李庆扬数值分析第五版第章与第章习题答案21477.pdf

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1、第 5 章 复习与思考题 1、用高斯消去法为什么要选主元哪些方程组可以不选主元 答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现0kkka 的情况，这时消去法无法进行；即时主元素0kkka，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。2、高斯消去法与 LU 分解有什么关系用它们解线性方程组Ax=b有何不同A要满足什么条件 答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一

2、个为上三角矩阵 U，一个为下三角矩阵 L。用 LU 分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A 需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，n-1）不为零。3、楚列斯基分解与 LU 分解相比，有什么优点 楚列斯基分解是 LU 分解的一种，当限定下三角矩阵 L 的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定 具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定 对角占优的三对角方程组 6、何谓向量

3、范数给出三种常用的向量范数。向量范数定义见 p53，符合 3 个运算法则。正定性 齐次性 三角不等式 设x 为向量，则三种常用的向量范数为：（第 3 章 p53,第 5 章 p165）11|niixx 12221|()niixx 1|max|ii nxx 7、何谓矩阵范数何谓矩阵的算子范数给出矩阵A=(ai j)的三种范数|A|1，|A|2，|A|，|A|1与|A|2哪个更容易计算为什么 向量范数定义见 p162，需要满足四个条件。正定条件 齐次条件 三角不等式 相容条件 矩阵的算子范数有 1|A|2|A|A|从定义可知，1|A|更容易计算。8、什么是矩阵的条件数如何判断线性方程组是病态的 答

4、：设A为非奇异阵，称数1(A)AAvvvcond（1,2,v）为矩阵 A 的条件数 当(A)1cond时，方程是病态的。9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异（1）矩阵行列式的值很小。（2）矩阵的范数小。（3）矩阵的范数大。（4）矩阵的条件数小。（5）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有（1）、（2）注：矩阵的条件数小说明 A 是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题是否正确：（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接 LU 分解可求得线性方程组Ax=b的解。答：错误，主元位置可能为 0，导致无法计算结果。（2）对称正定的线性方程组总是良态的。答：正确。（3）

5、一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。（4）如果A非奇异，则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。答：正确。解释：若 A|b 与 A 的秩相同，则 A 有唯一解。若不同，则 A无解。（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。（7）奇异矩阵的范数一定是零。答：错误，可以不为 0。（8）如果矩阵对称，则|A|1=|A|。答：根据范数的定义，正确。（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为 0。（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小

6、。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。（11）|A|1=|AT|。答：根据范数的定义，正确。（12）若A是n?n的非奇异矩阵，则 )(cond)(cond1AA。答：正确。A是n?n的非奇异矩阵，则 A 存在逆矩阵。根据条件数的定义有：1111111cond()cond()()AAAAAAAAAA 习题 1、设 A 是对称阵且011a，经过高斯消去法一步后，A 约化为21110AaaT，证明2A是对称矩阵。证明：设对称矩阵111211222212.nnnnnnaaaaaaAaaa，则经过 1 次高斯校区法后，有 1112111222122121111(1)1121212111

7、111121121222122111111121211111.0.0.0.0.nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 所以1122.Tnaaa 1212221221111121121211111.nnnnnnnnaaaaaaaaAaaaaaaaa 所以 A2 为对称矩阵。2、设 A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为()ijnAa，其中()ijnAa，(2)21()ijnAa；证明：（1）A 的对角元素0(1,2,)iiain；（2）2A是对称正定矩阵；（1）依次取nixTii,2,1,)0,0,1,0,0

8、,0(，则因为 A 是对称正定矩阵，所以有0AxxaTii。（2）2A中的元素满足),3,2,(,1111)2(njiaaaaajiijij，又因为 A 是对称正定矩阵，满足njiaajiij,2,1,，所以)2(11111111)2(jijijijiijijaaaaaaaaaa，即2A是对称矩阵。3、设kL为指标为k的初等下三角矩阵（除第k列对角元以下元素外，kL和单位阵I 相同），即 1,1.11.1kkkn kLmm 求证当,i jk时，kijkijLI L I 也是一个指标为 k 的初等下三角矩阵，其中ijI为初等置换矩阵。4、试推导矩阵A 的 Crout 分解 A=LU 的计算公式，

9、其中 L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵。本题不推导。参见书上例题。P147 页。5、设Uxd，其中U为三角矩阵。（1）就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法（2）计算解三角方程组Uxd的乘除法次数（3）设U为非奇异矩阵，试推导求1U的计算公式 本题考查求解公式的一般方法，可从第 n 个元素开始，逐步计算 n-1,1时对应的求解公式。解法，略。6、证明：（1）如果A是对称正定矩阵，则1A也是对称正定矩阵（2）如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成TAL L，其中L是具有正对角元的下三角矩阵 均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组 1231231

