2023年新高考数学大一轮复习专题25等比数列及其前n项和(原卷版)43562.pdf

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1、 专题 25 等比数列及其前 n 项和 【考点预测】一等比数列的有关概念（1）定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为1=nnaqa（2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项 即G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 2Gab 二等比数列的有关公式（1）等比数列的通项公式 设等比数列na的首项为1a，公比为(0)q q，则它的通项公式1111()(,0)nnnaaa qc qca qq 推广形式：nmmnaaq （2）等比数列的前 n 项和

2、公式 等比数列na的公比为(0)q q，其前n项和为111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq 注等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比q是否为 1，再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为 1 时，要分1q与1q两种情况讨论求解 已知1,(1),a q qn（项数），则利用1(1)1nnaqSq求解；已知1,(1)na a q q，则利用11nnaa qSq求解 111(1)(0,1)111nnnnaqaaSqkqk kqqqq，nS为关于nq的指数型函数，且系数与常数互为相反数 三等比数列的性质（1）等比中项的推广 若m

3、npq时，则mnpqa aa a，特别地，当2mnp时，2mnpa aa（2）设na为等比数列，则na（为非零常数），na，mna仍为等比数列 设na与b n为等比数列，则b nna也为等比数列（3）等比数列na的单调性（等比数列的单调性由首项1a与公比q决定）当101aq或1001aq时，na为递增数列；当1001aq或101aq时，na为递减数列（4）其他衍生等比数列 若已知等比数列na，公比为q，前n项和为nS，则：等间距抽取 2(1),pp tptpntaaaa为等比数列，公比为tq 等长度截取 232,mmmmmSSSSS为等比数列，公比为mq（当1 q时，m不为偶数）【方法技巧与总

4、结】（1）若*2()，mnpqk mnpqkN，则2mnpqkaaaaa（2）若na，nb（项数相同）是等比数列，则(0)na，1na，2na，nnab，nnab仍是等比数列（3）在等比数列na中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即23，nnknknkaaaa为 等比数列，公比为kq（4）公比不为1 的等比数列na的前n项和为nS，则nS，2nnSS，32nnSS仍成等比数列，其公比为nq（5）na为等比数列，若12nnaaaT，则232，nnnnnTTTTT成等比数列（6）当0q，1q时，()0nnSkk qk是na成等比数列的充要条件，此时11akq（7）有穷等比数列中，与首末两项等距

5、离的两项的积相等特别地，若项数为奇数时，还等于中间 项的平方（8）若na为正项等比数列，则log(c0,c1)cna为等差数列（9）若na为等差数列，则c(c0,c1)na为等比数列（10）若na既是等差数列又是等比数列)na是非零常数列【题型归纳目录】题型一：等比数列的基本运算 题型二：等比数列的判定与证明 题型三：等比数列项的性质应用 题型四：等比数列前 n 项和的性质 题型五：求数列的通项na 题型六：奇偶项求和问题的讨论 题型七：等差数列与等比数列的综合应用 题型八：等比数列的范围与最值问题 题型九：等比数列的简单应用 【典例例题】题型一：等比数列的基本运算 例 1（2022全国高三专

6、题练习）已知正项等比数列 na的前 n项和为nS，42S，810S，则 na的公比为()A1 B2 C2 D4 例 2（2022广东梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）等比数列na中，1476aaa，36924aaa则na的公比 q为（）A2 B2 或2 C2 D3 【解析】由题意，222316497,aa q aa q aa q 2369147()aaaaaa q 242 qq 例 3（2022全国高三专题练习）记nS为正项等比数列 na的前n项和，若314S，12a，则2514aaaa的值为（）A2 B12 C3 D13 例 4（2022河南省浚县第一中学模拟预测（理）已知正项等比数列 na

