李庆扬数值分析第五版第章与第章习题答案21477.pdf
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1、第 5 章 复习与思考题 1、用高斯消去法为什么要选主元哪些方程组可以不选主元 答:使用高斯消去法时,在消元过程中可能出现0kkka 的情况,这时消去法无法进行;即时主元素0kkka,但相对很小时,用其做除数,会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散,最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元,以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优(远大于同行或同列的元素)时,可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。2、高斯消去法与 LU 分解有什么关系用它们解线性方程组Ax=b有何不同A要满足什么条件 答:高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解,其中一
2、个为上三角矩阵 U,一个为下三角矩阵 L。用 LU 分解解线性方程组可以简化计算,减少计算量,提高计算精度。A 需要满足的条件是,顺序主子式(1,2,n-1)不为零。3、楚列斯基分解与 LU 分解相比,有什么优点 楚列斯基分解是 LU 分解的一种,当限定下三角矩阵 L 的对角元素为正时,楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定 具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长,切对角元素恒为正数,因此,是一个稳定的算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定 对角占优的三对角方程组 6、何谓向量
3、范数给出三种常用的向量范数。向量范数定义见 p53,符合 3 个运算法则。正定性 齐次性 三角不等式 设x 为向量,则三种常用的向量范数为:(第 3 章 p53,第 5 章 p165)11|niixx 12221|()niixx 1|max|ii nxx 7、何谓矩阵范数何谓矩阵的算子范数给出矩阵A=(ai j)的三种范数|A|1,|A|2,|A|,|A|1与|A|2哪个更容易计算为什么 向量范数定义见 p162,需要满足四个条件。正定条件 齐次条件 三角不等式 相容条件 矩阵的算子范数有 1|A|2|A|A|从定义可知,1|A|更容易计算。8、什么是矩阵的条件数如何判断线性方程组是病态的 答
4、:设A为非奇异阵,称数1(A)AAvvvcond(1,2,v)为矩阵 A 的条件数 当(A)1cond时,方程是病态的。9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异(1)矩阵行列式的值很小。(2)矩阵的范数小。(3)矩阵的范数大。(4)矩阵的条件数小。(5)矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有(1)、(2)注:矩阵的条件数小说明 A 是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小,不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题是否正确:(1)只要矩阵A非奇异,则用顺序消去法或直接 LU 分解可求得线性方程组Ax=b的解。答:错误,主元位置可能为 0,导致无法计算结果。(2)对称正定的线性方程组总是良态的。答:正确。(3)
5、一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答:正确。(4)如果A非奇异,则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。答:正确。解释:若 A|b 与 A 的秩相同,则 A 有唯一解。若不同,则 A无解。(5)如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素,则矩阵必奇异。(6)范数为零的矩阵一定是零矩阵。答:正确。(7)奇异矩阵的范数一定是零。答:错误,可以不为 0。(8)如果矩阵对称,则|A|1=|A|。答:根据范数的定义,正确。(9)如果线性方程组是良态的,则高斯消去法可以不选主元。答:错误,不选主元时,可能除数为 0。(10)在求解非奇异性线性方程组时,即使系数矩阵病态,用列主元消去法产生的误差也很小
6、。答:错误。对于病态方程组,选主元对误差的降低没有影响。(11)|A|1=|AT|。答:根据范数的定义,正确。(12)若A是n?n的非奇异矩阵,则 )(cond)(cond1AA。答:正确。A是n?n的非奇异矩阵,则 A 存在逆矩阵。根据条件数的定义有:1111111cond()cond()()AAAAAAAAAA 习题 1、设 A 是对称阵且011a,经过高斯消去法一步后,A 约化为21110AaaT,证明2A是对称矩阵。证明:设对称矩阵111211222212.nnnnnnaaaaaaAaaa,则经过 1 次高斯校区法后,有 1112111222122121111(1)1121212111
