2020年中考数学基础题提分精讲精练专题18二次函数函数综合题45021.pdf

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1、1专题 18 二次函数综合题考点分析【例 1】（2019辽宁中考真题）如图 1，在平面直角坐标系中，一次函数 y 34x+3 的图象与 x 轴交于点A，与 y 轴交于 B点，抛物线 y x2+bx+c 经过 A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点 D，过点 D作DCx 轴于点 C，交直线 AB 于点 E（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点 D，使得BDE和ACE相似？若存在，请求出点 D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图 2，F 是第一象限内抛物线上的动点（不与点 D重合），点 G是线段 AB 上的动点连接 DF，FG，当四边形 DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点 G的

2、坐标【答案】（1）y x2+134x+3；（2）存在点 D的坐标为（134，3）或（2312，509）；（3）G（134，916）【解析】解：（1）在334yx中，令0 x，得3y，令0y，得4x，(4,0)A，(0,3)B，将(4,0)A，(0,3)B分别代入抛物线2yx bxc 中，得：24403b cc ，解得：1343bc，抛物线的函数表达式为：21334yxx （2）存在如图 1，过点B作BH CD于H，设(,0)Ct，则213(,3)4Dt tt，3(,3)4Ett，(,3)Ht；334ECt，4ACt，BH t，2134DHtt ，24DEtt BDE和ACE相似，BED AEC

3、 2BDE ACE或DBE ACE当BDE ACE时，90BDE ACE ，BD ACDE CE，即：BD CE AC DE23(3)(4)(4)4ttttt ，解得：10t（舍去），24t（舍去），3134t，13(4D，3)当DBE ACE时，BDE CAE BH CD90BHD，tantanBHCEBDECAEDHAC，即：BHAC CE DH2313(4)(3)()44ttttt ，解得：10t（舍)，24t（舍)，32312t，23(12D，50)9；综上所述，点D的坐标为13(4，3)或23(12，50)9；（3）如图 3，四边形DEGF是平行四边形/DE FG，DE FG设213

4、(,3)4Dm mm，3(,3)4Emm，213(,3)4Fn nn，3(,3)4Gnn，则：24DEmm，24FGnn ，2244mmnn ，即：()(4)0m nm n，0m n 4 0m n ，即：4m n 过点G作GK CD于K，则/GK ACEGKBAO coscosGKAOEGKBAOEGAB，即：GKAB AO EG5()4n mEG，即：5()4EGn mDEGF周长2253892()2(4)()2()448DE EGmmn mm 20，当34m时，DEGF周长最大值898，313(4G，9)16【点睛】此题考查二次函数综合题，综合难度较大，解答关键在于结合函数图形进行计算，再

5、利用待定系数法求解析式，配合辅助线利用相似三角形的性质进行解答.【例 2】（2019山东中考模拟）如图，已知直线 AB经过点（0，4），与抛物线 y=14x2交于 A，B 两点，其中点 A的横坐标是2(1）求这条直线的函数关系式及点 B 的坐标(2）在 x 轴上是否存在点 C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若不存在请说明理由(3）过线段 AB上一点 P，作 PM x 轴，交抛物线于点 M，点 M在第一象限，点 N（0，1），当点 M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？【答案】（1）直线 y=32x+4，点 B 的坐标为（8，16）；（2）点 C 的坐标

6、为（12，0），（0，0），（6，0），（32，40）；（3）当 M 的横坐标为 6 时，MN+3PM 的长度的最大值是 18【解析】（1）点 A 是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，21(2)14y ,A 点的坐标为（-2，1），设直线的函数关系式为 y=kx+b，将（0，4），（-2，1）代入得421bkb 解得324kby32x4直线与抛物线相交，231424xx 解得：x=-2 或 x=8，当 x=8 时，y=16，点 B 的坐标为（8，16）；（2）存在由 A(2，1)，B(8，16)可求得 AB222(82)(161)+-=325.设点 C(m，0)，同理可得 AC2(m 2)2

