2020高考数学选填题专项突破测试10函数零点0245422.pdf

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1、 1 2020 高考数学选填题专项测试 02（函数零点）（文理通用）第 I 卷（选择题)一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2020河北冀州中学高三期末）函数2()ln(2)f xxx的零点所在的大致区间为（）A1,2 B2,3 C3,4 D4,5【答案】C【解析】【详解】试题分析：221ln4(3)0,(4)ln20342ff，所以零点所在的大致区间为3,4，选 C.考点：零点存在定理 2（2020陕西西北工业大学附属中学高三）若,1,0,1,2a b，则函数2()2f xaxxb有零点的概率为()A1316

2、 B78 C34 D58【答案】A【解析】【详解】试题分析：显然总的方法中数为：16种 当0a 时：2f xxb无论b取1,0,1,2中何值，原函数必有零点，所以有4种取法；当0a 时，函数2()2f xaxxb为二次函数，若有零点须使：0 即440ab即1ab，所以,a b取值组成的数对分别为：1,0,1,0,2,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,1 共9种，综上符合条件的概率为：94131616，所以答案为：A.解法二：（排除法）总的方法种数为16种，其中原函数若无零点须有0a 且即1ab，所以此时,a b取值组成的数对分别为：1,2,2,1,2,2共3种，所以所求有零点的概

3、率为：31311616，答案为 A.考点：1.分情况讨论思想；2.二次函数的零点.3（2020福建高三）已知函数 32ln f xxxxa有三个零点，则实数 a 的取值范围是（）2 A0a B1a C0a D1a 【答案】A【解析】【分析】令 0f x，得32ln axxx，记 32ln g xxxx,对 g x求导，可得0 x 时，g x在0,1单调递增，在1,单调递减，g x有最大值 0.当0 x时，0g x，g x在,0单调递减，可得 a 的取值范围.【详解】令 0f x，得32ln axxx，记 32ln g xxxx.当0 x 时，32ln g xxxx，21 31xxxgxx，故

4、g x在0,1单调递增，在1,单调递减，g x有最大值 0.当0 x时，0g x，g x在,0单调递减.所以0a.故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性与零点问题，体现了数形结合和分类讨论的思想方法，属于中档题.4（2020辽宁高三）已知函数 21,0log,0 xxf xx x，则 1yffx的零点个数为（）A4 B3 C2 D1【答案】A【解析】【分析】令 f xt，由 10f t 得到12t ，212t，再根据 1f xt和 2f xt，得到x的值，从而得到答案.【详解】令 f xt，则 1yffx的零点，转化为 10f t ，而 21,0log,0ttf tt t，解得

5、3 12t ，212t，所以 12f xt，即0 x时，12x，得3x ，0 x 时，2log2x ，得14x，212fxt，即0 x时，112x ，得12x ，0 x 时，21log2x，得2x.所以 1yffx有 4 个零点.【点睛】本题考查求复合函数的零点，通过换元法区分内外层函数，逐层求解，属于中档题.5（2020江西省宁都中学高三月考）已知偶函数 yf x的定义域为 R，当0 x时，23sin,01221,1xx xf xx函数 2221g xxaxaaR，若函数 yg f x有且仅有 6 个零点，则实数a的取值范围为（）A1,2 B1,2 C2,3 D2,3【答案】B【解析】【分析

6、】画出 f x的图像,先求解 22210g xxaxa,再数形结合列出关于a的不等式求解即可.【详解】由题意画出 f x的图像如图所示,由 22210g xxaxa 解得11xa,21xa,由函数 yg f x有且仅有 6 个零点知11301 1aa ,解得12a,【点睛】本题主要考查了数形结合解决函数零点个数的问题,需要根据函数图像与带参数的方程交点的个数,列出对应的不等式进行求解.属于中等题型.6（2020湖北恩施土家族苗族高中高三月考）已知单调函数()f x的定义域为(0,)，对于定义域内任意x，2()log3ff xx，则函数()()7g xf xx的零点所在的区间为（）A(1,2)B

