因式分解最全培优题6288.pdf

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1、 1 八年级数学培优因式分解 知识介绍：多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法本讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍（补充分组分解法和十字相乘法等）一、提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：在整式的乘法中，学过几个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，（1）(a+

2、b)(a-b)=a2-b2-a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(ab)2=a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；下面再补充三个常用的公式：(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3-a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3-a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；练习：（1）1)2(2)2(22xxxx （2）66yx 三、分组分解法：（一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式：bnbmanam 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也

3、不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=)()(bnbmanam =)()(nmbnma 每组之间还有公因式 =)(banm 例 2、分解因式：bxbyayax5102 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=)5()102(bxbyayax 原式=)510()2(byaybxax =)5()5(2yxbyxa =)2(5)2(baybax =)2)(5(bayx =)5)(2(yxba 练习：（1）bcaca

4、ba2 （2）1yxxy （二）分组后能直接运用公式 例 3、分解因式：ayaxyx22 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=)()(22ayaxyx =)()(yxayxyx =)(ayxyx 例 4、分解因式：2222cbaba 解：原式=222)2(cbaba =22)(cba =)(cbacba 练习：（1）yyxx3922 （2）yzzyx2222 四、十字相乘法：（一）二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的

5、乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式：652 xx 分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中发现只有 23 的分解适合，即 2+3=5。1 2 解：652 xx=32)32(2xx 1 3 =)3)(2(xx 12+13=5 关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的和要等于一次项的系数。练习：（1）24142xx （2）542 xx （3）1522yy （二）二次项系数不为 1 的二次三项式cbxax2 条件：（1）21aaa 1a 1c（2）21ccc 2a 2c（3）1221caca

6、b 1221cacab 分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa 1 例 6、分解因式：101132xx 分析：1 -2 3 -5 （-6）+（-5）=-11 解：101132xx=)53)(2(xx 练习：（1）6752 xx （2）101162yy （三）二次项系数为 1 的齐次多项式 例 7、分解因式：221288baba 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b 1 -16b 8b+(-16b)=-8b 解：221288baba=)16(8)16(82bbabba =)16)(8(baba 练习：(1)2223yxyx (2)228

7、6nmnm （四）二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 8、22672yxyx 例 9、2322 xyyx 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)=-7y (-1)+(-2)=-3 解：原式=)32)(2(yxyx 解：原式=)2)(1(xyxy 练习：（1）224715yxyx （2）8622 axxa 五、换元法：例 10、分解因式2005)12005(200522xx 解：设 2005=a，则原式=axaax)1(22=)(1(axax =)2005)(12005(xx 练习：222222)3(4)5()1(aaa 精选练习：（1）qpqp

8、m)(2 （2）3223yxyyxx （3）234352xxx （4）22151112yxyx （5）10)(3)(2yxyx （6）226baba （7）344)(2baba （8）3424422yxyxyx （9）2222)(2)(11)(12yxyxyx （10）222416xx 总结归纳：因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，学习本讲知识时，应注意以下几点：1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；1 7.因式分解的一般步骤是：通常采用一“提”、二“公”、三“其他”的步骤。即首先看有无公因式，其次看能否直接利用公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解、十字相乘等其他方法彻底分解；