中考必胜名师精品！2020中考数学压轴题全揭秘突破专题17二次函数的面积问题44998.pdf

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1、1专题 17 二次函数的面积问题【考点 1】二次函数的线段最值问题【例 1】如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D 为直线 BC 上方抛物线上一动点，DEBC 于点 E（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段 DE 长度的最大值【答案】（1）y34x2+94x+3；（2）最大值是125【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 DM，根据相似三角形的判定与性质，可得 DE 的长，根据二次函数的性质，可得答案2【详解】解：（1）由题意得，016403abcab

2、cc，解得，34943abc，抛物线的函数表达式为 y34x2+94x+3；（2）过点 D 作 DMx 轴交 BC 于 M 点，由勾股定理得，BC22OCOB5，设直线 BC 的解析是为 ykx+b，则403kbb，解得343kb，直线 BC 的解析是为 y34x+3，设点 M 的坐标为（a，34a+3），DM（34a2+94a+3）（34a+3）34a2+3a，DMEOCB，DEMBOC，DEMBOC，3DEBODMBC，即DEDM45，解得，DE45DMDE35a2+125a35（a2）2+125，当 a2 时，DE 取最大值，最大值是125【点睛】本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相

3、似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键【变式 1-1】已知抛物线 y=mx2+2mx+m-1 和直线 y=mx+m-1，且 m0（1）求抛物线的顶点坐标；（2）试说明抛物线与直线有两个交点；（3）已知点 T（t，0），且-1t1，过点 T作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 P，与直线交于点 Q，当 0m3时，求线段 PQ 长的最大值【答案】（1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ 的最大值为 6.【解析】【分析】（1）化为顶点式即可求顶点坐标;（2）由 y=mx2+2mx+m-1 和 y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1=mx+

4、m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知抛物线与直线有两个交点;（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点 P 的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点 Q 的坐标为（t，mt+m-1）故分两种情况进行讨论：如图 1，当-1t0 时；如图 2，当 0t1 时，求出对应的最大值即可【详解】解：（1）y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，抛物线的顶点坐标为（-1，-1）（2）由 y=mx2+2mx+m-1 和 y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，mx2+mx=0，mx（x+1）=0，m0，x1=0，x2=-14抛物线与直线有两

5、个交点（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点 P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点 Q的坐标为（t，mt+m-1）如图 1，当-1t 0 时，PQ=2QPyymt mt=211()24mtmm 0，当12t 时，PQ 有最大值，且最大值为14m0m 3，14m34，即 PQ 的最大值为34如图 2，当 0t 1 时，PQ=2PQyymt mt=211()24mtmm 0，当 t=1 时，PQ 有最大值，且最大值为 2m 0m 3，02m 6，即 PQ 的最大值为 6综上所述，PQ 的最大值为 6【点睛】此题主要考查二次函数的应用，（1）（2）题相对简

6、单，（3）题要分情况进行讨论方右解答，因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答【变式 1-2】如图 1，已知抛物线 y=x2+mx+m2 的顶点为 A，且经过点 B（3，3）（1）求顶点 A的坐标（2）若 P是抛物线上且位于直线 OB 上方的一个动点，求OPB 的面积的最大值及比时点 P的坐标；（3）如图 2，将原抛物线沿射线 OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 OA 交于 C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段 CD 的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理5由【答案】（1）（1，1）；（2）P（，）；（3）.【解析】【分析】（1

7、）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；（2）过点 P 作 y 轴的平行线交 OB 与点 Q，求出直线 BP 的解析式，表示出点 Q 的坐标，根据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得 P 点坐标；（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与 OA的解析式，可得 C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案【详解】解：（1）把 B（3，3）代入 y=x2+mx+m2得：3=32+3m+m2，解得 m=2，y=x2+2x=（x+1）2+1，顶点 A 的坐标是（1，1）；（2）过点 P 作 y 轴的平行线交 OB 与点 Q.直线 OB 的解析式为 y=x，故设