7、12m24m 5，BC2(m 8)2162m216m 320，若BAC 90，则 AB2AC2BC2，即 325m24m 5m216m 320，解得 m 12；若ACB 90，则 AB2AC2BC2，即 325m24m 5m216m320，解得 m 0 或 m 6；若ABC 90，则 AB2BC2AC2，即 m24m 5m216m 320325，解得 m 32，点 C 的坐标为(12，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)（3）设 M(a，14a2)，5则 MN 2222111144aaa，又点 P 与点 M纵坐标相同，32x 414a2，x=2166a，点 P 的横坐标为2166a，MP

8、 a 2166a，MN 3PM 14a213(a 2166a)14a23a 914(a 6)218，268，当 a 6 时，取最大值 18，当 M的横坐标为 6 时，MN 3PM 的长度的最大值是 18考点集训1（2019湖南中考真题）已知抛物线2(0)y ax bxca过点(1,0)A，(3,0)B两点，与 y 轴交于点 C，=3OC(1)求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；(2)过点 A作AMBC，垂足为 M，求证：四边形 ADBM为正方形；(3)点 P 为抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求点 P 的坐标；(4)若点 Q为线段 OC 上的一动点，问：12AQQC是

9、否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由6【答案】(1)抛物线的表达式为：243y xx ，顶点(2,1)D；(2)证明见解析；(3)点33,24P；(4)存在，12AQQC的最小值为3 264【解析】(1)函数的表达式为：2yax1x3ax4x3，即：3a=3，解得：a=1，故抛物线的表达式为：2yx4x3，则顶点D(2,1)；(2)OBOC3，OBCOCB45，A(1,0)，B(3,0)，OB=3，OA=1，AB=2，AMMBABsin45 2，又D(2，-1)，AD=BD=222 11 02，AM=MB=AD=BD，四边形 ADBM 为菱形，又AMB90，菱形 ADBM

10、 为正方形；(3)设直线 BC 的解析式为 y=mx+n，7将点 B、C 的坐标代入得：303m nn，解得：13mn，所以直线 BC 的表达式为：y=-x+3，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 N，设点2P x,x4x3，则点 N(x,x+3)，则 22PBC133SPNOBx3x4x3x3x222 ，302，故PBCS有最大值，此时3x2，故点33P,24；(4)存在，理由：如图，过点 C 作与 y 轴夹角为30的直线 CF 交 x 轴于点 F，过点 A 作AHCF，垂足为 H，交 y 轴于点 Q，此时1HQCQ2，则1AQQC2最小值=AQ+HQ=AH，在 RtCOF 中，CO

11、F=90，FOC=30，OC=3，tanFCO=FOCO，OF=3，F(-3，0)，利用待定系数法可求得直线 HC 的表达式为：y3x3，COF=90，FOC=30，CFO=90-30=60，AHF=90，FAH=90-60=30，OQ=AOtanFAQ=33，8Q(0,3 3)，利用待定系数法可求得直线 AH 的表达式为：33yx33，联立并解得：1 33x4，故点1 3333H,44，而点A(1,0)，则326AH4，即1AQQC2的最小值为3264【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，解直角三角形的应用，正方形的判定，最值问题等，综合性较强，有一定的难度，正确把握相关知识

12、，会添加常用辅助线是解题的关键.2 （2019辽宁中考模拟）如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c的图像经过点 A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线 l：x=2，过点 A 作 AC x 轴交抛物线于点 C，AOB 的平分线交线段 AC于点 E，点 P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为 m.9（1）求抛物线的解析式；（2）若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上，连结 PE、PO，当 m 为何值时，四边形 AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图，F 是抛物线的对称轴 l 上的一点，在抛物线上是否存在点 P 使POF 成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符

13、合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当 m=52时，四边形 AOPE 面积最大，最大值为758.（3）P 点的坐标为：P1（3+52，152），P2（352-，1+52），P3（5+52，1+52），P4（552，152）.【解析】（1）如图 1，设抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把 A（0，3）代入得：3=3a，a=1，抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图 2，设 P（m，m2-4m+3），10OE 平分AOB，AOB=90，AOE=45，AOE 是等腰直

14、角三角形，AE=OA=3，E（3，3），易得 OE 的解析式为：y=x，过 P 作 PGy 轴，交 OE 于点 G，G（m，m），PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，S四边形AOPE=SAOE+SPOE，=1233+12PGAE，=92+123（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758，-320，当 m=52时，S 有最大值是758；（3）如图 3，过 P 作 MNy 轴，交 y 轴于 M，交 l 于 N，11OPF 是等腰直角三角形，且 OP=PF，易得OMPPNF，OM=PN，P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=5+5