7、的前 n项和为nS，且满足23134aSa，则公比 q（）A12 B2 C13 D3 例 5（2022广东江门高三阶段练习）设等比数列 na满足132410,5aaaa，则21222logloglognaaa_.例 6（2022福建厦门一中模拟预测）已知等比数列 na的前n项和为nS，若232S，3134Sa，则6S _ 例 7（2022全国高三专题练习）已知一个蜂巢里有 1 只蜜蜂，第 1 天，它飞出去找回了 4 个伙伴；第 2天，5 只蜜蜂飞出去，各自找回了 4 个伙伴，按照这个规律继续下去，第 20 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（）A420只 B520只 C 20554只 D

8、21443只 例 8（2022全国高三专题练习）已知2、x、8成等比数列，则x的值为（）A4 B4 C4 D5 例 9（2022全国高三专题练习）在 3 和 9 之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（）A1132 B1114 C1102 D10 例 10（2022全国高三专题练习）已知数列 na是等差数列，数列 nb是等比数列，若36925 86,8,aaab b b则481 9aabb的值是（）A12 B1 C2 D4 例 11（2022 青海海东市第一中学模拟预测（文）已知等比数列 na的公比13q ，则1324aaaa 等于（）A13 B13

9、C3 D3 例 12（2022内蒙古海拉尔第二中学模拟预测（文）已知等差数列na中，其前 5 项的和525S，等比数列 nb中，1132,8,bb则37ab（）A54或54 B54 C45 D54 例 13（2022全国高三专题练习）已知等比数列 na的前 3 项和为 168，2542aa，则6a（）A14 B12 C6 D3 例 14（2022全国高三专题练习）已知正项等比数列 na满足3212aaa，若存在ma、na，使得2116mnaaa，则14mn的最小值为（）A83 B16 C114 D32 例 15（2022全国高三专题练习）在正项等比数列 na中，1236a a aa，且416a

10、，则10a（）A1024 B960 C768 D512 例 16（2022全国高三专题练习）在公差不为 0 的等差数列 na中，12312,kkka a aaa成公比为 3 的等比数列，则3k（）A14 B34 C41 D86 例 17（2022安徽合肥一中模拟预测（文）等比数列 na的前 n项和为nS，已知1S，22S，33S成等差数列，则 na的公比为（）A12 B14 C3 D13 【方法技巧与总结】等比数列基本量运算的解题策略（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量1a，n，q，na，nS，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解（2）等比数列

11、的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论：当1q 时，1nSna；当1q 时，11(1)=11nnnqSaa qaqq 题型二：等比数列的判定与证明 例 18（2022青海海东市第一中学模拟预测（理）设数列 na的前 n项和为nS，24nnSan(1)证明：数列1na 是等比数列(2)若数列12nnna a的前 m 项和170513mT，求 m的值 例 19（2022海南海口二模）已知数列 na的各项均为正整数且互不相等，记nS为 na的前 n 项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立 数列 na是等比数列；数列1nS 是等比数列；2111aa a 注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个

12、解答计分 例 20（2022江苏南京师大附中模拟预测）已知正项数列 na的前n项和nnSAqB，其中A，B，q为常数.(1)若0AB，证明：数列 na是等比数列；(2)若11a，24nnaa，求数列nna的前n项和nT.例 21（2022全国高三专题练习）已知数列 na中，11a，11,33,nnnan naan n为奇数为偶数，求证：数列232na是等比数列.例 22（2022全国高三专题练习）设数列 na满足16N4nnnaana，其中11a.证明：32nnaa是等比数列；例 23（2022全国高三专题练习）已知数列na满足11a，23a，21122(N*)nnnnaaaa n证明：数列1

13、nnaa是等比数列，并求na的通项公式；例 24（2022全国高三专题练习）已知数列 na满足：12nnnaa，且111,23nnnaba.求证：数列 nb是等比数列；例 25（2022上海模拟预测）在数列 na中，115,342nnaaan，其中Nn(1)设2nnban，证明数列 nb是等比数列；(2)记数列 na的前 n项和为nS，试比较nS与22022n 的大小 例26（2022全国高三专题练习）记nS是公差不为0的等差数列 na的前n项和，已知3451543,aaSa aS，数列 nb满足*11322,Nnnnbbnn，且111ba.(1)求 na的通项公式；(2)证明数列12nnb是