8、 P（n，n2+2n），Q（n，n），PQ=n2+2n（n）=n2+3n，SOPB=（n2+3n）=（n）+，当 n=时，SOPB的最大值为此时 y=n2+2n=，6P（，）；（3）直线 OA 的解析式为 y=x，可设新的抛物线解析式为 y=（xa）2+a，联立，（xa）2+a=x，x1=a，x2=a1，即 C、D 两点间的横坐标的差为 1，CD=【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型.【考点 2】二次函数的面积定值问题【例 2】已知二次函数2248yxmxm（1）图象经过点1,1（）时，则m_

9、；（2）当2x时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求 m的取值范围；（3）以抛物线2248yxmxm的顶点 A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在抛物线上），请问：AMN的面积是与 m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由7【答案】（1）4；（2）m2；（3）AMN的面积是与 m 无关的定值，SAMN3 3.【解析】【分析】（1）将点1,1（）代入二次函数解析式即可求出 m；（2）求出二次函数的对称轴为 xm，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边 y 随 x 的增大而减小，可求出 m 的取值范围；（3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形

10、的面积，可得到AMN 的面积是与 m 无关的定值【详解】解：（1）将点1,1（）代入2248yxmxm可得：1 1 248mm，解得：m=4；（2）二次函数2248yxmxm的对称轴是：xm，当 x2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，m2；（3）AMN的面积是与 m无关的定值；如图：顶点 A 的坐标为（m，m24m8），AMN 是抛物线的内接正三角形，MN 交对称轴于点 B，tanAMBtan603ABBM=，AB3BM3BN，设 BMBNa，则 AB3a，点 M 的坐标为（ma，3am24m8），8点 M 在抛物线上，3am24m8（ma）22m（ma）4m8，整理得：230aa-=，

11、解得：a3或 a0（舍去），AMN 是边长为2 3的正三角形，AB=3，SAMN12 3 33 32，与 m 无关.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用，其中（3）问有一定难度，根据点 M 在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键【变式 2-1】如图，已知抛物线交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C点，A 点坐标为（1，0），OC=2，OB=3，点 D为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）P为坐标平面内一点，以 B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求 P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点 M1、M2、M3使得M

12、1BC、M2BC、M3BC的面积均为定值 S，求出定值 S 及 M1、M2、M3这三个点的坐标9【答案】（1）y=23x2+43x+2；(2)见解析；（3）见解析.【解析】【详解】分析：（1）由 OC 与 OB 的长，确定出 B 与 C 的坐标，再由 A 坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；（2）分三种情况讨论：当四边形 CBPD 是平行四边形；当四边形 BCPD 是平行四边形；四边形 BDCP 是平行四边形时，利用平移规律确定出 P 坐标即可；（3）由 B 与 C 坐标确定出直线 BC 解析式，求出与直线 BC 平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线 BC 解析式，进

13、而确定出另一条与直线 BC 平行且与 BC 距离相等的直线解析式，确定出所求 M 坐标，且求出定值 S 的值即可详解：（1）由 OC=2，OB=3，得到 B（3，0），C（0，2），设抛物线解析式为 y=a（x+1）（x3），把 C（0，2）代入得：2=3a，即 a=23，则抛物线解析式为 y=23（x+1）（x3）=23x2+43x+2；（2）抛物线 y=23（x+1）（x3）=23x2+43x+2=23（x1）2+83，D（1，83），当四边形 CBPD 是平行四边形时，由 B（3，0），C（0，2），得到 P（4，23）；当四边形 CDBP 是平行四边形时，由 B（3，0），C（0，2）

14、，得到 P（2，23）；当四边形 BCPD 是平行四边形时，由 B（3，0），C（0，2），得到 P（2，143）；（3）设直线 BC 解析式为 y=kx+b，把 B（3，0），C（0，2）代入得：302kbb，解得：232kb，y=23x+2，10设与直线 BC 平行的解析式为 y=23x+b，联立得：22324233yxbyxx ，消去 y 得：2x26x+3b6=0，当直线与抛物线只有一个公共点时，=368（3b6）=0，解得：b=72，即 y=23x+72，此时交点 M1坐标为（32，52）；可得出两平行线间的距离为9 1326，同理可得另一条与 BC 平行且平行线间的距离为9 132