15、2或552，P 的坐标为（5+52，1+52）或（552，152）；如图 4，过 P 作 MNx 轴于 N，过 F 作 FMMN 于 M，同理得ONPPMF，PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，12解得：x=3+52或352-；P 的坐标为（3+52，152）或（352-，1+52）；综上所述，点 P 的坐标是：（5+52，1+52）或（552，152）或（3+52，152）或（352-，1+52）点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题3

16、（2019四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线22y axxc与直线y kx b都经过(0,3)A、(3,0)B两点，该抛物线的顶点为 C（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线EB上是否存在一点 M，过 M作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，使点 M、N、C、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点 M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点 P 是直线AB下方抛物线上的一动点，当PAB面积最大时，求点 P 的坐标，并求PAB面积的最大值【答案】（1）抛物线的解析式为223y xx，直线AB的解析式为3y x，（2）(2,1)

17、或317 317(,)22（3）当32m时，PAB面积的最大值是278，此时 P 点坐标为33(,)22【解析】13解：（1）抛物线22y axx c经过(0,3)A、(3,0)B两点，9603acc ，13ac，抛物线的解析式为223y xx，直线y kxb经过(0,3)A、(3,0)B两点，303k bb ，解得：k 1b3，直线AB的解析式为3y x，（2）2223(1)4y xxx ，抛物线的顶点 C 的坐标为(1,4)，/CE y轴，(1,2)E，2CE，如图，若点 M在 x 轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE MN，设(,3)M aa，则2(,23)Naaa，223(23)

18、3MN aaaaa ，232aa，解得：2a，1a（舍去），14(2,1)M，如图，若点 M在 x 轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE MN，设(,3)M aa，则2(,23)Naaa，2223(3)3MN aaaaa ，232aa，解得：3172a，3172a（舍去），317 317(,)22M，综合可得 M点的坐标为(2,1)或317 317(,)22（3）如图，作/PG y轴交直线AB于点 G，设2(,23)Pmmm，则(,3)Gmm，223(23)3PG mmmmm ，22211393327(3)3()2222228PABPGAPGBSSSPG OBmmmmm ，15当32m时

19、，PAB面积的最大值是278，此时 P 点坐标为33(,)22【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题4 （2019内蒙古中考真题）已知，如图，抛物线2(0)y ax bxca的顶点为(1,9)M，经过抛物线上的两点(3,7)A 和(3,)B m的直线交抛物线的对称轴于点C（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式（2）在抛物线上,AM两点之间的部分（不包含,AM两点），是否存在点D，使得2DACDCMSS？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点,AM PQ为顶

20、点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标【答案】（1）抛物线的表达式为：228yxx ，直线AB的表达式为：21yx；（2）存在，理由见解析；点P(6,16)或(4,16)或(17,2)或(1 7,2)【解析】解：（1）二次函数表达式为：219y ax，将点A的坐标代入上式并解得：1a ，故抛物线的表达式为：228yxx ，则点 3,5B，将点,AB的坐标代入一次函数表达式并解得：16直线AB的表达式为：21yx；（2）存在，理由：二次函数对称轴为：1x，则点1,1C，过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点2,28D x xx，点,2 1H x x，2DACDCMSS，则 211

21、128 21 1 39 1 12222DACCASDHxxxxxx ，解得：1x 或 5（舍去 5），故点 1,5D；（3）设点,0Q m、点,Ps t，228tss ，当AM是平行四边形的一条边时，点M向左平移 4 个单位向下平移 16 个单位得到A，同理，点,0Q m向左平移 4 个单位向下平移 16 个单位为4,16m，即为点P，即：4ms，6t，而228tss ，解得：6s 或4，故点6,16P或4,16；当AM是平行四边形的对角线时，由中点公式得：2m s ，2t，而228tss ，17解得：17s ，故点17,2P 或17,2；综上，点6,16P或4,16 或17,2或17,2【点