7、111121121222122111111121211111.0.0.0.0.nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 所以1122.Tnaaa 1212221221111121121211111.nnnnnnnnaaaaaaaaAaaaaaaaa 所以 A2 为对称矩阵。2、设 A 是对称正定矩阵,经过高斯消去法一步后,A 约化为()ijnAa,其中()ijnAa,(2)21()ijnAa;证明:(1)A 的对角元素0(1,2,)iiain;(2)2A是对称正定矩阵;(1)依次取nixTii,2,1,)0,0,1,0,0
8、,0(,则因为 A 是对称正定矩阵,所以有0AxxaTii。(2)2A中的元素满足),3,2,(,1111)2(njiaaaaajiijij,又因为 A 是对称正定矩阵,满足njiaajiij,2,1,,所以)2(11111111)2(jijijijiijijaaaaaaaaaa,即2A是对称矩阵。3、设kL为指标为k的初等下三角矩阵(除第k列对角元以下元素外,kL和单位阵I 相同),即 1,1.11.1kkkn kLmm 求证当,i jk时,kijkijLI L I 也是一个指标为 k 的初等下三角矩阵,其中ijI为初等置换矩阵。4、试推导矩阵A 的 Crout 分解 A=LU 的计算公式,
9、其中 L 为下三角矩阵,U 为单位上三角矩阵。本题不推导。参见书上例题。P147 页。5、设Uxd,其中U为三角矩阵。(1)就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式,并写出算法(2)计算解三角方程组Uxd的乘除法次数(3)设U为非奇异矩阵,试推导求1U的计算公式 本题考查求解公式的一般方法,可从第 n 个元素开始,逐步计算 n-1,1时对应的求解公式。解法,略。6、证明:(1)如果A是对称正定矩阵,则1A也是对称正定矩阵(2)如果A是对称正定矩阵,则A可以唯一地写成TAL L,其中L是具有正对角元的下三角矩阵 均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组 1231231
10、23123315183156xxxxxxxxx 并求出系数矩阵 A 的行列式的值 12331831111A 123315|1831151116A b 使用列主元消去法,有 123315|1831151116A b 1831151233151116 183115701537173106186 183115717310618670153 1831157173106186666600217 A 的行列式为-66 方程组的解为 X1=1,x2=2,x3=3 8、用直接三角分解(Doolittle 分解)求线性方程组的解 123123123111945611183451282xxxxxxxxx 本题考查
11、 LU 分解。解:1114561113451122A 10011031112L 11145611130609095700540U 9、用追赶法解三对角方程组bAx,其中 2100012100012100012100012A,00001b。解:追赶法实际为 LU 分解的特殊形式。设 U 为、单位上三角矩阵。有(1)计算i的递推公式 111/1/20.5cb 22221/()1/(2(1)(0.5)2/3cba 33332/()1/(2(1)(2/3)3/4cba 44443/()1/(2(1)(3/4)4/5cba (2)解 Ly=f 111/1/2yfb 2221221()/()(0(1)(1
12、/2)/(2(1)(0.5)1/3yfa yba 3332332()/()(0(1)(1/3)/(2(1)(2/3)1/4yfa yba 4443443()/()(0(1)(1/4)/(2(1)(3/4)1/5yfa yba 5554554()/()(0(1)(1/5)/(2(1)(4/5)1/6yfa yba (3)解UX=y 551/6xy 44451/5(4/5)1/61/3xyx 33341/4(3/4)1/31/2xyx 22231/3(2/3)1/22/3xyx 11122(1/2)2/35/6xyx 10、用改进的平方根法解方程组 654131321112321xxx。本题明确要
13、求使用平方根法进行求解。实际考查的 LDU 分解。见 P157 923,97,910321xxx。11、下列矩阵能否分解为LU(其中 L 为单位下三角阵,U 为上三角阵)若能分解,那么分解是否唯一。764142321A,133122111B,461561552621C。LU 分解存在的条件 一个可逆矩阵可以进行 LU 分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的 L 矩阵(或 U 矩阵)为单位三角矩阵,那么分解是唯一的。同理可知,矩阵的 LDU 可分解条件也相同,并且总是唯一的。即使矩阵不可逆,LU 仍然可能存在。实际上,如果一个秩为 k 的矩阵的前k 个顺序主子式不为零,那么它就可以进行