15、6的直线方程为 y=23x+12，联立解得：M2（33 22，122），M3（3+3 22，122），此时 S=1点睛：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键【变式 2-2】如图：已知抛物线 13(0)2yxm xmmm 与x轴交于 A、B 两点（点 A在点 B左侧），与y交于点 C，抛物线对称轴与x轴交于点 D，9 3,02E为x轴上一点（1）写出点 A、B、C 的坐标（用m表示）；11（2）若以 DE 为直径的圆经过点 C 且与抛物线交于另一点 F，求抛物线解析式；P 为线段 DE 上一动（不与

16、D、E重合），过 P 作PQEC作PHDF，判断PQPHDCEF是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由；（3）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转 30，与y相交于点M，连接BM.点S是线段AM的中点，连接OS.若点N是线段BM上一个动点，连接SN，将SMN绕点S逆时针旋转60得到SOT，延长TO交BM于点K若KTN的面积等于ABM的面积的112，求线段MN的长【答案】（1）A(-3m，0)，B(m，0)，C(0，32m)（2）233 312yxx ，+1PQPHDCEF，理由见解析；（3）线段MN的长为 2 或2 5【解析】（1）A（-3m，0），B（m，0），C（0，32m）（2）D

17、CE 为直角三角形OC2=OD OE，m=2 3，233 312yxx DE 为直径，DCE=DFE=90，PQ EC，PHDF，PQ DC，PHEFPQPEDCDE，PHDPEF DE，+1PQPHPE DPDEDCEFDEDE12（3）A（6 3，0），B（2 3，0），又OAM=60，cos30=OMOA，OM=6，M（0，6）又 tanABM=OMOB=3，OBM=60，AMB=90，S是线段AM的中点，OSM=60，AOS=30，又SOT=90，AOT=60，直线 TK：y=-3x；BM：y=3x-6，联立两个方程，解得：K（3，-3）设 MN=a，TK=TO+OK=a+23，KTN

18、的高 h=TK sin60=332a NK=2 3a，SKTN=112SABM12 32NKh，132 332 322aa（）a=2 或 a=2 5点睛：本题考查二次函数综合题、旋转变换、解直角三角形等知识，平行线的性质，解题的关键是学会转化，属于中考压轴题【考点 3】二次函数的面积最值问题【例 3】已知抛物线22y xxmm（1）求证：抛物线与x轴必定有公共点；（2）若 P（a，y1），Q（2，y2）是抛物线上的两点，且 y1y2，求a的取值范围；（3）设抛物线与 x 轴交于点 1,0Ax、2,0B x，点 A在点 B的左侧，与 y 轴负半轴交于点 C，且123xx，若点 D是直线 BC 下

19、方抛物线上一点，连接 AD 交 BC 于点 E，记ACE 的面积为 S1，DCE的面积为 S2，求21SS是否有最值？若有，求出该最值；若没有，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）2a 或3a，（3）21SS没有最小值；21SS有最大值是13【解析】分析：（1）本题需先根据判别式解出无论 m 为任何实数都大于零，再判断出物线与 x 轴总有交点（2）分两种情况：当点 P 在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，得2a ；当点 P 在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，3a，故得解.13详解：（1）令0y 得220 xx mm 224441bac mm221m无论m取何值，2210m 抛物线与x轴