14、等比数列，并求 nb的通项公式；例 27（2022全国高三专题练习）已知数列 na的前n项和为nS，13a，12nnSa(1)证明：数列2nS 为等比数列；(2)记数列1nS的前n项和为nT，证明：2nT 例 28（2022吉林长春模拟预测（理）已知数列 na和 nb满足12a，10b，1231nnabn，1231nnabn(1)证明：nnab是等比数列；(2)求数列 nb的前 n项和 例29（2022河北模拟预测）已知数列 na和 nb满足111113,434,43422nnnnnnabaabbba (1)证明：nnab是等比数列，nnab是等差数列；(2)求 na的通项公式以及 na的前n

15、项和nS 例 30（2022湖北房县第一中学模拟预测）已知在数列 na中11a，113nnnaa.(1)令1134nnnba，证明：数列 nb是等比数列；(2)21123333nnnSaaaa，证明：43nnnSan.例 31（2022江西赣州市第三中学模拟预测（文）已知数列 na满足134a，1312nnnaaa.(1)证明：11na是等比数列；(2)设13nnnna ab，证明1238nbbb.例 32（2022全国高三专题练习）已知等差数列 na的前n项和为nS，990S，1020a，数列 nb满足16b，134nnbbn，nT为数列 nb的前n项和.（1）求数列 na的通项公式；（2）

16、求证：数列1nnba为等比数列；（3）若3690nT 恒成立，求n的最小值.例 33（2022全国高三专题练习）在数列 na中，11a，22a，且2134nnnaaa.(1)证明：1nnaa是等比数列；(2)求数列 na的通项公式.【方法技巧与总结】等比数列的判定方法 定义法 若1=nnaqa（q为非零常数，*nN或1=nnaqa（q为非零常数且2n，*nN），则na是等比数列 中项 公式法 若数列na中，0na 且2*12=()nnnaaanN，则na是等比数列 通项 公式法 若数列na的通项公式可写成1nnacq（cq，均为非零常数，*nN），则na是等比数列 前n项和 公式法 若数列na

17、的前n项和nnSk qk-（k为非零常数，01q，），则na是等比数列【注意】（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择、填空题中的判定（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可 题型三：等比数列项的性质应用 例 34（2022全国高三专题练习）等比数列na中，若59a，则3436loglogaa（）A2 B3 C4 D9 例 35（2022辽宁沈阳三模）在等比数列 na中，28,aa为方程240 xx的两根，则357a a a的值为（）A B C D3 例 36（2022青海大通回族土族自治县教学研究室二模（理）已知等比数列 n

18、a的公比为 2，前 n项和为nS，若132aa，则4S（）A135 B4 C235 D6 例 37（2022全国高三专题练习）在等比数列 na中，如果1216aa，3424aa，那么78aa（）A40 B36 C54 D81 例 38（2022陕西长安一中一模（理）正项等比数列na满足：4321228aaaa，则652aa的最小值是 A64 B32 C16 D8 例 39（2022全国高三专题练习）在由正数组成的等比数列 na 中，若4563a a a ，31323839loglogloglogaaaa 的为 A43 B34 C2 D343 例 40（2022天津一模）在等比数列 na中，公比

19、是q，则“1q”是“*1Nnnaan”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 例 41（2022河南安阳模拟预测（理）已知 na为等比数列，36457,8aaa a ，则27aa_ 例 42（2022安徽合肥一中模拟预测（文）在正项等比数列 na中，113a，249a a，记数列 na的前 n项积为nT，9nT，则 n 的最小值为_ 例 43（2022全国高三专题练习（理）在各项都为正数的等比数列 na中，已知101a，其前 n 项之积为nT，且126TT，则nT取最小值时，n 的值是_ 【方法技巧与总结】（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条

