泛函数学中的基本概念21457.pdf

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1、泛函 数学中的基本概念 有回答说：“泛函（functional）通常是指定义域为函数集，而值域为实数或者复数的映射，换句话说，它是从函数组成的一个向量空间到标量域的映射，它的输入为函数，而输出为标量。”这句话是对的吗？这个回答不准确。从无限流形到数域的映射也是泛函。换句话说，函数空间不一定是向量空间！函数：将 Rn 中的元素（向量）映射到实数轴 R1（一维线性空间）或者复平面。微积分学（包括复变函数论、实变函数论）对“函数”进行了透彻的研究。对于函数集合，比如 Rn 中的开集 Omega 上的全体连续函数，这个集合中每一个元素都是函数。如果在这个函数集合上引入拓扑结构，那么“集合”就成为“空间

2、”，称为“函数空间”。函数空间往往是无限维的线性拓扑空间。所谓“泛函分析”一般分为两个层次：线性泛函分析：研究的是无限维线性空间和线性映射。如果一个线性映射，将无限维空间中的元素映射到实数轴 R1（复平面也可），则称为“线性泛函”。线性泛函分析这门学科的目的就是：（1）.试图将线性代数的相关理论类比推广到无限维空间中去。在这方面最重要的结果就是 Hahn-Banach 定理和 Riesz 表示定理。（2）.由于无限维空间有界集不再是列紧集，“紧性”在分析学中是极其重要的。因此有必要研究无限维线性空间的拓扑，为此需要引入弱收敛、弱*收敛等概念。（3）.分析学研究空间与映射。因此除了在无限维空间引入不同的拓扑之外，线性泛函分析需要研究线性映射的性质。当然这里的线性映射不再局限于线性代数的有限维空间上的映射。这方面最重要的结果集中在 Baire 纲定理的一系列结果。非线性泛函分析：研究无限维“非线性”空间也就是无限维流形，以及非线性映射。如果一个非线性映射，将无限维空间中的元素映射到实数轴 R1（复平面也可），则称为“非线性泛函”。