20、必定有公共点（2）22yxx mm，抛物线的对称轴是12x 当点 P 在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，y1y2，2a 当点 P 在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，Q（2，y2）关于对称轴的对称点是（3，y2）y1y2，3a 综上所述：2a 或3a（3）11xm，2xm 123xx、13mm ，解得1m或2m 22yxx 1,0A、2,0B，0,2C 直线 BC 的解析式是2yx 设点 A 到直线 BC 的距离是1h，点 D 到直线 BC 的距离是2h，ACE 的面积 S1112CEh，DCE 的面积 S2212CEh13 22h，2221123ShhSh 求21SS的最值转化为求2h

21、的最值设过点 D 与直线 BC 平行的直线解析式为yx b 当点 D 在直线 BC 下方的抛物线上运动时，2h无最小值，仅当直线yx b 与抛物线22yxx 只有一14个公共点时，2h有最大值即方程组22y xxy x b 有两个相等的实数根2220 xxb ，4840b ，3b ，此时222h21SS没有最小值；21SS有最大值是13 1,0A、2,0B点睛：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意找出各点的坐标问题，再把各点代入解析式是解题的关键【变式 3-1】如图，直线334xy 与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线234y axx c经过B、C两点.求点C的坐标；求抛物线的解

22、析式；如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当BEC面积最大时，请求出点E的坐标和BEC面积的最大值.15【答案】4,0C；233384yxx；点E的坐标是 2,3时，BEC的面积最大，最大面积是3.【解析】【分析】利用利用 x 轴上点的坐标特点代入一次函数即可.根据抛物线234yaxxc经过B、C两点，先求出 B 点坐标，再用待定系数法求解析式即可.根据“铅垂高，水平宽”方法求面积.过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，利用 E、M 横坐标相等及所在函数关系式设出坐标，求出 EM 的长，再利用BECBEMMECSSS，把 EM看作BEM 和MEC 的底，求出面积写出

23、关系式，最后利用二次函数求最值即可.【详解】解：直线334xy 与x轴交于点C，当 y=0 时，解得 x=4C 点坐标为：4,0直线334yx与x轴交于点C，与y轴交于点B，当 x=0 时，解得 y=3点B的坐标是 0,3，点C的坐标是 4,0，抛物线234yaxxc经过B、C两点，3164043acc 解得383ac,抛物线的解析式为233384yxx.如图，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，16已知点E是直线BC上方抛物线上的一动点，则可设点E的坐标是233,384xxx，点M的坐标是3,34xx，22333333384482EMxxxxx .BECBEMMECS

24、SS，22113334(2)322824BECSMEOCxxx .即当2x 时，即点E的坐标是 2,3时，BEC的面积最大，最大面积是3.【点睛】此题考查的是一次函数的与坐标轴的交点坐标；待定系数法求二次函数解析式；用“铅垂高，水平宽”求面积最值问题.【变式 3-2】如图，抛物线22y ax bx交x轴于点 30A,和点10B,，交y轴于点C.(1)求这个抛物线的函数表达式；(2)若点D的坐标为 1,0，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值.【答案】(1)224233yxx；(2)S的最大值为174.17【解析】【分析】（1）根据 A,B 两点坐标可得出函数表达式；

25、（2）设点224,233P xxx，根据+APOCPOODCADCPSSSSS四边形列出 S 关于 x 的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求最值.【详解】解：（1）将 A,B 两点的坐标代入解析式得，9320,20,aba b 解得2,34.3ab 故抛物线的表达式为：224233yxx；（2）连接OP，设点224,233P xxx，由（1）中表达式可得点 0,2C，则+APOCPOODCADCPSSSSS四边形111222pPAO yOC xCO OD 222411221()2 13=3323222xxxxx ，10，故S有最大值，当32x 时，S的最大值为174.【点睛】本题主要考查二

26、次函数表达式的求法以及二次函数的图像与性质，有一定的综合性.对于二次函数中的面积问题，常需用到“割补法”.【考点 4】二次函数面积的其它问题18【例 4】如图，在平面直角坐标系中，直线55yx 与x轴、y轴分别交于,AC两点，抛物线2y x bxc经过,AC两点，与x轴交于另一点B.（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）连接BC，求ABC的面积；（3）若点M为抛物线上一动点，连接,MAMB，当点M运动到某一位置时，ABM面积为ABC的面积的45倍，求此时点M的坐标.【答案】（1）265y xx，5,0B；（2）10ABCS；（3）M点的坐标为1M，2M3-2 2 4（，），3M，见解析.【解析