10、23123315183156xxxxxxxxx 并求出系数矩阵 A 的行列式的值 12331831111A 123315|1831151116A b 使用列主元消去法，有 123315|1831151116A b 1831151233151116 183115701537173106186 183115717310618670153 1831157173106186666600217 A 的行列式为-66 方程组的解为 X1=1,x2=2,x3=3 8、用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组的解 123123123111945611183451282xxxxxxxxx 本题考查

11、 LU 分解。解：1114561113451122A 10011031112L 11145611130609095700540U 9、用追赶法解三对角方程组bAx，其中 2100012100012100012100012A，00001b。解：追赶法实际为 LU 分解的特殊形式。设 U 为、单位上三角矩阵。有（1）计算i的递推公式 111/1/20.5cb 22221/()1/(2(1)(0.5)2/3cba 33332/()1/(2(1)(2/3)3/4cba 44443/()1/(2(1)(3/4)4/5cba （2）解 Ly=f 111/1/2yfb 2221221()/()(0(1)(1

12、/2)/(2(1)(0.5)1/3yfa yba 3332332()/()(0(1)(1/3)/(2(1)(2/3)1/4yfa yba 4443443()/()(0(1)(1/4)/(2(1)(3/4)1/5yfa yba 5554554()/()(0(1)(1/5)/(2(1)(4/5)1/6yfa yba （3）解UX=y 551/6xy 44451/5(4/5)1/61/3xyx 33341/4(3/4)1/31/2xyx 22231/3(2/3)1/22/3xyx 11122(1/2)2/35/6xyx 10、用改进的平方根法解方程组 654131321112321xxx。本题明确要

13、求使用平方根法进行求解。实际考查的 LDU 分解。见 P157 923,97,910321xxx。11、下列矩阵能否分解为LU（其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）若能分解，那么分解是否唯一。764142321A，133122111B，461561552621C。LU 分解存在的条件 一个可逆矩阵可以进行 LU 分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的 L 矩阵（或 U 矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的 LDU 可分解条件也相同，并且总是唯一的。即使矩阵不可逆，LU 仍然可能存在。实际上，如果一个秩为 k 的矩阵的前k 个顺序主子式不为零，那么它就可以进行

14、LU 分解，但反之则不然。解：因为 A 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，-10，所以 A 不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。因为 B 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，0，所以 B 不能分解为三角阵的乘积。因为 C 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，5，1，所以 C 能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。12、设 3.01.05.06.0A，计算 A 的行范数，列范数，2-范数及 F-范数。本题考查的是矩阵范数的定义及求法 行范数+=列范数+=2-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。TA A的最大特征值为 所以 2-范数为 F-

15、范数 13、求证：（a）xnxx1；（b）FFAAAn21。根据定义求证。xnxnxxxxininiiini1111maxmax。22,111nijFi jAann 2max2()TAA A 14、设nnRP且非奇异，又设x为nR上一向量范数，定义Pxxp。试证明px是nR上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然0 Pxxp，ppxcPxcPcxcx、pppxxPxPxPxPxxxPxx2121212121)(，从而px是nR上向量的一种范数。15、设nnRA为对称正定，定义 21),(xAxxA，试证明Ax是nR上向量的一种范数。根据向量范数

16、的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然12(,)0TAxAx xx Ax，11222(,c)()(,)TAAcxAcxxcx Axc Ax xc x 121212121212112212(),()()()TATTAAxxA xxxxxxA xxx Axx Axxx 16、设 A 为非奇异矩阵，求证101minyAyyA。因为yAyAyyxAAxAxxAAyxAyxx00110101min1maxmaxmax1，所以得证 101minyAyyA 17、矩阵第一行乘以一数，成为21 1A，证明当23 时，()cond A有最小值。本题考查条件数的计算 1()cond AAA

17、首先计算 A 的逆阵 11112A 2|3|2|3|3|2A，当23，取得最小值为 2 112|A，当|取值越大，则最小值为 2 从而11()(2)max 3,2cond AAA，又当32时，72)223(2,3max)21()(Acond。当32时，7633)21(2,3max)21()(Acond。综上所述，7)(Acond时最小，这时32，即32。18、设989999100A，计算 A 的条件数),2()(vAcondv 由989999100A可知，1009999981A，从而 19801196021960219405100999998100999998)()(11AAT，由013920

