2222xxxxxyxxx，得 xxxyxd)1(e2d2 2.解：xxxxxxxxyd1d1)1(11d222,xyx

17、d332d2/1 3.解：由原方程知当0 x 时1y，故 0d(ln3 1)dxyx 4解：方程两边同时求微分，有yxxyyxyxdd)dd(e，由原方程知，当0 x 时，0y，代入上式，得xyxdd0，所以1dd0 xxy 5.解：)()()(de)(ln)(lndee)(ln ddxfxfxfxfxfxfy xxfxfxxfxfd)(ln)()(lne)(12 天津科技大学高等数学（二）检测题 3-5答案 一、计算题 1.解：2()e(2)xfxxx；()2()EyxfxxExf x 2.解：e1()(1)xfxxx；()1()EyxfxxExf x 二、解：(1)总收益2105QRPQQ

18、；平均收益105RQRQ；边际收益d210d5RQQ；(2)202020d120;6;2dQQQRRRQ.三、解：(1)dd5PQPQP；(2)(3)0.61，说明当3P 时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，即3P 时，价格上涨，需求只减少 0.6%四、解：(1)d5d45PQPPEPQP；(2)当2P 时，57PE 13 天津科技大学高等数学（二）检测题 4-1答案 一、填空题 1abafbf)()(；2 二、选择题 1.（）；2.（C）；.（）；4.（B）；5.（A）三、证明题 1.证明：取函数xxxfarccosarcsin)(（11x），01111)(22xxxf，于是)(xf恒为常

19、数，设Cxf)(，又2)0(f，得2C，所以2arccosarcsinxx（11x）.证明：取函数tttfarctan)(，对任何0 x，则)(tf在闭区间,0 x上 连续，在开区间),0(x内可导，由拉格朗日定理知，存在),0(x，使得)0)()0()(xffxf，即01111arctan222xxxx，所以，当0 x时，xxarctan.证明：取1)(5xxxf，则)(xf在任何区间上连续且可导.若方程015 xx有两个不同实根1x、2x，不妨设1x2x，则 )()(21xfxf，由罗尔定理，有),(21xx使得0)(f，与对任何实数，015)(4f矛盾，所以方程015 xx不能有两个不同

20、的实根.4.证明：取函数xaxaxaxaxFnnnn12211)(,则)(xF在,00 x上连续，在),0(0 x内可导，且0)()0(0 xFF.由罗尔定理，有),0(0 x使得0)(f，而)(f122112)1(aaannannnn.即02)1(12211aaannannnn，这表明方程 02)1(12211axaxanxnannnn至少有一个小于0 x的正根.14 天津科技大学高等数学（二）检测题 4-2答案 一、填空题 132；2 10；3 21；4 21 二、选择题 1.（）；2.（D）三、计算题 1.解：原式12eelim2eelim2eelim0020 xxxxxxxxxxx.2

21、.解：原式2121elim1elim)1e(1elim0200 xxxxxxxxxxxx.3.解：原式=xxxxxxxxcossinlim1)sin1(cot1lim0201cos1limsinlim00 xxxxx 4.原式=)sin(cos23)3sin(3cos2lim31cos3coslim313sec3seclim2222222xxxxxxxxxxx xxxcos3coslim2xxxsin3sin3lim2=3.5.解：令tx21，则原式6elim6elim3elimelim23ttttttttttt.6.解：原式=,eelimlnsinlimlnsin0 xxxxoxx而 0si

22、nlimcossinlimcotcsc1limcsclnlim202000 xxxxxxxxxxxxxx，故原式=1e0 7.解：原式xxx1ln1elimxxx1lnlim1e，而111lim1lnlim11xxxxx，故原式1e 8.解：原式xxxx/)5eln(3elim,而 39e27elim53e9elim5e3elim)5eln(lim3333333xxxxxxxxxxxxxx,故原式3e 15 天津科技大学高等数学（二）检测题 4-3答案 一、填空题 1单调增加；2(,0；30 x；.1x；5.2，大 二、选择题 1.（）；2.（D）；3.（）；4.（A）；5.（A）三、解：定义