22、睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏5 （2019青海中考真题）如图 1（注：与图 2 完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A，,(50)B，,4(0)C，（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PAPC的值为最小的点P坐标（请在图 1 中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由.（请在图 2 中探索）【答案】（1）2545442yxx，函数的对称轴为：3x；

23、（2）点8(3)5P，；（3）存在，点E的坐标为12(2,)5-或12,)5(4-【解析】解：1（）根据点0(1)A，,(50)B，的坐标设二次函数表达式为：21565y axxaxx ，抛物线经过点4(0)C，则54a，解得：45a，抛物线的表达式为：2224416 465345555245yxxxxx=，函数的对称轴为：3x；182（）连接BC、交对称轴于点P，此时PAPC的值为最小，设 BC 的解析式为：y kx b，将点BC、的坐标代入一次函数表达式：y kx b得：0 5,4k bb解得：4,54kb 直线BC的表达式为：4yx 45，当3x 时，85y，故点835P（，）；3（）存

24、在，理由：四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形，则512EEOEBFSOByy四边形，点E在第四象限，故：则125Ey-，将该坐标代入二次函数表达式得：24126555yxx-，解得：2x 或4，故点E的坐标为122,5（-）或12,5（4-）【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中2（），求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法196 （2019 辽宁中考模拟）如图，抛物线2yax2axc（a0）交 x 轴于 A、B两点，A 点坐标为（3，0），与 y 轴交于点 C（0，4），以 OC、OA为边作矩

25、形 OADC 交抛物线于点 G（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴 l 在边 OA（不包括 O、A 两点）上平行移动，分别交 x 轴于点 E，交 CD于点 F，交AC 于点 M，交抛物线于点 P，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表示 PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结 PC，则在 CD上方的抛物线部分是否存在这样的点 P，使得以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断PCM 的形状；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为248yxx433；（2）PM=24m4m3（0m3）；（3）存在这样的点 P 使PFC 与A

26、EM 相似此时 m 的值为2316或 1，PCM 为直角三角形或等腰三角形【解析】解：（1）抛物线2yax2axc（a0）经过点 A（3，0），点 C（0，4），解得4a3c 4 抛物线的解析式为248yxx433（2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，A（3，0），点 C（0，4），3kb0b4，解得4k3b4 20直线 AC 的解析式为4yx 43 点 M 的横坐标为 m，点 M 在 AC 上，M 点的坐标为（m，4m43）点 P 的横坐标为 m，点 P 在抛物线248yxx 433 上，点 P 的坐标为（m，248mm433）PM=PEME=（248mm433）（4m43）=24m

27、4m3PM=24m4m3（0m3）（3）在（2）的条件下，连接 PC，在 CD 上方的抛物线部分存在这样的点 P，使得以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似理由如下：由题意，可得 AE=3m，EM=4m43，CF=m，PF=248mm4 433=248mm33，若以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似，分两种情况：若PFCAEM，则 PF：AE=FC：EM，即（248mm33）：（3m）=m：（4m43），m0 且 m3，m=2316PFCAEM，PCF=AMEAME=CMF，PCF=CMF在直角CMF 中，CMF+MCF=90，PCF+MCF=90，即PCM=90PCM 为直角三

28、角形若CFPAEM，则 CF：AE=PF：EM，即 m：（3m）=（248mm33）：（4m43），m0 且 m3，m=1CFPAEM，CPF=AMEAME=CMF，CPF=CMFCP=CMPCM 为等腰三角形综上所述，存在这样的点 P 使PFC 与AEM 相似此时 m 的值为2316或 1，PCM 为直角三角形或等腰三角形7 （2019 贵州中考真题）如图，抛物线 C1：y x22x 与抛物线 C2：y ax2+bx 开口大小相同、方向相反，21它们相交于 O，C 两点，且分别与 x 轴的正半轴交于点 B，点 A，OA 2OB（1）求抛物线 C2的解析式；（2）在抛物线 C2的对称轴上是否存

29、在点 P，使 PA+PC 的值最小？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线 OC上方抛物线 C2上的一个动点，连接 MO，MC，M运动到什么位置时，MOC 面积最大？并求出最大面积【答案】（1）yx2+4x；（2）线段 AC的长度34；（3）SMOC最大值为458【解析】（1）令：yx22x0，则 x0 或 2，即点 B（2，0），C1、C2：yax2+bx 开口大小相同、方向相反，则 a1，则点 A（4，0），将点 A 的坐标代入 C2的表达式得：016+4b，解得：b4，故抛物线 C2的解析式为：yx2+4x；（2）联立 C1、C2表达式并解得：x0 或 3，故点

