黑龙江省黑河市逊克县第一中学2023学年高三(最后冲刺)数学试卷(含解析)35030.pdf

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1、2023 学年高考数学模拟测试卷 考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知公差不为 0 的等差数列 na的前n项的和为nS，12a，且139,a a a成等比数列，则8S（）A56 B72 C88 D40 2设i是虚数单位，则2332ii（）

2、A12 5i B66i C5i D13 3函数2|sin|2()61xxf xx的图象大致为（）A B C D 4若复数z满足(2)(1)zii（i是虚数单位），则|z（）A102 B10 C52 D5 5如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a，2a，3a，50a为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A38m，12n B26m，12n C12m，12n D24m，10n 6已知数列na满足12nnaa，且134,a a a成等比数列.若na的前 n 项和为nS，则nS的最小值为（）A10 B14 C18 D20 7 已知三棱锥DABC的外接球半径为 2

3、，且球心为线段BC的中点，则三棱锥DABC的体积的最大值为（）A23 B43 C83 D163 8“2a”是“直线210axy 与(1)20 xay互相平行”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9若01ab，则ba，ab，logba，1logab的大小关系为（）A1loglogbabaabab B1loglogabbababa C1loglogbabaaabb D1loglogabbaabab 10若双曲线22214xyb的离心率72e，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A2 3 B2 C3 D1 11已知集合 A=y|y=|x|1，xR，B=x|

4、x2，则下列结论正确的是（）A3A B3B CAB=B DAB=B 12已知20,()1(0),|(),|()()af xaxxxAx f xxBx ff xf xx，若AB则实数a的取值范围是（）A(0,1 B3(0,4 C3,14 D1,)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13函数()3sin()0,2f xx的图像如图所示，则该函数的最小正周期为_.14 在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且2 coscoscosbBaCcA，若ABC外接圆的半径为2 33，则ABC面积的最大值是 _.15三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的 6 个位置上，有

5、且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有_种（比如：B 与 D、B 与 C 是相邻的，A 与 D、C 与 D 是不相邻的）.16若函数 sin3cosf xxx(xR，0)满足 02ff，且|的最小值等于2，则 的值为 _.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，PAD为锐角三角形，且平面PAD 底面ABCD，E为PD的中点，CDDP.（1）求证:OE平面PAB；（2）求证:CDPA.18（12 分）如图 1，在边长为 4 的正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD的中点，现将三角形DEF沿EF翻折

6、成如图 2 所示的五棱锥PABCFE.（1）求证：AC平面PEF；（2）若平面PEF 平面ABCFE，求直线PB与平面PAE所成角的正弦值.19（12 分）在2 316bba，412ba，5348SS这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数k存在，求k的值；若不存在，说明理由.设正数等比数列 nb的前n项和为nS，na是等差数列，_，34ba，12a，35730aaa，是否存在正整数 nb，使得132kkkSSb成立？20（12 分）已知*,a b cR，1abc，求证：（1）3abc；（2）11133131312abc.21（12 分）已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为等

7、腰梯形，ADBC，2PAADABCD，4BC，PA丄底面ABCD.（1）证明：平面PAC 平面PAB；（2）过PA的平面交BC于点E，若平面PAE把四棱锥PABCD分成体积相等的两部分，求二面角APEB的余弦值.22（10 分）已知0,abacd，且abcd（1）请给出,a b c d的一组值，使得2()abcd成立；（2）证明不等式abcd恒成立 2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】2319aa a2111(2)(8)ada ad，将12a 代入，求得

8、公差 d，再利用等差数列的前 n 项和公式计算即可.【题目详解】由已知，2319aa a，12a，故2111(2)(8)ada ad，解得2d 或0d（舍），故2(1)22nann，1888()4(228)722aaS.故选：B.【答案点睛】本题考查等差数列的前 n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.2、A【答案解析】利用复数的乘法运算可求得结果.【题目详解】由复数的乘法法则得22332656125iiiii.故选：A.【答案点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.3、A【答案解析】用偶函数的图象关于y轴对称排除C,用()0f 排除B,用()42f排除D.故只能