27、】【分析】（1）利用,AC两点是一次函数上的点求出,AC两点，再代入二次函数求解即可.（2）根据1,0A，5,0B，求出4AB，求出ABC.（3）根据ABM面积为ABC的面积的45倍，求出4410855ABMABCSS，得出1644My ，求出此时 M 的坐标即可.【详解】（1）解：直线55yx 令0y，则055x ，解得1x 1,0A令0 x，则5y，0,5C19将点1,0A，0,5C代入2y x bxc中得，105b cc ，解得65bc 抛物线的解析式为：265y xx；令0y，则2650 xx，解得121,5xx 5,0B.（2）解：1,0A，5,0B4AB114 51022ABCSA

28、B OC （3）ABM面积为ABC的面积的45倍，4410855ABMABCSS AB=4,1644My ，226534y xxx 20抛物线的顶点坐标为 13,4M符合条件，当4My 时，2654xx，解的，x1=3-2 2，x2=32 2，M点的坐标为1M（3，-4），2M3-2 2 4，3M32 2 4，.【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数是解题的关键.【变式 4-1】如图，抛物线 y ax2bx c 经过原点 O，与 x 轴交于另一点 N，直线 y kx 4 与两坐标轴分别交于 A、D 两点，与抛物线交于点 B(1，m)、C(2，2)1.求直线与抛物线的解析式2.若抛物线在

29、 x 轴上方的部分有一动点 P(x，y)，设PON，求当PON 的面积最大时 tan 的值3.若动点 P 保持（2）中的运动线路，问是否存在点 P，使得POA 的面积等于PON 的面积的？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)所求的抛物线为(2)(3)存在点，其坐标为（1，3）【解析】【分析】（1）根据 C 点的坐标可确定直线 AD 的解析式，进而可求出 B 点坐标，将 B、C、O 三点坐标代入抛物线中，即可求得此二次函数的解析式；（2）此题的关键是求出 P 点的坐标；PON 中，ON 的长为定值，若PON 的面积最大，那么 P 点离 ON的距离最远，即 P 点为抛物

30、线的顶点，根据（1）所得的抛物线解析式即可求得 P 点的坐标，进而可求出的正切值；（3）设出点 P 的横坐标，根据抛物线的解析式可表示出 P 点的纵坐标；根据直线 AD 和抛物线的解析式可求出 A、N 的坐标；以 ON 为底，P 点纵坐标为高可得到OPN 的面积，以 OA 为底，P 点横坐标为高可得到OAP 的面积，根据题目给出的POA 和PON 的面积关系即可求出 P 点的横坐标，进而可求出 P 点的21坐标【详解】（1）将点 C（2，2）代入直线 y=kx+4，可得 k=-1所以直线的解析式为 y=-x+4当 x=1 时，y=3，所以 B 点的坐标为（1，3）将 B、C、O 三点的坐标分别

31、代入抛物线 y=ax2+bx+c，可得解得，所以所求的抛物线为 y=-2x2+5x（2）因为 ON 的长是一定值，所以当点 P 为抛物线的顶点时，PON 的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为（，此时 tan=（3）存在；把 x=0 代入直线 y=-x+4 得 y=4，所以点 A（0，4）把 y=0 代入抛物线 y=-2x2+5x得 x=0 或 x=，所以点 N（，0）设动点 P 坐标为（x，y），其中 y=-2x2+5x（0 x）则得：SOAP=|OA|x=2xSONP=|ON|y=（-2x2+5x）=（-2x2+5x）由 SOAP=SONP，即 2x=（-2x2+5x）解得 x=0（舍去）或

