2020年中考数学第二轮重点难点题型突破二二次函数与角度问题44644.pdf

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1、1类型二二次函数与角度问题例 1、已知抛物线2yaxbxc的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点(0C，3)，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线5yx经过D、M两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）连接AM、AC、BC，试比较MAB和ACB的大小，并说明你的理由.【答案】解：（1）CD x 轴且点C（0，3），设点D 的坐标为(x，3)直线y=x+5 经过D 点，3=x+5x=2即点D(2，3)根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（1，y），又直线y=x+5 经过M 点，y=1+5，y=4即M（1，4）设抛物线的解析式为2(1)4ya x点C（0

2、，3）在抛物线上，a=1即抛物线的解析式为223yxx 3分（2）作BP AC 于点P，MN AB 于点N 由（1）中抛物线223yxx 可得点 A（3，0），B（1，0），AB=4，AO=CO=3，AC=3 2PAB 45ABP=45，PA=PB=2 2 PC=AC PA=2在 Rt BPC 中，tan BCP=PBPC=2在 Rt ANM中，M（-1，4），MN=4 AN=2 tan NAM=MNAN=2BCP NAM2即ACB MAB 例 2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23yaxbx经过点N（2,5），过点N 作 x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.（1）求此抛物线的解析

3、式；（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D，当DMN为直角三角形时，求点P 的坐标；（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使QMN=CNM？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）32bxaxy过点M、N（2，5），6MN，由题意，得M（4，5）.53416,5324baba解得.2,1ba此抛物线的解析式为322xxy.2分（2）设抛物线的对称轴1x交 MN 于点G，若DMN为直角三角形，则32121MNGDGD.D1（1，2），2D（1，8）.4分直线MD1为1 xy，直线2MD为9xy.将 P（x，322xx

4、）分别代入直线MD1，2MD的解析式，3得1322xxx，9322xxx.解得11x，42x（舍），1P（1,0）.5分解得33x，44x（舍），2P（3,12）.6分（3）设存在点Q（x，322xx），使得QMN=CNM.若点Q 在 MN 上方，过点Q 作 QH MN，交 MN 于点H，则4tanCNMMHQH.即）（445322xxx.解得21x，42x（舍）.1Q（2，3）.7分若点Q 在 MN 下方，同理可得2Q（6，45）.8分例 3、平面直角坐标系xOy 中，抛物线244yaxaxac与 x 轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A 的坐标为(1,0)，OB=OC，抛物线的顶

5、点为D(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P 满足APB=ACB，求点P 的坐标；(3)Q 为线段BD 上一点，点A 关于AQB 的平分线的对称点为A，若2QBQA，求点Q 的坐标和此时QAA 的面积4【答案】（1）2244(2)yaxaxaca xc，抛物线的对称轴为直线2x抛物线244yaxaxac与 x轴交于点 A、点B，点A 的坐标为(1,0)，点 B 的坐标为(3,0)，OB 3 1 分可得该抛物线的解析式为(1)(3)ya xx OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，OC=3，点C 的坐标为(0,3)将点C 的坐标代入该解析式，解得a=1 2分此抛物线的解析

6、式为243yxx（如图9）3 分（2）作ABC 的外接圆E，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F，设E 与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点1P，点1P关于x轴的对称点为点2P，点1P、点2P均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x上1APB、ACB都是弧AB 所对的圆周角，ACBBAP1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACBAPB由（1）可知 OBC=45，AB=2，OF=2可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线yx上点 E 的坐标为(2,2)E 4 分图 95由勾股定理得5EA 15EPEA点1P的坐标为1(2,25)P 5 分由

7、对称性得点2P的坐标为2(2,25)P 6 分符合题意的点P 的坐标为1(2,25)P、2(2,25)P.（3）点 B、D 的坐标分别为(3,0)B、(2,1)D，可得直线BD 的解析式为3yx，直线BD 与 x轴所夹的锐角为45点 A 关于AQB 的平分线的对称点为A，（如图11）若设AA与AQB 的平分线的交点为M，则有QAQA，AMA M，AAQM，Q，B，A三点在一条直线上2QAQB，.2QBQAQBQABA作A N x轴于点N点 Q 在线段BD 上，Q，B，A三点在一条直线上，sin451A NBA，cos451BNBA点A的坐标为(4,1)A点 Q 在线段BD 上，设点Q 的坐标为

8、(,3)Q x x，其中23xQAQA，由勾股定理得2222(1)(3)(4)(3 1)xxxx解得114x经检验，114x在23x的范围内点 Q 的坐标为111(,)44Q7 分此时1115()2(1)2244QAAA ABQABAQSSSAByy 8 分6例 4、已知，抛物线cbxaxy2与 x 轴交于点A（2,0）、B（8,0），与y 轴交于点C（0，4）。直线y=x+m 与抛物线交于点D、E（D 在 E 的左侧），与抛物线的对称点交于点 F。（1）求抛物线的解析式；（2）当m=2 时，求DCF 的大小；（3）若在直线y=x+m 下方的抛物线上存在点P，使DPF 450，且满足条件的点P