9、选A.【题目详解】因为22|sin()|sin|22()()66()1()1xxxxfxf xxx ,所以函数()f x为偶函数,图象关于y轴对称,故可以排除C;因为2|sin|2421()61111f 111 101122 ,故排除B,因为2|sin|22()2()621()2f4216164421616444446662425由图象知,排除D.故选:A【答案点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.4、B【答案解析】利用复数乘法运算化简z，由此求得z.【题目详解】依题意2223ziiii，所以 223110z .故选：B【答案点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考

10、查复数模的计算，属于基础题.5、B【答案解析】试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于 80 和成绩不小于 60 且小于 80 的人数，由茎叶图可知，成绩不小于 80 的有 12 个，成绩不小于 60 且小于 80 的有 26 个，故26m，12n 考点：程序框图、茎叶图 6、D【答案解析】利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得nS，再利用二次函数的性质，可得当4n 或5时，nS取到最小值.【题目详解】根据题意，可知na为等差数列，公差2d，由134,a a a成等比数列，可得2314aa a，1112()4(6)aa a，解得18a .22(1)981829()224nn nS

11、nnnn.根据单调性，可知当4n 或5时，nS取到最小值，最小值为20.故选：D.【答案点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n 或5时同时取到最值.7、C【答案解析】由题可推断出ABC和BCD都是直角三角形，设球心为O，要使三棱锥DABC的体积最大，则需满足hOD，结合几何关系和图形即可求解【题目详解】先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OAOBOC，故ABC是直角三角形，设,ABx ACy，则有22242xyxy，又12ABCSxy，所以142ABCSxy，当且仅当2 2xy

12、时，ABCS取最大值 4，要使三棱锥体积最大，则需使高2hOD，此时1184 2333ABC DABCVSh，故选：C【答案点睛】本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题 8、A【答案解析】利用两条直线互相平行的条件进行判定【题目详解】当2a 时，直线方程为2210 xy 与20 xy，可得两直线平行；若直线210axy 与120 xay互相平行，则12a a，解得12a，21a ，则“2a”是“直线210axy 与120 xay互相平行”的充分不必要条件，故选A【答案点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题

13、9、D【答案解析】因为01ab，所以10aabbaa，因为loglog1bbab，01a，所以11a,1log0ab.综上1loglogabbaabab；故选 D.10、C【答案解析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,a b c的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.【题目详解】双曲线22214xyb的离心率72e，则2a，72cea，解得7c，所以焦点坐标为7,0，所以22743bca，则双曲线渐近线方程为32yx，即320 xy，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得3733 4d，故选：C.【答案点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的

14、简单应用，属于基础题.11、C【答案解析】试题分析：集合|1Ay y ABBBA 考点：集合间的关系 12、C【答案解析】根据A，得到2()1f xaxxx 有解，则440a，得01a，121111,aaxxaa，得到12|()1111,Ax f xxaax xaa，再根据|()()Bx ff xf xx，有()()f f xf x，即22212110a axxaxx，可化为2222110axxa xa，根据AB，则2210a xa 的解集包含1111,aaaa求解，【题目详解】因为A，所以2()1f xaxxx 有解，即2()210f xaxx 有解，所以440a，得01a，121111,a

15、axxaa，所以12|()1111,Ax f xxaax xaa，又因为|()()Bx ff xf xx，所以()()f f xf x，即22212110a axxaxx，可化为2222110axxa xa，因为AB，所以2210a xa 的解集包含1111,aaaa，所以111aaaa或111aaaa，解得314a，故选：C【答案点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题，二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、8【答案解析】根据图象利用6(0)2f，先求出的值，结合 10f求出，然后利用周期公式进行求解即可【题目详

