2020年中考数学第二轮重点难点题型突破二与切线有关的证明与计算45005.pdf

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1、1类型二 与切线有关的证明与计算例 1、如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 BC 上，BDDC，过点 D 作 DEAC，垂足为 E，O 经过 A，B，D 三点(1)求证：AB 是O 的直径；(2)判断 DE 与O 的位置关系，并加以证明；(3)若O 的半径为 3，BAC60，求 DE 的长【分析】：(1)连接 AD，证 ADBC 可得；(2)连接 OD，利用中位线定理得到 OD 与 AC平行，可证ODE 为直角，由 OD 为半径，可证 DE 与圆 O 相切；(3)连接 BF，先证三角形ABC 为等边三角形，再求出 BF 的长，由 DE 为三角形 CBF 中位线，即可求出 DE 的长【答案

2、】：(1)连接 AD，ABAC，BDDC，ADBC，ADB90，AB 为圆 O 的直径(2)DE 与圆 O 相切，证明：连接 OD，O，D 分别为 AB，BC 的中点，OD 为ABC的中位线，ODAC，DEAC，DEOD，OD 为圆的半径，DE 与圆 O 相切(3)ABAC，BAC60，ABC 为等边三角形，ABACBC6，连接 BF，AB 为圆 O 的直径，AFBDEC90，AFCF3，DEBF，D 为 BC 的中点，E 为 CF 的中点，即 DE 为BCF 中位线，在 RtABF 中，AB6，AF3，根据勾股定理得 BF 62323 3，则 DE12BF3 32例 2、如图，ABC 内接于

3、O，BD 为O 的直径，BD 与 AC 相交于点 H，AC 的延长线与过点 B 的直线相交于点 E，且AEBC.(1)求证：BE 是O 的切线；(2)已知 CGEB，且 CG 与 BD，BA 分别相交于点 F，G，若 BGBA48，FG 2，DF2BF，求 AH 的值【分析】：(1)证EBD90即可；(2)由ABCCBG 得BCBGABBC，可求出 BC，再由2BFCBCD 得 BC2BFBD，可求出 BF，再求出 CF，CG，GB，通过计算发现 CGAG，可证 CHCB，即可求出 AC.【答案】：(1)连接 CD，BD 是直径，BCD90，即DCBD90，AD，AEBC，CBDEBC90，B

4、EBD，BE 是O 切线(2)CGEB，BCGEBC，ABCG，又CBGABC，ABCCBG，BCBGABBC，即 BC2BGBA48，BC4 3，CGEB，CFBD，BFCBCD，BC2BFBD，DF2BF，BF4，在 RtBCF 中，CF BC2FB24 2，CGCFFG5 2，在 RtBFG 中，BG BF2FG23 2，BGBA48，BA8 2，AG5 2，CGAG，AACGBCG，CFHCFB90，CHFCBF，CHCB4 3，ABCCBG，ACCGBCBG，ACCBCGBG20 33，AHACCH8 33例 3、如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC 为O 的直径，过点 C

5、 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE 的中点，连接 DB，DC，DF.(1)求CDE 的度数；(2)求证：DF 是O 的切线；(3)若 AC2 5DE，求 tanABD 的值【答案】：(1)对角线 AC 为O 的直径，ADC90，EDC90(2)连接 DO，EDC90，F 是 EC 的中点，DFFC，FDCFCD，ODOC，OCDODC，OCF90，ODFODCFDCOCDDCFOCF90，DF 是O 的切线(3)EDCE90，DCADCE90，DCAE，又ADCCDE90，CDEADC，DCADDEDC，DC2ADDE.设 DEx，则 AC2 5x，AC2AD2DC

6、2ADDE，即(2 5x)2AD2ADx，整理得 AD2ADx20 x20，解得 AD4x 或 AD5x(舍去)，则 DC（2 5x）2（4x）22x，故 tanABDtanACDADDC4x2x23例 4、如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD，AC 分别交于点 E，F，且ACBDCE.(1)判断直线 CE 与O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若 tanACB22，BC2，求O 的半径【答案】：(1)直线 CE 与O 相切.理由如下：四边形 ABCD 是矩形，BCAD，ACBDAC，又ACBDCE，DACDCE，连接 OE，有 OA