23、域为0 x，xxxy221，由0 y，得驻点为2x 列表为 单调增加区间是)0,(及)2，单调减少区间是2,0(；极小值为)2ln1(2)2(y，无极大值.四、解：定义域为)(，3325xxy，由0 y得驻点52x，另在0 x 点不可导列表为 单调增加区间是0,(及),5/2，单调减少区间是5/2,0；极大值为0)0(y，极小值为25203)52(3y.五、证明：令 11111,0222 1f xxx fxx，所以当0 x 时，函数 f x单调增加，故当0 x 时，00f xf，即1112xx.证明：令xxxfxln1e)(1，则1lne)(1xxfx,xxfx1e)(1 当1x时，0)(xf

24、，得)(xf 单调增加，于是0)1()(fxf；进而，有函数)(xf单调增加，所以0)1()(fxf，即 xxxln1e1 16 天津科技大学高等数学（二）检测题 4-4答案 一、填空题 1)e2,2(2；2.3,6；3 1(，及)2，21，；4.)0,3及),0(，3,(，)92,3(，0y，0 x.二、选择题 1（D）；2.（A）.三、定义域为),(，由0192353 xxy，得1x；又在0 x点y 不存在.列表为：于是上凹区间为01，上凸区间为 1(，及)0，；拐点是)01(，及)00(，.四、1.解:定义域为),(.奇函数,故图形关于原点对称.y222)1(1xx,322)1()3(2

25、xxxy.由0 y，得1x；由0 y得3,0 xx.由xylim=01lim2xxx，得水平渐近线0y，无铅直渐近线.17 2.解：定义域为0 x.xxxxyxy1412e12,0e1，由0 y，得21x.1elim1xx，水平渐近线1y；xx10elim铅直渐近线0 x，且0elim10 xx.18 天津科技大学高等数学（二）检测题 4-5答案 一、填空题 1.0,7；2.63；3.2,12；4.2.二、选择题 1（B）；2.（D）.三、解:设小院的宽为x,长为x50,则所需材料的长度为)0(502xxxy.32100,502xyxy.令0 y,得驻点5x.由0 y,知5x为极小值点.又驻点

26、惟一,故极小值点就是最小值点,即当小院的宽为 5m长为 10m时最省材料.四、解：收益函数为xxR15)(3ex，由5)(xR0e)3(3xx，得唯一驻点3x.在)30(，内，0)(xR；在)3(，内，0)(xR，于是3x是极大值点，也是最大值点.所以，该产品最大收益时的产量为3x，此时价格是e15)3(P，最大收益是e45)3(R.五.解:设利润为y,则3822qqy.由4,84 yqy.令0 y,得唯一驻点2q.由于0 y,故2q为3822qqy唯一的极大值点,即为3822qqy的最大值点.所以当产量2q(艘)时,利润为最大,最大利润为5)2(y(亿元).六、解:设p表示降价后的销售价,x

27、为降价后增加的销售量,)(xy为总利润.则bcpbx1.04.0,即xcbbp4,总利润函数)(4()(xcaxcbbxy.abxcbxy432)(.令 0 xy得 唯 一 驻 点.2)43(0bcabx由02)(cbxy,可知当bcabx2)43(0时,为)(xy极大值点.又驻点惟一,故极大值点就是最大值点,即当销售价定为bcab2)43(时可获最大利润.19 天津科技大学高等数学（二）检测题 4-6答案 一、填空题 1.1；2.211)1()1(nnnxx()10；3nnxxx)1()1()1()1(12 二、选择题 1.（A）；2.（B）三、解：由)(e)()(xkxfxk，（1,2,1

28、,0nnk）0)0(f，kfk)0()(nk,2,1),代入麦克劳林公式，得 1)1()(2)!1()(!)0(!2)0()0()0(e nnnnxxnxfxnfxfxffx 1321)!(e)1()!1(!2nxnxnxnnxxxx（)10 四、解：由kmkxkmmmxf)1)(1()1()()(，（1,2,1nnk）1)0(f,)1()1()0()(kmmmfk(nk,2,1),代入麦克劳林公式，得)(!)1()1(!2)1(1)1(2xRxnnmmmxmmmxxnnm，其中，11)!1()1)()1()(nnmnxnxnmmmxR，（10）.五、解：设xytan，则xy2sec，xxyt