16、解】解：由6(0)3sin2f，得2sin2，2，34，则3()3sin()4f xx，313sin04f，34，即4，则函数的最小正周期2284T，故答案为：8【答案点睛】本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键 14、3【答案解析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围(0,)B可求B的值，利用正弦定理可求b的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解.【题目详解】解：2 coscoscosbBaCcA，由正弦定理可得：2sincossincossincossin()BBACCAAC，ABC，(sin

17、s)inACB，又(0,)B，sin0B，2cos1B，即1cos2B，可得：3B，ABC外接圆的半径为2 33，2 323sin2b，解得2b，由余弦定理2222cosbacacB，可得224acac，又222acac，2242acacacacac（当且仅当ac时取等号），即ac最大值为4，ABC面积的最大值为14sin32B.故答案为：3.【答案点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题 15、192【答案解析】根据题意，分2步进行分析：，在三对父子中任选 1 对，安排在相邻的位置上，将剩下的

18、4 人安排在剩下的 4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案【题目详解】根据题意，分2步进行分析：，在三对父子中任选 1 对，有 3 种选法，由图可得相邻的位置有 4 种情况，将选出的 1 对父子安排在相邻的位置，有3 412种安排方法；，将剩下的 4 人安排在剩下的 4 个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有2 2 2 216 种安排方法，则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法16 12192种；故答案为：192【答案点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 16、1【答案解析】利用辅助角公式化简可得 2sin3fxx,由题可分析|的最小值等于2

19、表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2,进而求解即可.【题目详解】由题,sin3cos2sin3fxxxx,因为 0f,2f,且|的最小值等于2,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2,所以142T,即2T,所以2212T,故答案为:1【答案点睛】本题考查正弦型函数的对称性的应用,考查三角函数的化简.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）证明见解析【答案解析】（1）通过证明/OEPB，即可证明线面平行；（2）通过证明CD 平面PAD，即可证明线线垂直.【题目详解】（1）连BD，因为ABCD为平行四边形，O为其中心，所以，O为BD

20、中点，又因为E为PD中点，所以/OEPB，又PB 平面PAB，OE 平面PAB所以，/OE平面PAB；（2）作PHAD于H因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDADPHAD，PH 平面PAD，所以，PH 平面ABCD又CD 平面ABCD，所以CDPH又CDPD，PDPHP，PD 平面PAD，PH 平面PAD所以，CD 平面PAD，又PA 平面PAD，所以，CDPA.【答案点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.18、（1）证明见解析；（2）2 3015.【答案解析】（1）利用线面平行的定义证明即可（2

21、）取EF的中点O，并分别连接OP，OB，然后，证明相应的线面垂直关系，分别以OE，OB，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用坐标运算进行求解即可【题目详解】证明：（1）在图 1 中，连接AC.又E，F分别为AD，CD中点，所以EFAC.即图 2 中有EFAC.又EF 平面PEF，AC 平面PEF，所以AC平面PEF.解：（2）在图 2 中，取EF的中点O，并分别连接OP，OB.分析知，OPEF，OBEF.又平面PEF 平面ABCFE，平面PEF平面ABCFEEF，PO 平面PEF，所以PO平面ABCFE.又4AB，所以2PFAEPE，2EOOPOF，3 2OB.分别以OE，OB，OP

22、为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0O，0,0,2P，0,3 2,0B，2,0,0E，2 2,2,0A，所以0,3 2,2BP，2,2,0EA，2,0,2EP .设平面PAE的一个法向量,nx y z，则220220 xyxz，取1x，则1y ，1z，所以1,1,1n.又cos,BP nBP nBP n，所以 2222220 13 212 103 22cos,111BP n 2 3015.分析知，直线PB与平面PAE所成角的正弦值为2 3015.【答案点睛】本题考查线面平行的证明以及利用空间向量求解线面角问题，属于基础题 19、见解析【答案解析】根据等差数列性质及12a