32、x=1，得 x=1，由此得 y=3所以得点 P 存在，其坐标为（1，3）【点睛】22此题考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法【变式 4-2】如图1，抛物线23yxx 与直线22yx 交于A、B两点，过A作/ACx轴交抛物线于点C，直线AB交x轴于点D 1求A、B、C三点的坐标；2若点H是线段BD上的一个动点，过H作/HEy轴交抛物线于E点，连接OE、OH，当310HEAC时，求OEHS的值；3如图2，连接BO，CO及BC，设点F是BC的中点，点P是线段CO上任意一点，将BFP沿边PF翻折得到GPF，求当P

33、C为何值时，GPF与CFP重叠部分的面积是BCP面积的14【答案】（1）点A坐标 1,4，点B坐标 2,2，点C坐标4,4；（2）33 38OEHS；（3）当3 2PC 或10时，GPF与CFO重叠部分的面积是BCP面积的14【解析】【分析】（1）列方程组可知 A、B 两点坐标，根据点 C 的纵坐标与点 A 的纵坐标相同，列方程可求得点 C 坐标（2）如图 1 中，设,22H mm，(21)m ，则2,3Emmm，根据310HEAC，列出方程求出点 H 的横坐标，根据三角形的面积公式计算即可解决问题（3）分两种情形若翻折后，点 G 在直线 OC 下方时，连接 CG如图 2，可证四边形 PFCG

34、 是平行四边形，得10PBPGCF，在 RtPBO 中，根据22OPPBBO，即可解决问题若翻折后，点 G 在直线 OC 上方时，连接 CG 如图 3，可证四边形 PFGC 是平行四边形，得12PCFGBFBC即可解决问题23【详解】解：1由2322yxxyx 解得22xy 或14xy，点A坐标 1,4，点B坐标 2,2，/AC x轴，点C纵坐标为4，由234xx ，解得4x 或1，点C坐标4,4 2如图1中，设,22H mm，(21)m ，则2,3Emmm，由题意23322510mmm，解得132m或132（舍弃），131333 32228OEHS 3 2,2B，4,4C ，22262 10

35、BC，22OB，42OC，222OB OCBC，90BOC若翻折后，点G在直线OC下方时，连接CG如图2，24111422PFLPBCPFCPFGSSSS，PFLFCLPLGSSS，FLLGCL LP，四边形PFCG是平行四边形，10PB PG CF，在Rt PBO中，222OPPB BO，4223 2PC OC OP若翻折后，点G在直线OC上方时，连接CG如图3，111422PFLPBCPFCPFGSSSS，PFLFCLPLGSSS，FLLGCL LP，四边形PFGC是平行四边形，1102PC FG BFBC，综上所述:当3 2PC 或10时，GPF与CFO重叠部分的面积是BCP面积的142

36、5【点睛】属于二次函数综合题，考查二次函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，综合性比较强，难度较大.一、解答题1如图，抛物线2y x bxc交x轴于A、B两点，其中点A坐标为 1,0，与y轴交于点 0,3C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，连接AC，点P在抛物线上，且满足2PABACO 求点P的坐标；（3）如图，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N请问DM DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由【答案】（1）223y xx（2）939,416或15 57,4 16（3）D

37、M DN为定值【解析】【分析】（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式即求得b、c的值（2）点P可以在x轴上方或下方，需分类讨论若点P在x轴下方，延长AP到H，使AH AB构造等腰ABH，作BH中点G，即有22PABBAGACO ，利用ACO的三角函数值，求BG、BH的长，进而求得H的坐标，求得直线AH的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标 若点P在x轴上方，根据对称性，AP一定经过点H关于x轴的对称点H，求得直线AH的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标（3）设点Q横坐标为t，用t表示直线AQ、BN的解析式，把1x 分别代入即求得点M、N的纵坐26标，再求D M、DN的长，即得到DM