7、(2,3)C(3,4)D(4,5)【答案】C【解析】4【分析】令2()logtf xx，则 2logf xxt且 3f t 可得 2log3f ttt 可知2t，写出 2log5g xxx，根据零点的存在性定理确定零点所在的区间.【详解】根据题意，对任意的(0,)x，都有2()log3ff xx，又由 f x是定义在0+，上的单调函数，则2()logf xx为定值，设2()logtf xx，则 2logf xxt，又由 3f t，2log3f ttt，所以2t，所以 2log2f xx，所以 2log5g xxx，因为 1020304050ggggg，所以零点所在的区间为（3，4）.【点睛】本

8、题主要考查了抽象函数的性质，零点存在性定理，利用换元法求出函数的解析式是解题的关键，属于难题.7（2020陕西西北工业大学附属中学高三月考（理）记函数|1|1()cos2xf xx在区间(2,4)上的零点分别为(1,2,)ixx in，则1niix（）A3 B4 C5 D6【答案】D【解析】【分析】画出11,cos2xyyx在区间2,4上的图象，根据两个图象交点的对称性，求得1niix.【详解】令|1|1()cos02xf xx，得|1|1cos2xx，画出11,cos2xyyx在区间2,4上的图象如下图所示.两个函数图象都关于直线1x 对称，所以两个函数图象的六个交点，也关于直线1x 对称，

9、所以13 26niix.5 8（2020安庆市第二中学高三期末）若函数3,21(),20 xxa xxf xaexx，恰有 3 个零点，则实数a的取值范围为（）A21,33 B212,ee C11,3e D11,3e【答案】D【解析】【分析】将函数零点个数转化为函数图象与x叫交点的个数【详解】当2x 时，可得31xax，函数1xyx的图象如图：方程至多一个解，此时满足132a，可得23a，1)3，当(2,0)x 时，xaex，即xaxe，令xyxe，可得(1)xyx e，令(1)0 xx e，可得1x，(2,1)x 时，0y，函数是减函数，(1,0)x 时，函数是增函数，函数的最小值为1e，2

10、x 时，22ye，方程有两个解，可得212(,)aee，故实数a的取值范围为11(,)3e 【点睛】本题考查利用函数零点个数求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用导数求单调性 9.（2020洪洞县第一中学高三期中）已知函数11,20()ln1,0 xxf xxx 若()()g xf xkx恰有 4 个零点，则k的取值范围是（）A210,e B21,1e C221,ee D20,e【答案】A 6【解析】【分析】由零点定义可知()f xkx恰有 4 个不同交点，画出函数()f x的图像；利用导数求得直线()f

11、 xkx与()f x相切时的斜率，再将直线()f xkx绕原点旋转，即可判断出有 4 个交点时的斜率取值范围.【详解】根据零点定义可知()()0g xf xkx，即()f xkx恰有 4 个不同交点，画出函数11,20()ln1,0 xxf xxx 的图像如下图所示：当0 x 时，()ln1f xx，则1()fxx，设()f xkx与()ln1f xx相切于,m km，由导数几何意义及切点在()ln1f xx上，则满足1ln1kmkmm解得221keme，将直线()f xkx绕原点旋转，当恰有 4 个交点时满足210ke，即k的取值范围为210,e，【点睛】本题考查了函数零点与方程根的关系，利

12、用导数的几何意义求得相切的斜率，利用数形结合法求参数的取值范围，综合性强，属于难题.10（2020陕西高三）已知函数 ln,11,12x xf xxx，若 1F xffxm有两个零点12,x x，则12x x的取值范围是（）A42ln2,Be,C,42ln2 D,e【答案】D【解析】如图，7 所以 0f x，令 1tf x，则1t，又 1F xffxm有两个零点，则 ln0f tmtm有解，则存在解01t，又 1201f xf xt，所以令 1212fxfxm，且 111112xfxx，222lnfxxxe，所以112121xx xx e，令 12,1xg xxex，则 11122211022