30、C（3，3），作点 C 关于 C1对称轴的对称点 C（1，3），连接 AC交函数 C2的对称轴与点 P，22此时 PA+PC 的值最小为：线段 AC的长度22(41)334；（3）直线 OC 的表达式为：yx，过点 M 作 y 轴的平行线交 OC 于点 H，设点 M（x，x2+4x），则点 H（x，x），则 SMOC12MHxC32（x2+4xx）32 x292，32 0，故 x32，SMOC最大值为458【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数8 （2019山东中考真题）若二次函数2yaxbx c的图象

31、与x轴分别交于点(3,0)A、(0,2)B，且过点(2,2)C.（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且4PABS,求点P的坐标；23（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使ABO ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由.【答案】（l）224233yxx；（2）点P的坐标为104,3；（3）点M到y轴的距离为118.【解析】（l）因为抛物线2y ax bxc过点(0,2)，2c ，又因为抛物线过点(3,0)，(2,2)93204222abab 解，得2343ab 所以，抛物线表达式为224233yxx（2）连接PO，设点224,233P mmm.

32、则PABPOAAOBPOBSSSS212411323 2223322mmm 23mm由题意得234mm4m或1m（舍）224102333mm 24点P的坐标为104,3.（3）设直线AB的表达式为y kxn，因直线AB过点(3,0)A、(0,2)B，302k nn 解，得232kn 所以AB的表达式为223yx设存在点M满足题意，点M的坐标为224,233t tt，过点M作ME y轴，垂足为E，作MD x轴交AB于点D，则D的坐标为2,23t t，2223MDtt，22433BEtt.又MD y轴ABO MDB 又ABO ABM MDBABM MD MB2223MBtt.在Rt BEM中252

33、22222422333ttttt 解得：118t 所以点M到y轴的距离为118【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合性问题，难度系数高,但是是中考的必考知识点,应当熟练地掌握.9 （2019江苏中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bxc交x轴于点 4,0A、2,0B，交y轴于点 0,6C，在y轴上有一点 0,2E，连接AE.（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为23364

34、2yxx；（2）当23x 时，ADE的面积取得最大值503；（3）P点的坐标为 1,1，1,11，1,219 .【解析】（1）二次函数 y=ax2+bx+c 经过点 A（4，0）、B（2，0），C（0，6），16404206ab cab cc ，26解得：34326abc ，所以二次函数的解析式为：y=233642xx；（2）由 A（4，0），E（0，2），可求 AE 所在直线解析式为 y=122x，过点 D作 DN x 轴，交 AE 于点 F，交 x 轴于点 G，过点 E 作 EHDF，垂足为 H，如图，设 D（m，233642mm），则点 F（m，122m），DF=233642mm（122

35、m）=2384mm，SADE=SADF+SEDF=12DFAG+12DFEH=12DFAG+12DFEH=124DF=2（2384mm）=23250233m（），当 m=23时，ADE的面积取得最大值为503（3）y=233642xx的对称轴为 x=1，设 P（1，n），又 E（0，2），A（4，0），可求 PA=29 n，PE=212n（），AE=1642 5，分三种情况讨论：27当 PA=PE 时，29 n=212n（），解得：n=1，此时 P（1，1）；当 PA=AE 时，29 n=16 4 2 5，解得：n=11，此时点 P 坐标为（1，11）；当 PE=AE 时，212n（）=16

36、4 2 5，解得：n=219，此时点 P 坐标为：（1，219）综上所述：P 点的坐标为：（1，1），（1，11），（1，219）点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键10 （2019四川中考真题）如图，顶点为(3,3)P的二次函数图象与 x 轴交于点(6,0)A，点 B在该图象上，OB交其对称轴 l 于点 M，点 M、N关于点 P 对称，连接BN、ON（1）求该二次函数的关系式（2）若点 B在对称轴 l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：连接OP，当12OPMN时，请判断N