18、619801196021960219405)()(211AAIT，19405196021960219801989999100989999100AAT，由0139206194051960219602198012AAIT，可得38427760819603212AA，从而 3920638427760819603)(2212AAAcond。1991A，199A，从而39601199199)(1AAAcond。19、证明：如果A是正交矩阵，则2(A)1cond 若 A 是正交阵，则TAA1，从而IAAT，IAAAAT111)(，故1212AA，1)(2212AAAcond。20、设,n nA BR，且为

19、n nR上矩阵的算子范数，证明：()()()cond ABcond A cond B )()()()()(1111111BcondAcondBBAABAABABABABABABcond 21、设Axb，其中A为非奇异矩阵，证明：（1）TA A为对称正定矩阵；（2）22()()Tcond A Acond A 2()()0TTx A A xAxAxb，所以TA A为对称正定矩阵。22max()()min()TTA Acond AAA 由于TA A为对称正定矩阵，所以TTA AAA 则12222222()()max()()min()()max()()min()()max()min()max()min

20、()max()min()()TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTcond A AA AA AA AA AA A A AAAA AAAA AA AA AAA AAA AAAA AAAcond A 第 7 章 复习与思考题 1.什么是方程的有根区间它与求根有何关系 P213，若(),f xC a b 且()(b)0f a f，根据连续函数性质可知()0f x 在,a b内至少有一个实根，这时称,a b为()0f x 的有根区间。2.什么是二分法用二分法求()0f x 的根，f要满足什么条件 P213 一般地，对于函数()0f x 如果存在实数 c,当 x=c 时，若()0f c,那么把x

21、=c 叫做函数()0f x 的零点。解方程即要求()0f x 的所有零点。假定()0f x 在区间（x，y）上连续，先找到 a、b 属于区间（x，y），使(a)(b)0ff，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求(ab)/2)f,现在假设(a)0,(b)0,ffab 果(ab)/2)0f，该点就是零点，如果(ab)/2)0f,则在区间(ab)/2),b内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。如果(ab)/2)0f，则在区间a,(ab)/2)内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。这样就可以不断接近零点。通过每次把 f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以

22、求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。3.什么是函数()0 x 的不动点如何确定()x使它的不动点等价于()f x的零点 P215.将方程()0f x 改写成等价的形式()xx，若要求*x满足(*)0f x，则*(*)xx；反之亦然，称*x为函数()x的一个不动点。4.什么是不动点迭代法()x满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x的不动点 P215 求()0f x 的零点就等价于求()x的不动点，选择一个初始近似值0 x，将它代入()xx的右端，可求得 10()xx，如此反复迭代有 1(),0,1,2,.kkxxk，

23、()x称为迭代函数，如果对任何0,xa b，由1(),0,1,2,.kkxxk得到的序列 kx有极限 lim*kkxx，则称迭代方程收敛，且*(*)xx为()x的不动点，故称1(),0,1,2,.kkxxk为不动点迭代法。5.什么是迭代法的收敛阶如何衡量迭代法收敛的快慢如何确定1()(0,1,2,.)kkxxk 的收敛阶 P219 设迭代过程1()kkxx收敛于()xx的根*x，如果当k 时，迭代误差*kkexx 满足渐近关系式 1,0kpkeC Cconste 则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1 时称为线性收敛，P1 时称为超线性收敛，p=2 时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡

24、量收敛速度的快慢。6.什么是求解()0f x 的牛顿法它是否总是收敛的若(*)0f x，*x是单根，f是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。牛顿法：1()()kkkkf xxxfx 当|()|1kfx时收敛。7.什么是弦截法试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。在牛顿法的基础上使用 2 点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。收敛阶弦截法小于牛顿法 2 计算量弦截法牛顿法（减少了倒数的计算量）8.什么是解方程的抛物线法在求多项式全部零点中是否优于牛顿法 P229 设已知方程()0f x 的三个近似根，12,kkkxxx，以这三点为节点构造二次插值多项式 p（x），并适当选取 p2（x）

25、的一个零点1kx作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。抛物线法的收敛阶大于弦截法，小于牛顿法 2 可用于所想是的实根和复根的求解。9.什么是方程的重根重根对牛顿法收敛阶有何影响试给出具有二阶收敛的计算重根方法。10.什么是求解 n 维非线性方程组的牛顿法它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当）11.判断下列命题是否正确：（1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）（2）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）（3）不动点迭代法总是线性收敛的（错误）（4）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确）（5）求多项式()p x 的零点问题一定是病态的问题（错误）（7）二