20、件、利用性质，特别是性质“若2mnpqk，则2mnpqkaaaaa”，可以减少运算量，提高解题速度（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用 题型四：等比数列前 n 项和的性质 例 44（2022全国高三专题练习）已知等比数列 na的前 n项和32nnSa，则a_ 例 45（2022全国高三专题练习）等比数列na的前n项和为4nnSc,则实数c _.例 46（2022全国高三专题练习）等比数列 na前 n 项和为nS，若634SS，则96SS_.例 47（2022上海高三专题练习）已知数列 na、nb均为正项等比数列，nP、nQ

21、分别为数列 na、nb的前n项积，且ln57ln2nnPnQn，则33lnlnab的值为_.例 48（2022全国高三专题练习）设等比数列 na的前n项和为nS，若63:1:2SS，则93:SS（）A1:2 B2:3 C3:4 D1:3 例 49（2022全国高三专题练习）已知正项等比数列 na的前n项和为nS，若5，3S，6S成等差数列，则96SS的最小值为()A25 B20 C15 D10 例 50（2022全国高三专题练习）设等比数列 na的前 n 项和为nS，若39S，636S，则789(aaa )A144 B81 C45 D63 例 51（2022全国高三专题练习（文）等比数列na的

22、前n项和为nS，若121nnSt，则t（）A2 B-2 C1 D-1 例 52（2022全国高三专题练习）已知等比数列 na的前 n项和122()RnnSm m，则242maa（）A110 B110 C120 D120 【方法技巧与总结】（1）等比数列na中，所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有的性质，设公比为q 若共有2n项，则SqS偶奇；若共有21n项，1SaqS奇偶（2）等比数列na中，kS表示它的前k项和当1q 时，有232kkkkkSSSSS，也成等比数列，公比为kq 题型五：求数列的通项na 例 53（2022全国高三专题练习）在数列 na中，若12a，1132nnnaa，则

23、na（）A2nn B5122n C12 32nn D114 32nn 例 54（2022青海玉树高三阶段练习（文）已知nS为数列 na的前 n 项和，若1222,10nnaaS，则 na的通项公式为（）A34nna B22nna C2nann D231nan 例 55（2022安徽高考模拟（文）已知等比数列na的首项为 2，前n项和为nS，且52440SSa.（1）求数列na的通项公式；（2）若2nnba，求数列 nb的前n项和nT.例 56（2022云南昆明一中高三阶段练习（文）2022 北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥

24、主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在 1904 年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案设原正三角形（图）的边长为 3，把图二中的，图形的周长依次记为1a，2a，3a，4a，得到数列 na (1)直接写出2a，3a的值；(2)求数列 na的通项公式 例 57（2022上海高三阶段练习）治理垃圾是 S市改善环境的重要举措去年 S市产生的垃圾量为 200 万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续 5 年，每年的垃

25、圾排放量比上一年减少 20 万吨，从第 6 年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%(1)写出 S 市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数*n nN的表达式；(2)设nA为从今年开始 n年内的年平均垃圾排放量如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由 【方法技巧与总结】（1）等比数列的通项公式 设等比数列na的首项为1a，公比为(0)q q，则它的通项公式1111()(,0)nnnaaa qc qca qq 推广形式：nmmnaaq （2）等比数列的前 n 项和公式 等比数列na的公比为(0)q q，其前n项和为11

26、1(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq 题型六：奇偶项求和问题的讨论 例 58（2022全国一模（理）已知数列na中，11a，12nnna a，则na的前 200 项和200S_.例 59（2022全国高三专题练习）已知数列na的前n项和121nnS，则数列na的前 10 项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（）A12 B2 C172341 D341172 例 60（2022全国高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（）A2 B4 C8 D16 例 61（2022山东师范大学附中模拟预测）已知nS是

27、数列 na的前 n 项和，且111,21nnaaan.(1)求数列 na的通项公式；(2)记2,nannnba n为奇数为偶数，求数列 nb的前2n项和nT.例 62（2022天津二模）已知数列 na中，11a，12nnna a，令2nnba(1)求数列 nb的通项公式；(2)若2222loglognnnnbncnbb，为偶数，为奇数，求数列 nc的前 23 项和 例 63（2022全国模拟预测）已知数列 na满足11a，1,2,.nnna naa n为奇数为偶数(1)令2nnba，求1b，2b及 nb的通项公式；(2)求数列 na的前 2n项和2nS.例 64（2022天津市滨海新区塘沽第一