23、、35730aaa，可求得等差数列 na的通项公式，由34ba即可求得3b的值；根据等式132kkkSSb，变形可得132kkbb，分别讨论取中的一个，结合等比数列通项公式代入化简，检验是否存在正整数k的值即可.【题目详解】在等差数列 na中，3575330aaaa，510a，公差5125 1aad，112naandn，348ba，若存在正整数k，使得132kkkSSb成立，即132kkbb成立，设正数等比数列的公比为 nb的公比为0q q，若选，2 316bba，24b，322bqb，2nnb，当5k 时，满足6532bb成立.若选，41224ba，433bqb，38 3nnb，238 38

24、 332nn，332n方程无正整数解，不存在正整数k使得132kkbb成立.若选，5348SS，4548bb，28848qq，260qq，解得2q或3q （舍去），2nnb，当5k 时，满足6532bb成立.【答案点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前 n 项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后求参数的值，属于中档题.20、（1）见解析；（2）见解析【答案解析】（1）结合基本不等式,222abbccaabbcca可证明；（2）利用基本不等式得44(31)2(31)43131aaaa，即43 331aa，同理得其他两个式子，三式相加可证结论【题目详解】（1）,222

25、abbccaabbcca，2()222abcabcabbcca()()()()3abcabbcca，当且仅当 a=b=c 等号成立，3abc；（2）由基本不等式44(31)2(31)43131aaaa，43 331aa，同理43 331bb，43 331cc，1114()93()6313131abcabc，当且仅当 a=b=c 等号成立 11133131312abc【答案点睛】本题考查不等式的证明，考查用基本不等式证明不等式成立解题关键是发现基本不等式的形式，方法是综合法 21、（1）见证明；（2）47【答案解析】（1）先证明等腰梯形ABCD中ACAB，然后证明PAAC，即可得到AC丄平面PA

26、B，从而可证明平面PAC丄平面PAB；（2）由PABEPABCDVV三棱锥四棱锥，可得到ABEAECDSS梯形，列出式子可求出BE，然后建立如图的空间坐标系，求出平面PAE的法向量为1n，平面PBE的法向量为2n，由121212cos,n nn nn n可得到答案【题目详解】（1）证明：在等腰梯形ABCD，2ADBC ADABCD，易得60ABC 在ABC中，222 2cos416812ACABBCAB BCABC，则有222ABACBC，故ACAB，又PA 平面ABCD，AC 平面ABCD，PAAC，即 ACABACACPA平面PAB，故平面PAC丄平面PAB.（2）在梯形ABCD中，设BE

27、a，PABEPABCDVV三棱锥四棱锥，ABEAECDSS梯形，1sin22CEADhBABEABE，而22213h,即423132222aa ，3a.以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图的空间坐标系，则0,0,0A，1 3 30,0,22,0,0,022PBE，设平面PAE的法向量为11 3 3,00,0,222nx y zAEAP，由11nAEnAP得13 302220 xyz，取1x，得309yz，131,09n，同理可求得平面PBE的法向量为231,13n，设二面角APEB的平面角为，则1212123310 1934coscos,711

28、1011273n nn nn n，所以二面角APEB的余弦值为47.【答案点睛】本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题 22、（1）2,1,1,1abcd（答案不唯一）（2）证明见解析 【答案解析】（1）找到一组符合条件的值即可；（2）由acd 可得()()0ac ad,整理可得2()acdcd a,两边同除a可得cdacda,再由abcd可得cdba,两边同时加a可得cdabaa,即可得证.【题目详解】解析:（1）2,1,1,1abcd（答案不唯一）（2）证明:由题意可知,0a,因为acd,所以()()0ac ad.所以2()0acd acd,即2()acdcd a.因为0ab,所以cdacda,因为abcd,所以cdba,所以cdabacda.【答案点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.