29、ansec22，xxxy422sec2tansec4 .2)0(,0)0(,1)0(,0)0(yyyy.于是，)(3)(!3)0(!2)0()0()0()(33332xoxxxoxyxyxyyxy ，所以，3)(33xxxP.六、由1)(lim00 xxxfxx得，1)(0)(00 xfxf，.由函数)(xf在0 xx 点的一阶泰勒公式20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf，有 0200)(21)(xxxxfxxxf.20 天津科技大学高等数学（二）检测题 5-1答案 一、填空题 1()f xC；231213yx；3lnarctanxxC；4Cxx2ln 二、选择题 1（D）；2

30、（C）；3（C）三、计算题 1 解：原式321212 ddln22xxxxCxx.2 解：原式 353222244128dd4d4d853xxxxxx xxxxxCxx.3 解：原式22cossind(cossin)dsincossincosxxxxxxxxCxx.4 解：原式22113d2d3arctan2arcsin11xxxxCxx.5 解：原式32272727d39d33xxxxxxx 3213927ln 332xxxxC.6 解：原式2d1tan2cos2xxCx.四、解：由12()5 15C xx，知 12()()d5 15d530C xC xxxxxxC 再由(100)50030

31、01800CC，知1000C，从而()5301000C xxx(元)21 天津科技大学高等数学（二）检测题 5-2答案 一、填空题 1Cx6)32(181；2Cxe2；3ln 2ln xC；4Cxx222；5 1sinarctan22xC 二、选择题 1（D）；2（D）三、计算题 1 解：原式CxxCxxxxxx12)1(ln2112ln211ln12d1d2.2 解：原式1 eed(1e)ddln(1e)1 e1 exxxxxxxxxC.3 解：原式Cxxx)arcsin(41)(1)(d414244 4 解：原式 Cxxxxxx32222)(arctan31)1ln(21arctand)(

32、arctan1)1(d21.5 解：原式2222sincosd(cos)(1cos)cosd(cos)xxxxxx 5311coscos53xxC.6 解：原式Cxxxxxcos213cos61d)sin3(sin21.或，原式22322 sincosd2 cosd(cos)cos3xx xxxxC .7 解：令txsin（22t），则 原式2cos ddtanarcsin1 cos1 cos211t tttxttCxCttx 8 解：设tan ()22xtt，则 原式23235secd1cosd(1 sin)d(sin)sinsinsec3t tt tttttCt 322313(1)xxCx

33、x 22 天津科技大学高等数学（二）检测题 5-3答案 一、填空题 12arcsin1xxCx；2Cxxxcoslntan；3lnxxxC；4(1)exxC 二、选择题 1（C）；2（D）三、计算题 1 解：令tx 21，则)1(212tx，ttxdd 于是，原式CxxCttttttt)211ln(211lnd)111(1d 2 解法一：令txx1，则221ttx，22)1(d2dtttx于是，原式CxxCttttttttt122d2)1(d2)1(222422 解法二：令tx2tan（20 t），则tttxdsectan2d2，于是，原式ttttttdsectansectantan1224

34、CxxCtt12csc2cottcsctd2 解法三：用倒代换，原式CxxCxxxxxx12/112/11)/11(d/11d2 注：此题还有其他作法，以上作法仅在于抛砖引玉 3 解：原式222d(sin)sin2 sin dsin2d(cos)xxxxxx xxxxx 22sin2 cos2 cos dsin2 cos2sinxxxxx xxxxxxC 4 解：原式Cxxxxxxxx)1ln(21arctand1arctan22 23 5 解：Cxxxxxxxxxx)2ln3(92)dln(32dln3223 6 解：设3xt，则3xt，于是 原式222e3 d3 e6e d3 e6 e6e

35、tttttttttttttC 33323(22)exxxC.7 解：原式 CxxxCxxxxxxx11ln1ln1lnd)1111(2 8 解：原式22dd222222xxxxxxx Cxxxxxxxxx)1arctan()22ln(1)1()1(d22)22d(2222 24 天津科技大学高等数学（二）检测题 6-1答案 一、填空题 1.必要，充分；2.6，51；3.4/；4.0；5.二、选择题 1.（A）；2.（A）；3.（B）；4.（A）.三、计算或证明 1.解：设xxf2sin1)(，由于2sin112x，并且，1)(f2)2(f，故函数xxf2sin1)(在区间454，上的最小值1m