38、 DN为定值【详解】（1）抛物线2y x bxc经过点()1,0A，0,3C.10003b cc ，解得：23bc.抛物线的函数表达式为223y xx.（2）若点P在x轴下方，如图 1，延长AP到H，使AH AB，过点B作BI x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI BI于点I.当2230 xx，解得：13x，21x.3,0B.()1,0A，0,3C，1OA，3OC，221310AC ，4AB，Rt AOC中，10sin10OAACOAC，3 10cos10OCACOAC，AB AH，G为BH中点，AG BH，BG GH，BAGHAG，即2PABBAG，2PAB

39、ACO，BAGACO，Rt ABG中，90AGB，10sin10BGBAGAB，102 10105BGAB，4 1025BHBG.90HBI ABGABG BAG ，27HBI BAGACO ，Rt BHI中，90BIH，10sin10HIHBIBH，3 10cos10BIHBIBH.104105HIBH，3 1012105BIBH，411355Hx ，125Hy ，即1112,55H，设直线AH解析式为y kx a，0111255k ak a ，解得：3434ka，直线AH：33yx44.2334423yxy xx，解得：1110 xy（即点A），22943916xy ，939,416P.若

40、点P在x轴上方，如图 2，在AP上截取AH AH，则H与H关于x轴对称，11 12,55H，设直线AH解析式为y kx a，0111255k ak a ，解得：3434ka，直线AH：3344yx.282334423yxy xx，解得：1110 xy（即点A），221545716xy，15 57,4 16P.综上所述，点P的坐标为939,416或15 57,4 16（3）DM DN为定值.抛物线223y xx的对称轴为：直线1x ，1,0D，1MNxx，设2,2331Q t ttt ，设直线AQ解析式为y dxe，2023d edt e tt ，解得：33d tet ，直线AQ：33y tx

41、t，当1x 时，3326Myttt ，02626DMtt ，设直线BQ解析式为y mxn，23023m nmtn tt ，解得：133m tnt ，直线BQ：133y tx t ，当1x 时，1 3322Nyttt ，02222DNtt ，26228DM DNtt ，为定值29【点睛】本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用解题关键在于第（2）题由于不确定点P位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算.2如图，边长为 8 的正方形 OABC的两边在坐标轴上，以点 C为顶点的抛物线经过点 A，点

42、 P是抛物线上点 A、C间的一个动点（含端点），过点 P作 PF BC 于点 F，点 D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接 PD，PE，DE（1）求抛物线的解析式；（2）小明探究点 P的位置是发现：当点 P与点 A或点 C重合时，PD 与 PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点 P，PD 与 PF 的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；（3）请直接写出 PDE 周长的最大值和最小值【答案】（1）y 18x2+8；（2）正确，d|PD PF|为定值 2；理由见解析；（3）PDE周长的最大值是 213+14，30最小值是 213+10【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛

43、物线解析式即可；（2）首先表示出 P，F 点坐标，再利用两点之间距离公式得出 PD，PF 的长，进而求出即可；（3）过 E 作 EFx 轴，交抛物线于点 P，求得 C PDEEDPEPDEDPEPF2ED2（PEPF），当 P、E、F 三点共线时，PEPF 最小；当 P 与 A 重合时，PEPF 最大；即可解答【详解】（1）边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A，C（0，8），A（8，0），设抛物 线解析式为：y ax2+c，则8640ca c，解得：188ac 抛物线解析式为 y 18x2+8（2）设 P（x，18x2+8），则 F（x，8），则

44、 PF8（18x2+8）18x2PD2x2+6（18x2+8）2164x4+12x2+4（18x2+2）2PD18x2+2，d|PDPF|18x2+218x2|2d|PDPF|为定值 2；（3）如图，过点 E 作 EFx 轴，交抛物线于点 P，31由 d|PD PF|为定值 2，得 C PDEED+PE+PD ED+PE+PF+2ED+2+（PE+PF），又D（0，6），E（4，0）DE 2264522 13C PDE213+2+（PE+PF），当 PE 和 PF 在同一直线时 PE+PF 最小，得 C PDE最小值213+2+8213+10设 P为抛物线 AC 上异于点 A的任意一点，过 P