7、OE，则DACAEODCE.DCEDEC90，AEODEC90，OEC90，即 OECE.又 OE 是O 的半径，直线 CE 与O 相切(2)tanACBABBC22，BC2，ABBCtanACB 2，AC 6.又ACBDCE，tanDCEtanACB22，DEDCtanDCE1.在 RtCDE 中，CE CD2DE2 3，设O的半径为 r，则在 RtCOE 中，CO2OE2CE2，即(6r)2r23，解得 r64例 5、如图，已知 AB 为O 的直径，AC 为O 的切线，OC 交O 于点 D，BD 的延长线交 AC 于点 E.(1)求证：1CAD；(2)若 AEEC2，求O 的半径【答案】：

8、(1)AB 为O 的直径，ADB90，ADOBDO90，AC为O 的切线，OAAC，OADCAD90，OAOD，OADODA，1BDO，1CAD(2)1CAD，CC，CADCDE，CDCACECD，CD2CACE，AEEC2，ACAEEC4，CD2 2，设O 的半径为 x，则 OA4ODx，在 Rt AOC 中，OA2AC2OC2，x242(2 2x)2，解得 x 2，O 的半径为 2例 6、如图，已知O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，且 BDBC，延长 AD到 E，且有EBDCAB.(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若 BC 3，AC5，求圆的直径 AD 及切线 BE 的长【答

9、案】：(1)连接 OB，BDBC，CABBAD，EBDCAB，BADEBD，AD 是O 的直径，ABD90，OAOB，BADABO，EBDABO，OBEEBDOBDABOOBDABD90，点 B 在O上，BE 是O 的切线(2)设圆的半径为 R，连接 CD，AD 为O 的直径，ACD90，BCBD，OBCD，OBAC，OAOD，OF12AC52，四边形 ACBD 是圆内接四边形，BDEACB，DBECAB，DBECAB，DBCADECB，35DE3，DE35，OBEOFD90，DFBE，OFOBODOE，52RRR35，R0，R3，AB AD2BD2 33，ACABBDBE，BE3 115例

10、7、如图，CD 是O 的直径，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 G，OGOC35，AB8.(1)求O 的半径；(2)点 E 为圆上一点，ECD15，将CE沿弦 CE 翻折，交 CD 于点 F，求图中阴影部分的面积5【答案】：(1)连接 AO，CD 为O 的直径，ABCD，AB8，AG4，OGOC35，设O 的半径为 5k，则 OG3k，(3k)242(5k)2，解得 k1 或 k1(舍去)，5k5，即O 的半径是 5(2)将阴影部分沿 CE 翻折，点 F 的对应点为 M，ECD15，由对称性可知，DCM30，S阴影S弓形CBM，连接 OM，则MOD60，MOC120，过点 M 作 MNCD于

11、点 N，MNMOsin605325 32，S阴影S扇形OMCSOMC120 523601255 3225325 34，即图中阴影部分的面积是25325 34例 8、如图，在 RtABC 中，ABC90，ABCB，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，点 E 是 AB 边上一点(点 E 不与点 A，B 重合)，DE 的延长线交O 于点 G，DFDG，且交 BC 于点 F.(1)求证：AEBF；(2)连接 GB，EF，求证：GBEF；(3)若 AE1，EB2，求 DG 的长【答案】：(1)连接 BD，在 RtABC 中，ABC90，ABBC，AC45，AB 为圆 O 的直径，ADB90，即 B

12、DAC，ADDCBD12AC，CBDC45，AFBD，DFDG，FDG90，FDBBDG90，又EDABDG90，EDAFDB，可证AEDBFD(ASA)，AEBF(2)连接 EF，BG，AEDBFD，DEDF，EDF90，EDF 是等腰直角三角形，DEF45，GA45，GDEF，GBEF(3)AEBF，AE1，BF1，在 RtEBF 中，EBF90，根据勾股定理得EF2EB2BF2，EB2，BF1，EF 2212 5，DEF 为等腰直角三角形，EDF90，cosDEFDEEF22，EF 5，DE 522102，GA，GEB6AED，GEBAED，GEAEEBED，即 GEEDAEEB，102GE2，GE2 105，则 GDGEED9 1010