28、中学三模）已知数列 na，nb，已知对于任意*nN，都有13nbna，数列 nb是等差数列，11b，且25b，41b，63b 成等比数列(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)记*2,21,2nnna nkckNbnk（）求13213212loglogniiicc；（）求211nkkkc c 例 65（2022浙江嘉兴模拟预测）已知公差不为零的等差数列 na满足24692,aa a a成等比数列 数列 nb的前 n 项和为nS，且满足22NnnSbn(1)求 na和 nb的通项公式；(2)设数列 nc满足211,nnnnnna acanb为奇数为偶数，求数列 nc的前2n项和2nT 【方法

29、技巧与总结】求解等比数列的前n项和nS，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数n的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论主要是从n为奇数、偶数进行分类 题型七：等差数列与等比数列的综合应用 例 66（2022北京市玉渊潭中学高三阶段练习）已知123,a a a为一等差数列，123,b b b为一等比数列，且这 6个数都为实数.则下面四个结论中正确的是（）12aa与23aa可能同时成立 12bb与23bb可能同时成立 若120aa，则230aa 若120b b，则230b b A B C D 例 67（2022浙江省杭州第二中学模拟预测）已知等差数列 na公差不为 0，正项

30、等比数列 nb，22ab，1010ab，则以下命题中正确的是（）A11ab B55ab C66ab D1717ab 例 68（2022全国高三专题练习）已知数列 na是公差不为零的等差数列，nb是正项等比数列，若11ab，77ab，则（）A44ab B55ab C88ab D99ab 例 69（2022全国高三专题练习）已知 na为等差数列，nb是公比为 2 的等比数列，且223344ababba(1)证明：11ab；(2)求集合1,1500kmk baam中元素个数 例 70（2022浙江模拟预测）已知数列 na是公差为 2 的等差数列，数列 nb是首项为 2 的等比数列，且12323,3a

31、ab ba设数列 nc满足,2,2knnkna ncb n，其中kN，其前 n项和为nS(1)求2nS的值(2)若213nndS，求证：1231118ndddd 例 71（2022山东潍坊模拟预测）已知公差为正数的等差数列 na，2a与8a的等差中项为8，且3728a a (1)求 na的通项公式；(2)从 na中依次取出第1项、第3项、第9项、第13n项，按照原来的顺序组成一个新数列 nb，求数列 nb的前n项和nS 例 72（2022吉林市教育学院模拟预测（理）在3123baaa，313S 这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答 已知正项等差数列 na满足23a，且235,1,3

32、a aa成等比数列(1)求 na的通项公式；(2)已知正项等比数列 nb的前 n 项和为nS，11ba，_，求nS 注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分 【方法技巧与总结】（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列 题型八：等比数列的范围与最值问题 例 73（2022安徽蚌埠二中二模（理）已知等比数列 na的前n项和为nS，则下列判断一定正确是 A若30S，则20180a B若30S，则20180a C若21aa，则201

33、92018aa D若2111aa，则20192018aa 例 74（2022全国高三专题练习）设等比数列 na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，并满足条件11a，202120220aa，20212022110aa，下列结论正确的是（）A202320211aa B202220211SS C数列 nS存在最大值 D2021T是数列 nT中的最大值 例 75（2022全国高三专题练习）设等比数列na的公比为q，其前n项之积为nT，并且满足条件：11a，201920201aa，20192020101aa，给出下列结论：01q；2019202110aa；2019T是数列nT中的最大项；使1n

34、T 成立的最大自然数等于 4039；其中正确结论的序号为（）A B C D 例 76（2022北京房山高三开学考试）已知等比数列na中，1nnaq，那么“01q”是“1a为数列na的最大项”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 例 77（2022浙江镇海中学模拟预测）已知数列 na满足+1ee1nnaana，且 11,naS是数列 na的前 n项和，则（）A数列 na单调递增 B20222S C2022202120232aaa D91023a 例 78（2022全国模拟预测（文）设正项等比数列 na的前n项和为nS，19a，31a 记121,2,