9、 只有两个，则m 的值为_.（第（3）问不要求写解答过程）【答案】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），抛物线与y 轴交于点C（0，-4），-4=a（0+2）（0-8）解得a=41抛物线的解析式为y=41(x+2)(x-8)，即y=41x2-23x-4；（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，m=2，直线的解析式为y=x+2，直线y=x+2 与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，F、D 两点的坐标分别为F（3，5），D（-2，0）设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M，可得CM=FM=MD=5，F、D、C 三点在以M 为圆心，半径为5 的圆上DCF=21 DM

10、F=45（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，-425）设 F（3，3+m），则FG=m+3+425，设D 关于对称轴的对称点为D1，当四边形DGD1F 为正方形时，满足题意，此时P 点与顶点G 重合，或者与D1重合，7故 DD1=FG，D 点横坐标为：x=-（21FG-3）=-8134m，纵坐标为-（21FG-3-m）=8134m，将 D 点坐标抛物线解析式，解得m=-45例5、如 图，抛 物 线两点轴交于与BAxbxaxy,32，与y轴 交 于 点C，且OAOCOB3（I）求抛物线的解析式；（II）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点CAP,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求

11、出P点坐标，若不存在，请说明理由；（III）直线131xy交y轴于D点，E为抛物线顶点若 DBC，求,CBE的值【答案】解：（I）3,032点轴交与抛物线Cybxaxy，且OAOCOB3)0,3(,0,1BA 代入32bxaxy，得12030339abbaba322xxy（II）当190,P AC时可证AOP1ACO31tantan11ACOAOPAOPRt中，)31,0(1P同理:如图当)0,9(9022PCAP时，当)0,0(9033PACP时，8综上，坐标轴上存在三个点P，使得以点CAP,为顶点的三角形为直角三角形，分别是)31,0(1P)0,9(2P，)0,0(3P（III）1,0,1

12、31Dxy得由4,1322Exxy，得顶点由52,2,23BECEBC为直角三角形BCEBE,CEBC22231tanCBCE又31tanOBODDBODOBRt中DBO45OBCDBO例 6、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y=ax2 8ax 16a 6 经过点B（0，4）.求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为D，过点D、B 作直线交x轴于点A，点C 在抛物线的对称轴上，且C 点的纵坐标为-4，联结BC、AC.求证：ABC 是等腰直角三角形；在的条件下，将直线DB 沿 y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l 与x轴、y 轴分别交于点A、B，是否存在直线l，使A B C 是直角

13、三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，请说明理由图（1）9备用图【答案】解：由题意知：4616a解得：a81抛物线的解析式为：4812xxy-1分证明：由抛物线的解析式知:顶点D 坐标为（4,6）点C 的纵坐标为4，且在抛物线的对称轴上 C 点坐标为(4，4)设直线BD 解析式为：04kkxy有：44-6k，21k BD 解析式为421xy直线BD 与 x 轴的交点A 的坐标为（8,0）过点C 作 CE y轴于点E，则CE=4，BE=8又OB=4，OA=8,CE=OB,BE=OA,CEB=BOA=90CEB BOA(SAS)-2分 CB=AB,1=22+3=90，2+3=901+3=90，

14、即ABC=90ABC 是等腰直角三角形-3分存在.当CAB=90时，如图1 所示，10 AB AB OAB=BAO易证:ECA=OABECA=BAO tan BAO=21 tanECA=21 EA=2 A坐标为(2,0)直线l解析式为121xy-5 分当ACB=90时，如图2 所示，过点C 作 CE y轴于点E，易证 AFC BEC AF=BE由tan BAO=21设B坐标为（0，n）有2144nn38nB坐标为（0，38）直线l解析式为3821xy-7 分例 7、已知：抛物线yx2 2x m-2 交 y轴于点A（0，2m-7）与直线y2x交于点B、C（B 在右、C 在左）（1）求抛物线的解析

15、式；（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得BFECFE，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由；图 1图 211（3）射线OC 上有两个动点P、Q 同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC 运动，以 PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形 PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若PMQ与抛物线yx2 2x m-2 有公共点，求t的取值范围【答案】解：（1）点A（0，2m-7）代入yx2 2x m-2，得m=5抛物线的解析式为yx2 2x 32分（2）由xyxxy2322得323yx，323yx B（32,3），C（32,3）B（32,3）关于抛物线对称轴1x的对称点为)32,32(B可得直线CB的解析式为32632xy，由132632yxy，可得61yx)6,1(F5分（3）当)2,2(ttM在抛物线上时，可得03242 tt，4131t，当)2,(ttP在抛物线上时，可得32t，3t，12舍去负值，所以t的取值范围是34131t 8分