45、作 PM x 轴，交 AB 于点 M，连接 ME，如图 2由于 E是 AO 的中点，易证得 ME PE（当点 P接近点 A时，在 PME 中，显然MPE 是钝角，故 ME PE，与 A重合时，等号成立），而 ME AE+AM，所以 PE AE+AM 所以当 P与 A重合时，PE+PF 最大，AE 844，PD 222286AO DO10得 C PDE最大值213+4+10213+14综上所述，PDE周长的最大值是 213+14，最小值是 213+10【点睛】32此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键3如图，在平面直角坐

46、标系中，矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上，OA=16 cm，OC=8cm，现有两动点 P、Q 分别从 O、C 同时出发，P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 2cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿 CO 方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动设运动时间为 t 秒（1）用含 t 的式子表示 OPQ 的面积 S；（2）判断四边形 OPBQ 的面积是否是一个定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；（3）当 OPQABP 时，抛物线 y x2+bx+c经过 B、P 两点，求抛物线的解析式；（4）在（3）的条件下，过线段 BP 上一动点 M 作 轴的平行线交抛物线于

47、N，求线段 MN 的最大值【答案】（1）；（2）是；（3）；（4）9【解析】试题分析：（1）根据速度与时间的关系分别表示出 CQ、OP、OQ 的长度，然后利用三角形的面积公式列列式整理即可得解；（2）用矩形 OABC 的面积减去 ABP 与 BCQ 的面积，根据面积公式分别列式进行整理即可得解；（3）根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后代入数据求解即可得到 t 值，从而得到点P 的坐标；（4）先求出直线 BP 的解析式，然后根据直线解析式与抛物线解析式设出点 M、N 的坐标，再根据两点间的距离表示出 MN 的长度，根据二次函数的最值问题解答（1）CQ=t，OP=2t，CO=8，OQ=8-

48、t，=128-64+8t-8t=64，33四边形 OPBQ 的面积为一个定值，且等于 64；（3）当 OPQABP 时，./解得：t1=2，t2=8（舍去），此时 P（4，0），B（16，8），抛物线解析式是；（4）设直线 BP 的解析式为 y=kx+b直线 BP 的解析式是M 在 BP 上运动，4m16，当时，MN 有最大值是 9考点：二次函数的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型4如图 1 所示，抛物线2yaxbxc交 x 轴于点 A4,0和点B 1,0，交 y 轴于点 C 0,434 1求抛物线的函数表达式；2如图 2 所示，若点 M 是

49、抛物线上一动点，且AOMS BOCS3，求点 M 的坐标；3如图 3 所示，设点 N 是线段 AC 上的一动点，作PNx轴，交抛物线于点 P，求线段 PN 长度的最大值【答案】（1）2yx3x4 ；（2）点 P 坐标为337,32或337,32或313,32或313,32；3线段 PN 长度最大值为 4【解析】【分析】（1）把函数设为交点式，代入 C 点坐标，进而求出 a 的值即可；（2）设 M 点坐标为（x，-x2-3x+4），根据 S AOM=3S BOC列出关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，进而得到点 P 的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y=x+4，再设

50、N 点坐标为（x，x+4），则 P 点坐标为（x，-x2-3x+4），然后用含 x 的代数式表示 PN，根据二次函数的性质即可求出线段 PN 长度的最大值【详解】解：（1）把函数设为交点式 12ya xxxx，由 A4,0，B 1,0得ya x4x1，把 C 0,4代入，得a1，故抛物线的解析式为2yx3x4 ；（2）设 M 点坐标为2x,x3x4，AOMS BOCS3，352114x3x431 422 ，整理得2x3x43 或2x3x43 ，解得337x2或313x2，则符合条件的点 P 坐标为337,32或337,32或313,32或313,32；（3）设直线 AC 的解析式为ykxb，将