35、nnTa aan，下列说法正确的是（）A数列 na的公比为13 B272nS CnT存在最大值，但无最小值 D 2343nnnnT a 例 79（多选题）（2022全国高三专题练习）已知等比数列 na满足10a，公比1q，且1220231a aa，1220241a aa，则（）A20241a B当2022n 时，12naaa最小 C当1012n 时，12naaa最小 D存在1012n，使得12nnna aa 例 80（多选题）（2022湖南怀化一模）设*nanN是各项为正数的等比数列，q 是其公比，nK是其前 n项的积，且56678,KKKKK，则下列选项中成立的是（）A01q B71a C9

36、5KK D6K与7K均为nK的最大值 例 81（2022全国高三专题练习）已知等比数列 na的前n项和为nS，若1220aa，334S，且2naSa，则实数a的取值范围是（）A0,1 B1,0 C1,12 D11,2 题型九：等比数列的简单应用 例 82（2022河南模拟预测（理）北京2022年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何图 1 是长度为1的线段，将图 1 中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图 2，这称为“一次分

37、形”；用同样的方法把图 2 中的每条线段重复上述操作，得到图 3，这称为“二次分形”；依次进行“n次分形*nN”规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度若要得到一个长度不小于40的分形图，则n的最小值是（）（参考数据lg30.477，lg20.301）A11 B12 C13 D14 例 83（2022四川宜宾市教科所三模（理）如图，作一个边长为 1 的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了 n 个正方形，设这 n个正方形的面积之和为nS，则5S（）A1716 B3116 C6332 D3332 例 84（2022全国高三专题练习）在适宜的环境中，一种细菌的一部分

38、不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入 m 个细菌，在 1 小时内，有34的细菌分裂为原来的 2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10 倍的记录时间为第（）A6 小时末 B7 小时末 C8 小时末 D9 小时末 例 85（2022海南中学高三阶段练习）十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征 仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为四段，去掉其中的区间段1 1,4 2记为第一次操作

39、；再将剩下的三个间11 330,142 44 分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”第三次操作去掉的区间长度和为_；若使去掉的各区间长度之和不小于1920，则需要操作的次数 n的最小值为_（参考数据：lg20.30,lg30.48）例 86（2022全国华中师大一附中模拟预测）已知数列 na为 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12

40、，22，依此规律类推若其前 n 项和*2NknSk，则称 k 为 na的一个理想数将 na的理想数从小到大依次排成一列，则第二个理想数是_；当 na的项数2022n时，其所有理想数的和为_ 例 87（2022江苏南通模拟预测）雪花曲线是瑞典数学家科赫在 1904 年研究的一种分形曲线如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图，重复进行这一过程可依次得到图、图等一系列“雪花曲线”若第个图中的三角形的边长为 1，则第个图形的面积为_；第 n个图中“雪花曲线”的周长 Cn为_ 【过关测试】一、选择题：本题共

41、 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2022上海奉贤二模）若a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：,ab bc cd；,ab bc cd；,ab bc cd，必成等比数列的个数为（）A0 B1 C2 D3 2（2022辽宁实验中学模拟预测）已知数列*Nnan是首项为 1 的正项等差数列，公差不为 0，若1a、数列 2na的第 2 项、数列 2na的第 5 项恰好构成等比数列，则数列 na的通项公式为（）A21nan B21nan C1nan D1nan 3（2022全国高三专题练习）1883 年，德国数学家康托提出了三分康托集，

42、亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间0,1平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间10,3和2,13；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：10,9，2 1,9 3，2 7,3 9，8,19；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历n步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n的最小值是（）A7 B8 C9 D10 4（2022全国模拟预测（理）已知数列 na的前n项和为nS若12a，1nnaS，则100a（）A972 B982 C992 D1002 5（2022全国高