13、xxxxgxexee，所以 g x在,1单调递增，则 max1g xge，所以 g x的范围是,e。故选 D。点睛：本题为分段的嵌套函数，则令 1tf x，又原函数的值域性质可知 1F xffxm有两个零点，及 ln0f tmtm有解，则存在解01t，且 1201f xf xt，由图象可知，1212fxfxm，且 111112xfxx，222lnfxxxe，所以112121xx xx e，令 12,1xg xxex，通过求导，可知 g x的范围是,e。11.（2020湖北恩施土家族苗族高中高三月考）已知函数21(0)()21(0)xxxf xexxx，若函数()1yf f xa有三个零点，则实

14、数a的取值范围是（）A1(1 1)(2 3e，B11(1 1)(2 33ee，C11(1 1)2 3)3ee，D2(1 1)(2 3e，【答案】B【解析】【详解】该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图象的走向，找出函数的极值，从而结合图象完成任务.8 详解：()10f f xa，即()1ff xa，结合函数解析式，可以求得方程()1f x 的根为2x 或0 x，从而得到()2f xa 和()0f xa一共有三个根，即(),()2f xa f xa共有三个根，当0 x时，()11xxf xe，21()xxxxexexfxee，从而可以确

15、定函数()f x在(,1)上是减函数，在(1,1)上是增函数，在(1,)上是减函数，且1(1)0,(1)1ffe，此时两个值的差距小于 2，所以该题等价于20111aae 或2011aae 或2001aa或02111aae 或12111aeae ，解得111ae 或23a或13ae，所以所求 a 的范围是11(1,1)(2,33ee，故选 B.点睛：解决该题的关键是明确函数图象的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.12（2020安庆市第二中学高三期末（理）已知函数()2xmf xxemx（e为自然对数的底数）在(0,)上有两个零点，则m的

16、范围是（）A(0,)e B(0,2)e C(,)e D(2,)e 【答案】D【解析】【分析】利用参数分离法进行转化，12xxemx，设()12xxeh xx（0 x 且12x），构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可【详解】由()02xmf xxemx得1()22xmxemxm x，当12x 时，方程不成立，即12x，则12xxemx，设()12xxeh xx（0 x 且12x），则222111222()1122xxxxexxeexxh xxx21(1)(21)212xexxx，9 0 x 且12x，由()0h x 得1x，当1x 时，()0h x，函数为增函

17、数，当01x且12x 时，()0h x，函数为减函数，则当1x 时函数取得极小值，极小值为(1)2he，当102x时，()0h x，且单调递减，作出函数()h x的图象如图：要使12xxemx有两个不同的根，则2me即可，即实数m的取值范围是(2,)e.方法 2：由()02xmf xxemx得1()22xmxemxm x，设()xg xxe，1()()2h xm x，()(1)xxxg xexexe，当0 x 时，()0g x，则()g x为增函数，设1()2h xm x与()xg xxe，相切时的切点为(,)aa ae，切线斜率(1)akae，则切线方程为(1)()aayaeaexa，当切线

18、过1(,0)2时，1(1)()2aaaeaea，即21122aaaa，即2210aa，得1a 或12a （舍），则切线斜率(1 1)2kee，要使()g x与()h x在(0,)上有两个不同的交点，则2me，即实数m的取值范围是(2,)e.10【点睛】本题主要考查函数极值的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键 第 II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。13（2020海口市第四中学高三月考）若函数 ln1f xxax，aR有零点，则实数 a 的取值范围是_【答案