37、OB的形状，并求出此时点 B的坐标求证：BNMONM【答案】（1）二次函数的关系式为2211y(x 3)3x2x33 ；（2）NOB是等腰直角三角形，此时点 B坐标为(3 32,3)；见解析【解析】解：（1）二次函数顶点为(3,3)P设顶点式2(3)3y ax二次函数图象过点(6,0)A282(6 3)3 0a，解得：13a 二次函数的关系式为2211y(x 3)3x2x33 （2）设21(,2)(3)3Bbbbb直线OB解析式为：1(2)3ybxOB交对称轴 l 于点 M当3Mx 时，1(2)363Mybb (3,6)Mb 点 M、N关于点 P 对称3(6)3NP MPbb ，33Nybb

38、，即(3,)Nb12OPMNOP MP223 33b 解得：3 32b 22112(3 32)2(3 32)333bb (3 32,3)B，(3,332)N222(3 32)(3)36182OB，2223(3 32)36182ON ，B222(3 323)(3 3 32)72 36 2BN OB ON，222OB ONBNNOB是等腰直角三角形，此时点 B 坐标为(3 32,3)证明：如图，设直线BN与 x 轴交于点 D2921(,2)3Bbbb、(3,)Nb设直线BN解析式为y kxd21233kbdbbk d b 解得：1kb3d 2b 直线BN：123ybx b 当0y 时，1203bx

39、 b，解得：6x(6,0)D(3,0)C，NC x轴NC垂直平分ODND NOBNMONM【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，再由题意得到等式进行计算.11（2019山西中考真题）综合与探究如图，抛物线26y ax bx 经过点 A(-2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点 C，点 D是抛物线上一个动点，设点 D的横坐标为(14)mm.连接 AC，BC，DB，DC，(1)求抛物线的函数表达式；(2)BCD的面积等于AOC的面积的34时，求m的值；30(3)在(2)的条件下，若点 M是x轴上的一个动点，点 N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 M,使得以点

40、B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642yxx；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)MMMM.【解析】(1)抛物线2y ax bxc经过点 A(-2,0)，B(4,0)，426016460abab ，解得3432ab，抛物线的函数表达式为233642yxx；(2)作直线 DEx轴于点 E，交 BC 于点 G，作 CFDE，垂足为 F，点 A 的坐标为(-2,0)，OA=2，由0 x，得6y，点 C 的坐标为(0,6)，OC=6，SOAC=112 6622OA OC ，SBCD

41、=34SAOC，SBCD=39642，设直线 BC 的函数表达式为y kxn，31由 B，C 两点的坐标得406k nn，解得326kn，直线 BC 的函数表达式为362yx，点 G 的坐标为3(,6)2mm，2233336(6)34224DGmmmmm ，点 B 的坐标为(4,0)，OB=4，SBCD=SCDG+SBDG=1111()2222DG CFDG BEDG CF BEDG BO ，SBCD=22133346242mmmm （），239622mm，解得11m(舍)，23m，m的值为 3；(3)存在，如下图所示，以 BD 为边或者以 BD 为对角线进行平行四边形的构图，以 BD 为边时

42、，有 3 种情况，D 点坐标为15(3,)4，点 N 点纵坐标为154，当点 N 的纵坐标为154时，如点 N2，此时233156424xx，解得：121,3xx(舍)，215(1,)4N，2(0,0)M；当点 N 的纵坐标为154时，如点 N3，N4，此时233156424xx ，解得：12114,114xx 32315(114,)4N，415(114,)4N，3(14,0)M，4(14,0)M；以 BD 为对角线时，有 1 种情况，此时 N1点与 N2点重合，115(1,)4N，D(3，154)，N1D=4，BM1=N1D=4，OM1=OB+BM1=8，M1(8，0)，综上，点 M 的坐标

43、为：1234(8 0)(0 0)(14 0)(14 0)MMMM，.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.12（2019四川中考真题）如图，抛物线212yxbxc 过点(3,2)A，且与直线72yx 交于 B、C两点，点 B 的坐标为(4,)m33（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D 作DEx轴交直线BC于点E，点P 为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PDPA的最小值；（3）设点M 为抛物线