14、LU 分解,但反之则不然。解:因为 A 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1,0,-10,所以 A 不能直接分解为三角阵的乘积,但换行后可以。因为 B 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1,0,0,所以 B 不能分解为三角阵的乘积。因为 C 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1,5,1,所以 C 能够分解为三角阵的乘积,并且分解是唯一的。12、设 3.01.05.06.0A,计算 A 的行范数,列范数,2-范数及 F-范数。本题考查的是矩阵范数的定义及求法 行范数+=列范数+=2-范数的计算需要用到特征值,特征值的计算可以使用幂法进行计算,也可以直接求。TA A的最大特征值为 所以 2-范数为 F-
15、范数 13、求证:(a)xnxx1;(b)FFAAAn21。根据定义求证。xnxnxxxxininiiini1111maxmax。22,111nijFi jAann 2max2()TAA A 14、设nnRP且非奇异,又设x为nR上一向量范数,定义Pxxp。试证明px是nR上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明:要求就有正定性,齐次性,三角不等式等性质。显然0 Pxxp,ppxcPxcPcxcx、pppxxPxPxPxPxxxPxx2121212121)(,从而px是nR上向量的一种范数。15、设nnRA为对称正定,定义 21),(xAxxA,试证明Ax是nR上向量的一种范数。根据向量范数
16、的定义来证明:要求就有正定性,齐次性,三角不等式等性质。显然12(,)0TAxAx xx Ax,11222(,c)()(,)TAAcxAcxxcx Axc Ax xc x 121212121212112212(),()()()TATTAAxxA xxxxxxA xxx Axx Axxx 16、设 A 为非奇异矩阵,求证101minyAyyA。因为yAyAyyxAAxAxxAAyxAyxx00110101min1maxmaxmax1,所以得证 101minyAyyA 17、矩阵第一行乘以一数,成为21 1A,证明当23 时,()cond A有最小值。本题考查条件数的计算 1()cond AAA
17、首先计算 A 的逆阵 11112A 2|3|2|3|3|2A,当23,取得最小值为 2 112|A,当|取值越大,则最小值为 2 从而11()(2)max 3,2cond AAA,又当32时,72)223(2,3max)21()(Acond。当32时,7633)21(2,3max)21()(Acond。综上所述,7)(Acond时最小,这时32,即32。18、设989999100A,计算 A 的条件数),2()(vAcondv 由989999100A可知,1009999981A,从而 19801196021960219405100999998100999998)()(11AAT,由013920
18、619801196021960219405)()(211AAIT,19405196021960219801989999100989999100AAT,由0139206194051960219602198012AAIT,可得38427760819603212AA,从而 3920638427760819603)(2212AAAcond。1991A,199A,从而39601199199)(1AAAcond。19、证明:如果A是正交矩阵,则2(A)1cond 若 A 是正交阵,则TAA1,从而IAAT,IAAAAT111)(,故1212AA,1)(2212AAAcond。20、设,n nA BR,且为
19、n nR上矩阵的算子范数,证明:()()()cond ABcond A cond B )()()()()(1111111BcondAcondBBAABAABABABABABABcond 21、设Axb,其中A为非奇异矩阵,证明:(1)TA A为对称正定矩阵;(2)22()()Tcond A Acond A 2()()0TTx A A xAxAxb,所以TA A为对称正定矩阵。22max()()min()TTA Acond AAA 由于TA A为对称正定矩阵,所以TTA AAA 则12222222()()max()()min()()max()()min()()max()min()max()min
20、()max()min()()TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTcond A AA AA AA AA AA A A AAAA AAAA AA AA AAA AAA AAAA AAAcond A 第 7 章 复习与思考题 1.什么是方程的有根区间它与求根有何关系 P213,若(),f xC a b 且()(b)0f a f,根据连续函数性质可知()0f x 在,a b内至少有一个实根,这时称,a b为()0f x 的有根区间。2.什么是二分法用二分法求()0f x 的根,f要满足什么条件 P213 一般地,对于函数()0f x 如果存在实数 c,当 x=c 时,若()0f c,那么把x
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- 李庆扬 数值 分析 第五 版第章 习题 答案 21477
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