43、三专题练习）数列 na为等比数列，11a，54a，命题3:2p a，命题3:q a是1a、5a的等比中项，则p是q的（）条件 A充要 B充分不必要 C必要不充分 D既不充分也不必要 6（2022安徽合肥市第六中学模拟预测（理）数列 na中，112a，对任意 m，*nN，m nmnaa a，若155121011122kkkaaa，则k（）A2 B3 C4 D5 7（2022安徽合肥市第八中学模拟预测（文）已知数列na满足*22212,3(N)nnnaaan，1*212(1)(N)nnnaan，则数列na第 2022 项为（）A1012352 B1012372 C1011352 D1011372

44、8（2022全国高三专题练习（理）已知数列 na满足12a ，22a，221(1)nnnaa ，则下列选项不正确的是（）A21na是等比数列 B5211210iia C 2na是等比数列 D10152iia 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9（2022江苏南通模拟预测）若数列 na是等比数列，则（）A数列1na是等比数列 B数列nka是等比数列 C数列1nnaa是等比数列 D数列 2na是等比数列 10（2022全国高三专题练习）已知等差数列 na的公差和首项都

45、不等于 0，且3a，5a，8a成等比数列，则下列说法正确的是（）A26103473aaaaa B26103437aaaaa C12da D12ad 11（2022 全国高三专题练习）数列an的前 n 项和为 Sn，*111,2NnnaaSn，则有（）ASn3n1 BSn为等比数列 Can23n1 D21,12 3,2nnnan 12（2022全国高三专题练习）若正整数 mn 只有 1 为公约数，则称 m，n 互质，对于正整数 k，（k）是不大于 k 的正整数中与 k 互质的数的个数，函数（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：21，(3)2，(6)2，(8)4 已知欧拉函数是积性函数

46、，即如果 m，n互质，那么()()()mnmn，例如：(6)(2)(3)，则（）A(5)(8)B数列 2n是等比数列 C数列 6n不是递增数列 D数列 16n的前 n项和小于35 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13（2022河南开封模拟预测（理）在等比数列 na中，nS为其前 n 项和，若33a，39S，则 na的公比为_ 14（2022青海海东市第一中学模拟预测（理）设等比数列 na的前 n 项和为nS，若241252a aa，且61224SSS，则 _.15（2022全国高三专题练习）数列 na满足1192,1102,1119nnnnan，则该数列从第 5 项

47、到第 15 项的和为 _ 16（2022河南睢县高级中学高三阶段练习（理）在数列 na及 nb中，221nnnnnaabab，221nnnnnbabab，11a，11b 设11nnncab，则数列 nc的前2018项和为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17（10 分）（2022河南安阳模拟预测（文）已知公比大于 1 的等比数列 na满足2410aa，34a，数列 nb的前n 项和为nS，416nnS(1)求 na，nb的通项公式；(2)若nnpqab，求数列2nnqp的前 n项和 18（12 分）（2022广西柳州模拟预测（理）已知数列n

48、a满足11a，*121Nnnaan(1)证明1na 是等比数列，并求na的通项公式；(2)求数列1nan的前 n项和nS 19（12 分）（2022上海奉贤二模）已知数列na和 nb，其中2nanb，*Nn，数列nnab的前n项和为nS(1)若2nan，求nS；(2)若 nb是各项为正的等比数列，3nSn，求数列na和 nb的通项公式 20（12 分）（2022上海普陀二模）设nS是各项为正的等比数列 na的前n项的和，且23S，34a，*Nn.(1)求数列 na的通项公式；(2)在数列 na的任意ka与1ka项之间，都插入k（*Nk）个相同的数(1)kk，组成数列 nb，记数列 nb的前n项的和为nT，求100T的值.21（12 分）（2022广东二模）已知递增等比数列 na的前 n项和为nS，且满足2134aa a，314S (1)求数列 na的通项公式(2)若数列 nb满足*,3,313kna nkbkNkknk，求数列 nb的前 15 项和 22（12 分）（2022广东茂名二模）已知na是首项为 1，公差不为 0 的等差数列，且 a1，a2，a5成等比数列(1)求数列na的通项公式；(2)求证：221123221111(1)(1)(1)(1)nnaaaaa