19、】,1.【解析】【分析】函数()1f xlnxax，aR有零点可化为方程10lnxax 有解，从而得到1lnxax，令1()lnxg xx，求2()lnxg xx以确定函数的单调性，从而求实数a的取值范围【详解】函数()1f xlnxax，aR有零点可化为方程10lnxax 有解，即1lnxax，令1()lnxg xx，2()lnxg xx，故1()lnxg xx在(0,1)上是增函数，在(1,)上是减函数，故()g xg（1）1；故1a故答案为：1a【点睛】本题考查了函数零点的判定定理及导数的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于常考题 14（2020江苏高三月考）已知函数 f

20、(x)1,0,0 xxxlnxex x,若 g(x)=f(x)kx 有两个不等的零点,则实数 k 的取值范围为_.【答案】（，1）（e，e1e）【解析】【分析】等价于 f xxk 有 2 个不等实根有 2 个不等根，设 h（x）21100 xfxxlnxxexx，作出函数的图象分析得解.【详解】函数 g（x）f（x）kx 有两个不等的零点，即方程 f（x）kx 有 2 个不等根，11 因为 x0，所以也等价于 f xxk 有 2 个不等实根，根据条件令 h（x）21100 xfxxlnxxexx，因为 x0 时，h（x）121x1，x0 时，h（x）21lnxx，当 0 xe 时，h（x）单调

21、递增，当 xe时，h（x）单调递减，且当 x+时，h（x）e，作出函数 h（x）的图象如图：根据图象可知，k（，1）（e，e1e），故答案为：（，1）（e，e1e）【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查利用导数研究函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.（2020山东高三）已知函数 22,xxaf xxxa，若1a，则不等式 2f x 的解集为_，若存在实数b，使函数 g xf xb有两个零点，则a的取值范围是_【答案】(,2 (,2)(4,)【解析】【分析】将 a=1 代入原函数，可得 f x的解析式，可得不等式 2f x 的解集；分 a 的情况进行讨论

22、，可得 g xf xb有两个零点时候，a 的取值范围.【详解】由题意得：22,xxaf xxxa，当 a=1 时，22,1,1xxf xxx，可得：（1）当1x时，2f x，可得1x；（2）当1x 时，2f x，可得2x，综合可得 2f x 的解集为(,2；12 由 22,xxaf xxxa，g xf xb只有一个零点时，22xx，可得2=4xx 或，当2a 时，此时 22,2,2xxf xxx，g xf xb只有一个零点，当2a 时，有两个零点，同理，当4a 时，此时 22,4,4xxf xxx，g xf xb只有一个零点，当4a时，有两个零点，故可得a的取值范围是(,2)(4,)【点睛】本

23、题主要考查分段函数与函数的性质，综合性强，注意分类讨论思想的运用.16.（2020江苏高三开学考试）若函数2ln,0()1,0 xaxxf xxaxx恰有 3 个不同的零点，则 a 的取值范围是_.【答案】(,1)(2,)【解析】【分析】去绝对值，分0axe、axe与0 x进行讨论，对()f x进行化简，同时对()f x求导，结合函数有 3 个不同的零点，可得 a 的取值范围.【详解】（1）当0axe时，()lnf xxxa ，因为()f x递减，()0aaf ee，0 x时，()f x ，所以()f x在(0,ae有 1 个零点；当axe时，()lnf xxxa ，因为1()xfxx，1ae

24、，即0a 时，()f x在(,)ae上递减，所以()()0aaf xf ee，即()f x在(,)ae没有零点；1ae，即0a时，()f x在(,1)ae上递增，在(1,)上递减，因为()0aaf ee，(1)1fa ，所以10a 时，()f x在(,)ae没有零点；1a 时，()f x在(,)ae有 1 个零点；1a 时，()f x在(,)ae有 2 个不同的零点.（2）当0 x时，2()1f xxax，当2a 时，()f x在(,0上没有零点；当2a 时，()f x在(,0有 1 个零点；2a 时，()f x在(,0有 2 个不同的零点.综上，当1a 或2a 时()f x恰有三个不同的零点.【点睛】本题主要考查函数的零点与利用导数判断函数的单调性与零点，属于难题.13