44、的顶点，在y 轴上是否存在点Q，使45AQM？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式21722yxx；（2）PDPA的最小值为352；（3）点Q 的坐标：1(0,23)Q、2(0,23)Q【解析】解：（1）将点B 的坐标为(4,)m代入72yx，71422m ，B 的坐标为1(4,)2，将(3,2)A，1(4,)2B代入212yxbxc，2213322114422bcbc 解得1b，72c，抛物线的解析式21722yxx；（2）设217(,)22D mmm，则7(,)2E mm，3422217711()()2(2)222222DEmmmmm ，当2m 时，DE

45、有最大值为2，此时7(2,)2D，作点A 关于对称轴的对称点A，连接A D，与对称轴交于点PPDPAPDPAA D，此时PDPA最小，(3,2)A，(1,2)A，2273(12)(2)522A D ，即PDPA的最小值为352；（3）作AHy轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，抛物线的解析式21722yxx，(1,4)M，35(3,2)A，2AHMH，(1,2)H45AQM，90AHM，12AQMAHM，可知AQM外接圆的圆心为H，2QHHAHM设(0,)Qt，则22(0 1)(2)2t，23t或23符合题意的点Q 的坐标：1(0,23)Q、2(0,23)Q【点睛】本题考查了二次函数，

46、熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键13（2019 湖南中考真题）如图，抛物线2yaxbxc与 x 轴交于点(1,0)A，点(3,0)B，与y 轴交于点 C，且过点(2,3)D点P、Q 是抛物线2yaxbxc上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD面积的最大值(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E，当OBE与ABC相似时，求点Q 的坐标36【答案】(1)抛物线的表达式为：223yxx；(2)PODS有最大值，当14m时，其最大值为4916；(3)点(3,2 3)Q或113 113,22【解析】解：(1)函数的表达式为：(1)(

47、3)yaxx，将点 D 坐标代入上式并解得：1a，故抛物线的表达式为：223yxx；(2)设直线 PD 与 y 轴交于点 G，设点2,23P mmm，将点 P、D 的坐标代入一次函数表达式：ysx t 并解得：直线 PD 的表达式为：32ymxm，则32OGm，12PODDPSOG xx 1(32)(2)2mm2132mm，10，故PODS有最大值，当14m时，其最大值为4916；37(3)3OBOC，45OCBOBC，ABCOBE，故OBE与ABC相似时，分为两种情况：当ACBBOQ 时，4AB，3 2BC，10AC，过点 A 作 AHBC 与点 H，1122ABCSAHBCABOC，解得：

48、22AH，则2sin5AHACBAC，则tan2ACB，则直线 OQ 的表达式为：2 yx，联立并解得：3x (舍去负值)，故点(3,23)QBACBOQ 时，3tan3tan1OCBACBOQOA ，则直线 OQ 的表达式为：3 yx，联立并解得：1132x，故点113113,22Q；38综上，点(3,2 3)Q或113 113,22【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏14（2019山东中考模拟）已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A（0，6），B（6，0），C（2，0），点 P 是

49、线段 AB 上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点 P 运动到什么位置时，PAB 的面积有最大值？（3）过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AB 于点 D，再过点 P 做 PE x 轴交抛物线于点 E，连结 DE，请问是否存在点 P 使PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）抛物线解析式为 y=12x2+2x+6；（2）当 t=3 时，PAB 的面积有最大值；（3）点 P（4，6）【解析】（1）抛物线过点 B（6，0）、C（2，0），设抛物线解析式为 y=a（x6）（x+2），将点 A（0，6）代入，得：12a=6，解得：a=12

50、，所以抛物线解析式为 y=12（x6）（x+2）=12x2+2x+6；（2）如图 1，过点 P 作 PMOB 与点 M，交 AB 于点 N，作 AGPM 于点 G，39设直线 AB 解析式为 y=kx+b，将点 A（0，6）、B（6，0）代入，得：660bkb，解得：16kb，则直线 AB 解析式为 y=x+6，设 P（t，12t2+2t+6）其中 0t6，则 N（t，t+6），PN=PMMN=12t2+2t+6（t+6）=12t2+2t+6+t6=12t2+3t，SPAB=SPAN+SPBN=12PNAG+12PNBM=12PN（AG+BM）=12PNOB=12（12t2+3t）6=32t2