26、分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）（8）牛顿法有可能不收敛（正确）（9）不动点迭代法1()kkxx，其中*(*)xx，若|(*)|1x 则对任意处置 x0 迭代都收敛。（对）（10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）习题 1、用二分法求方程012 xx的正根，要求误差05.0。解令1)(2xxxf，则1)0(f，1)2(f，所以有根区间为2,0；又因为1)1(f，所以有根区间为 2,1；25.015.15.1)5.1(2f，所以有根区间为2,5.1；0165175.175.1)75.1(2f，所以有根区间为75.1,5.1；06411625.1625.1)625.1(2f，所以

27、有根区间为625.1,5.1；02563111691)1691()1691(2f，所以有根区间为625.1,1691；取59375.132191)8511691(21*x，这时它与精确解的距离05.0321)1691625.1(21。2.为求方程0123 xx在5.10 x附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：1）2/11xx，迭代公式21/11kkxx；2）231xx，迭代公式3211kkxx；3）112xx，迭代公式1/11kkxx；试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。解1）设211)(xx，则32)(xx，从而127165.1

28、2)5.1(3，所以迭代方法局部收敛。2）设321)(xx，则322)1(32)(xxx，从而 116916)5.11(5.132)5.1(3322，所以迭代方法局部收敛。3）设11)(xx，则23)1(21)(xx，从而12)5.0(21)5.1(23，所以迭代方法发散。4）设1)(3xx，则2132)1(23)(xxx，从而 1389)819(5.123)5.1(21，所以迭代方法发散。3.比较求0210 xex的根到三位小数所需的计算量：1）在区间 1,0内用二分法；2）用迭代法10/)2(1kxkex，取初值00 x。解1）使用二分法，令210)(xexfx，则 1)0(f，8)1(e

29、f，有根区间为 1,0；03)5.0(5.0 ef，有根区间为5.0,0；05.0)25.0(25.0 ef，有根区间为25.0,0；075.0)125.0(125.0 ef，有根区间为125.0,0；05605.0813)161(161 ef，有根区间为81,161；003578.01617)323(323 ef，有根区间为323,161；03239)645(645 ef，有根区间为323,645；06473)12811(12811 ef，有根区间为323,12811；0128141)25623(25623 ef，有根区间为323,25623；0256277)51247(51247 ef，有

30、根区间为51247,25623；0512559)102493(102493 ef，有根区间为102493,25623；从而090332.02048185)10249325623(21*x，共二分 10 次。2）使用迭代法1021kxkex，则1.010201ex，0894829.01021.02ex，0906391.01020894829.03ex，0905126.01020906391.04ex，即0905126.04*xx，共迭代 4 次。4.给定函数)(xf，设对一切 x，)(xf 存在且Mxfm)(0，证明对于范围M/20内的任意定数，迭代过程)(1kkkxfxx均收敛于()0f x

31、的根*x。证明由)(1kkkxfxx可知，令)()(xfxx，则)(1)(xfx，又因为Mxfm)(0，M20，所以1)(1x，即1)(x，从而迭代格式收敛。5.用斯特芬森迭代法计算第 2 题中（2）和（3）的近似根，精确到510。斯特芬森迭代法是一种加速的方法。是埃特金加速方法与不动点迭代结合。6.设2()()()()()xxp x f xq x fx，试确定函数()p x和()q x，使求解()0f x 且以()x为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。7.用下列方法求013)(3xxxf在20 x附近的根。根的准确值87938524.1*x，要求计算结果准确到四位有效数字。（1）牛顿法（2）弦截

32、法，取012,1.9xx（3）抛物线法，取0121,3,2xxx 解1）33123313)()(23231kkkkkkkkkkxxxxxxxfxfxx，20 x，888889.1917323122231x，87945.15616105553)917(31)917(2232x，迭代停止。2）31)()()13()13(13)()()()(211211113133111kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfxfxx，20 x，9.11x，881094.1841158241.882.153229.19.11)29.1(29.1222x 8794

33、11.1546204321102654244284161.08419.11582158284142.955814339.19.18411582)8411582(1)9.18411582(9.18411582222223x，迭代停止。3）,)(4)(2121kkkkkkkxxxfxfxfxx，其中)(,1211kkkkkkkxxxxxfxxf，2,3,1210 xxx，故 3)(0 xf，17)(1xf，1)(2xf，1013)3(17)()(,010110 xxxfxfxxf，1632171)()(,121212xxxfxfxxf，6121016,021021210 xxxxfxxfxxxf，