36、，最大值2M，由定积分的估值定理，得 44515244(1 sin)dxx5244，即 5244(1 sin)dxx2.2证明：设441)(xxxf（10 x），则0)1(4)(243xxxf，于是)(xf在区间 10，上单调增加，在区间 10，上)(xf的最小值0)0(fm，最大值21)1(fM，区间长度1 ab由定积分的估值定理，得 211d01044xxx.3.证明：由定积分中值定理2121arctand1arctanxxxnn(1nn)，于是 01arctanlimd1arctanlim212xxxnnn.25 天津科技大高等数学（二）检测题 6-2答案 一、填空题 1.2ln37；2

37、.2ln；3.3；4.yxesin；5.412xx；6.4；7.1；8.)(d)(0 xxfttfx.二、选择题 1.（A）；2.（B）；3.（B）；4.（D）.三、计算或证明 1.解：当0 x时，0d0d)()(00 xxtttfxF；当10 x时，200d2d)()(xttttfxFxx；当1x时，1d0d2d)()(1100 xxtttttfxF.所以.1,1,10,0,0)(2xxxxxF 2.解：313lim3e1limdelimtandelim22020300200222xxxxtxxxtxxxxxtxxtx.3.证明：取xxxfxxF01d)(2)(，由已知)(xF在闭区间 1,

38、0上可导.0)(2)(xfxF，方程0)(xF在开区间)1,0(至多有一个实根；又01)0(F，10100d)(11d)(2)1(xxfxxfF（注 意1)(10dxxf），由零点定理的方程0)(xF在开区间)1,0(至少有一个实根.综 上：方 程0)(xF在 开 区 间)1,0(有 且 仅 有 一 个 实 根，即 方 程xxxfx01d)(2在开区间)1,0(有且仅有一个实根.26 天津科技大学高等数学（二）检测题 6-3答案 一、填空题 122；2.0；3.21e1；4.2ln；5.)1()2(xfxf.二、选择题 1.（C）；2.（B）.三、计算或证明 1.解：令tx，则ttxtxd2d

39、,2.于是 原式23ln12)1ln(2d11121d2212121ttttttt.2解：令txtan，则ttxdsecd2，于是 原式321lncotcsclndcsc3/4/3/4/tttt.3解：原式)12ln2(442ln8d2ln2414141xxxxx.4解：原式214arctan2181d21arctan2101022102xxxxxxx.5解：原式000dcos)(sin)(dsin)(xxxfxxfxxxf 3dsin)(cos)(dsin)(000 xxxfxxfxxxf.6.解：令1 xt，则20d)1(xxf1001111dd1d)(ttttttf 2ln32)1ln(

40、)1(3210012/3tt.四、证明：令tax，则txdd，于是 aaaaxxafttafttafxxf0000d)(d)(d)(d)(.27 天津科技大学高等数学（二）检测题 6-4答案 一、填空题 1.12；2.1；3.发散；4.1p.二、选择题 1.（D）；2.（B）；3.（A）；4.（A）.三、计算题 1.解：11elim2eelim0deede0000 xxxxxxxxxxxxx.所以，所以广义积分xxxde0收敛，且收敛于1.2.解：由0202)1ln(211dxxxx，得积分021dxxx发散，所以，广义积分21dxxx也是发散的.3 解：0 x为瑕点，2arctan2)(1)

41、d(2)1(d1010210 xxxxxx，所以，广义积分10)1(dxxx收敛于2.4.解：1x 为瑕点，由113200d11(1)2(1)xxx，得广义积分130d(1)xx发散，进而广义积分230d(1)xx是发散的.四、解：左式cccccxccxxxcxc2/eee)/1()/1(lim；右式cctctctccdtt222c-22e412e41e2e21e21.由，左式右式，有1412c，得25c.28 天津科技大学高等数学（二）检测题 6-5答案 一、填空题 1.61；2.2e1e；3.12；4.xxad)(22；343a；5.4x，32.二、选择题 1.(C)；2.(D)；3.(B).三、计算题 1.解：两条曲线交点为232yxyx，得（-3，-6），（1，2）23233d)23(1323132xxxxxxA.2 解：取y为积分变量，则2ln23)ln2(d)1(21221yyyyyA.3.解：5d104xxVx，2d)1(d)(1 102102yyyyVy.4.解：10()d22aaAaxbxbbA；2212220()d312aaVaxbxabbA 令006aaVa，则bA.又006aaV，且驻点唯一，因此当0,abA时，体积V取得最小值.