专题1.1集合(讲)【解析版】43631.pdf

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1、 专题 1.1 集合 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。知识点 1：元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和。(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法。知识点

2、 2：集合间的基本关系(1)子集：若对任意 xA，都有 xB，则 AB 或 BA。(2)真子集：若 AB，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，则AB 或 BA。(3)相等：若 AB，且 BA，则 AB。(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。知识点 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 AB AB 若全集为 U，则集合 A 的补集为UA 图形表示 集合x|xA，或 xB x|xA，且 xB x|xU，且 xA 表示 知识点 4.集合的运算性质(1)AAA，A，ABBA。(2)AAA，AA，ABBA。(3)A(UA)，A(UA)U，U(UA

3、)A。【特别提醒】1.若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n个，真子集有 2n1 个。2.子集的传递性：AB，BCAC。3.ABABAABBUAUB。4.U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB)。考点一：集合的基本概念【典例 1】(2018全国卷)已知集合 A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则 A 中元素的个数为()A.9 B.8 C.5 D.4【答案】A【解析】方法一：由 x2y23 知，3x 3，3y 3.又 xZ，yZ，所以 x1，0，1，y1，0，1，所以 A 中元素的个数为 C13C139，故选 A。方法二：根据集合 A 的元素特征及圆的方程在坐标系

4、中作出图形，如图，易知在圆 x2y23 中有9 个整点，即为集合 A 的元素个数，故选 A。【规律方法】1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。3集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题。【变式 1】（(2019辽宁实验中学期中)已知集合 AxZ x1x20，则集合 A 的子集的个数为()A7B8C15D16【答案】B【解析】由x

5、1x20，可得(x1)(x2)0，且 x2，解得1x2.又 xZ，可得 x1,0,1，A1,0,1集合 A 的子集的个数为 238.考点二：集合间的基本关系【典例 2】(2019河北衡水中学调研)已知集合 Ax|x25x140，集合 Bx|m1x2m1，若 BA，则实数 m 的取值范围为_.【答案】(，4【解析】Ax|x25x140 x|2x7，当 B时，有 m12m1，则 m2。当 B时，若 BA，如图所示 则m12，2m17，m12m1，解得 2m4，综上，m 的取值范围为(，4。【方法技巧】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合 中含

6、有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法(2)要确定非空集合 A 的子集的个数，需先确定集合 A 中的元素的个数，再求解不要忽略任何非空集合是它自身的子集(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解【变式 2】(2019山东烟台一中调研)已知集合 M x xk44，kZ，集合 N x xk84，kZ，则()AMN BMN CNM DMNM【答案】B【解析】由题意可知，M x x2k484，k

7、Z x x2n84，nZ，N x x2k84或x2k184，kZ，所以 MN，故选 B。考点三：集合的运算【典例 3】(2019高考全国卷)已知集合 Mx|4x2，Nx|x2x60，则 MN()Ax|4x3 Bx|4x2 Cx|2x2 Dx|2x3【答案】C 【解析】方法一：因为 Nx|2x3，Mx|4x2，所以 MNx|2x2，故选 C.方法二：由通解可得 Nx|2x0，则RA()Ax|1x2 Bx|1x2 Cx|x2 Dx|x1x|x2【答案】B 【解析】方法一：Ax|(x2)(x1)0 x|x2，所以RAx|1x2，故选 B。方法二：因为 Ax|x2x20，所以RAx|x2x20 x|1

8、x2，故选 B。考点四：利用集合的运算求参数【典例 4】已知集合 Ax|x2x120，Bx|xm若 ABx|x4，则实数 m 的取值范围是()A(4，3)B3，4 C(3，4)D(，4【答案】B【解析】集合 Ax|x3 或 x4，因为 ABx|x4，所以3m4，故选 B。【方法规律】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)【变式 4】(2019四川绵阳一中模拟)设集合 A0，4，Bx|x22(a1)

9、xa210，xR若ABB，则实数 a 的取值范围是_【解析】因为 A0，4，ABB，所以 BA，分以下三种情况：当 BA 时，B0，4，由此可知，0 和4 是方程 x22(a1)xa210 的两个根，由根与系数的关系，得4（a1）24（a21）0，2（a1）4，a210，解得 a1；当 B且 BA 时，B0或 B4，并且4(a1)24(a21)0，解得 a1，此时 B0满足题意；当 B时，4(a1)24(a21)0，解得 a1。综上所述，所求实数 a 的取值范围是(，11。【答案】(，11 考点五：集合的新定义问题【典例 5】(2019湖南长沙一中模拟)若数集 Aa1，a2，an(1a1a2a

10、n，n2)具有性质 P：对任意的 i，j(1ijn)，aiaj与ajai两数中至少有一个属于 A，则称集合 A 为“权集”则()A1,3,4为“权集”B1,2,3,6为“权集”C“权集”中元素可以有 0 D“权集”中一定有元素 1【答案】B【解析】对于 A，由于 34 与43均不属于数集1,3,4，故 A 错误；对于 B，选 1,2 时，有 12 属于1,2,3,6，同理取 1,3，取 1,6，取 2,3 时也满足，取 2,6 时，有62属于1,2,3,6，取 3,6 时，有63属于1,2,3,6，所以 B 正确；由“权集”定义知 1a1a2an且ajai需要有意义，故不能有 0，故 C 错误

11、；如集合2,4，符合“权集”定义，但不含 1，所以 D 错误。【方法技巧】解决集合新定义问题的方法(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口。(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用。(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，

12、以达到快速判断结果的目的。【变式 5】已知集合 M(x，y)|yf(x)，若对于任意实数对(x1，y1)M，都存在(x2，y2)M，使得 x1x2y1y20 成立，则称集合 M 是“垂直对点集”给出下列四个集合：Mx，y y1x；M(x，y)|ylog2x；M(x，y)|yex2；M(x，y)|ysinx1 其中是“垂直对点集”的序号是()A B C D【答案】C【解析】记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由 x1x2y1y20 得 OAOB.对于，对任意 AM，不存在 BM，使得 OAOB.对于，当 A 为点(1,0)时，不存在 BM 满足题意对于，对任意 AM，过原点 O 可作直线 OBOA，它们都与函数 yex2 及 ysinx1 的图象相交，即满足题意，故选 C。