34、10)32(616，9465745.176101261410101223x，下略。8.分别用二分法和牛顿法求0tanxx的最小正根。解：0 是函数的一个根，02时，x 单调递增，tanx 单调递减，趋于负无穷。在此区间内，函数没有根。所以，最小正根大于2.当 x 接近且大于2时，函数值为正，当 x 接近且大于32时，函数值为负。因此，最小正根区间为（2,32）,选择 x1=2,函数值为0 按二分法计算，略，493424.4*x。按牛顿迭代法，其迭代公式为 1tan()()tan1kkkkkkkkxxf xxxxfxxc，取初始值 x=，得493424.4*x 9.研究求a的牛顿公式0),(21

35、01xxaxxkkk，证明对一切,2,1k，axk且序列,21xx是递减的。证：显然，0kx，又因为02)()(2121kkkkkxaxaxaxax，所以,2,1,kaxk，又02)(2121kkkkkkkxxaxxaxxx，所以序列是递减的。10.对于0)(xf的牛顿公式)(/)(1kkkkxfxfxx，证明 2211)/()(kkkkkxxxxR收敛到)(2/()(*xfxf，这里*x为0)(xf的根。证：211211222()/()()/()()/()kkkkkkkkkRxxxxf xfxf xfx 2111211()/()()/()()/()kkkkkkkkkRxxxxf xfxf x

36、fx 111221122()/()()/()()/()()/()kkkkkkkkkkf xfxf xfxRRf xfxf xfx 11.用牛顿法（）和求重根迭代法（）计算方程2()sin02xf xx 的一个近似根，准确到510，初始值02x。牛顿法（），m=2。12sin21sincos22()()kkkkkkkkkkxxf xxxmxxfxxx 需要计算到510，取3.1415926。(7)*1.8955xx 求重根迭代法（）22212sin0.52 sin0.5cos0.52 sin0.5cos0.5sin0.52sincos0.()()()()(5)kkkkkkkxxxxxxxxxxx

37、f xfxxxfxf xfxx 需要计算到510，取3.1415926。(13)*1.8955xx。注：matlab 编程计算得出的结果。12.应用牛顿法于方程03 ax，导出求立方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。3122()12()33kkkkkkkkkf xxaaxxxxfxxx 12322()12()3333kkkkkkkkkkkkkf xaxxxxxxfxxxaxaxx 当30 xa时，31203kkkkaxxxx，说明迭代数列递增。当30 xa时，31203kkkkaxxxx，说明迭代数列递减。因此，迭代公式3122()12()33kkkkkkkkkf xxaaxxxxfxxx是收

38、敛的。13.应用牛顿法于方程01)(2xaxf，导出求a的迭代公式，并求115的值。21323331()()231322322kkkkkkkkkkkkkaf xxxxxfxaxaxaxxaxaxxa 令012341010.652210.723110.723810.7238xxxxx 14.应用牛顿法于方程0)(axxfn和01)(nxaxf，分别导出求na的迭代公式，并求21)/()(limknknkxaxa。0)(axxfn的迭代公式：1111()()(1)1nkkkkknkknknkknkf xxaxxxfxnxnxanxnaxnnx nnnknknknknnkknkknnkkknnkkn

39、kknknkananannxnannxnxannxnnnxxaxanxanxaxnnaxaxa21)1(2)1()1(2)1(lim)1(2)1(lim)(2)(1(lim)()1(lim)(lim112121 01)(nxaxf的迭代公式 1111()1()(1)11nkkkkknkknknknkkf xaxxxxfxnaxnaxnaxxnxnna nnnnkkknnkkknnkkknnkknkknnkknkknknkanaannanxnxanaaxnxanaxnanxanaxaxnanaxanaxaxnaxaxa212)1(2)1(lim)(2)(1(lim)(2)1()1(lim)()1

40、(lim)()1(lim)(lim11212121 15.证明迭代公式axaxxxkkkk2213)3(是计算a的三阶方法。假定初值0 x充分靠近*x，求21)/()(limkkkxaxa。解：aaaaxaxxaxaaxxaaxxaxaxaaxaxxaxaxakkkkkkkkkkkkkkkkkkkk41)(3131lim)3()()(lim)3()()3()3(lim)(3)3(lim)(lim22233232232231 16.用抛物线法求多项式432()4101.2551.5p xxxxx的两个零点，再利用降阶求出全部零点。17.非线性方程组22122312130310 xxx xx 在(0.4,0.7)T 附近有一个解，构造一个不动点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到510（按）。18.用牛顿法解方程组222211xyxy 取(0)1.6,1.2Tx。