专题16同角三角函数的基本关系与诱导公式(教学案)(解析版)43286.pdf

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1、名师整理，助你成功 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，sin cos tan；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导 公式 1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(2)商数关系：sin cos tan_ 2三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k(kZ)2 2 正弦 sin sin_ sin_ sin_ cos_ Cos_ 余弦 cos cos_ cos_ cos_ sin_ sin_ 正切 tan tan_ tan_ tan_ 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 高频考点一 同角三角函数关系

2、式的应用 例 1、(1)若 sin 513，且 为第四象限角，则 tan 的值等于()A.125 B.125 C.512 D.512(2)已知 sin cos 18，且5432，则 cos sin 的值为()名师整理，助你成功 A.32 B.32 C.34 D.34(3)若 tan 34，则 cos22sin 2()A.6425 B.4825 C.1 D.1625【解析】(1)sin 513，且 为第四象限角，cos 1sin21213，tan sin cos 512，故选 D.(2)5432，cos 0，sin sin，cos sin 0.又(cos sin)212sin cos 12183

3、4，cos sin 32.(3)tan 34，则 cos22sin 2cos22sin 2cos2sin214tan 1tan26425.【答案】(1)D(2)B(3)A【方法规律】(1)利用 sin2cos21 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan 可以实现角 的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos，sin cos，sin cos 这三个式子，利用(sin cos)212sin cos，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.【变式探究】(1)已知 sin cos 2，(0，)

4、，则 tan()A.1 B.22 C.22 D.1(2)若 3sin cos 0，则1cos22sin cos 的值为()A.103 B.53 C.23 D.2【解析】(1)由sin cos 2，sin2cos21，名师整理，助你成功 得 2cos22 2cos 10，即()2cos 120，cos 22.又(0，)，34，tan tan 341.(2)3sin cos 0cos 0tan 13，1cos22sin cos cos2sin2cos22sin cos 1tan212tan 1132123103.【答案】(1)A(2)A 高频考点二 诱导公式的应用 例 2、(1)(2017北京卷)

5、在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y轴对称.若 sin 13，则 sin _.(2)求值：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)_.【解析】(1)与 的终边关于 y 轴对称，则 2k，kZ，2k，kZ，sin sin(2k)sin 13.(2)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050 sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330 sin(18060)cos(18030)c

6、os(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 30323212121.【答案】(1)13(2)1【变式探究】(1)化简：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)；(2)求值：设 f()2sin（）cos（）cos（）1sin2cos32 sin22(12sin 0)，求 f236的值.解(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050 sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330

7、名师整理，助你成功 sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 30323212121.(2)f()（2sin）（cos）cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos（12sin）sin（12sin）1tan，f2361tan2361tan461tan6 3.【方法规律】(1)诱导公式的两个应用 求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含 2 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2 的整数倍的三角函数式中可

8、直接将 2 的整数倍去掉后再进行运算，如 cos(5)cos()cos.【变式探究】(1)已知 Asin（k）sin cos（k）cos(kZ)，则 A 的值构成的集合是()A.1，1，2，2 B.1，1 C.2，2 D.1，1，0，2，2(2)化简：tan（）cos（2）sin32cos（）sin（）_.【解析】(1)当 k 为偶数时，Asin sin cos cos 2；k 为奇数时，Asin sin cos cos 2.(2)原式tan cos（cos）cos（）sin（）tan cos cos cos sin sin cos cos sin 1.【答案】(1)C(2)1 高频考点三 同

9、角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例 3、(1)已知 tan6 33，则 tan56 _.名师整理，助你成功(2)已知 cos512 13，且2，则 cos12 等于()A.2 23 B.13 C.13 D.2 23【解析】(1)56 6，tan56 tan6 tan6 33.(2)因为512 12 2，所以 cos12 sin212sin512.因为2，所以7125120，所以251212，所以 sin512 1cos2512 11322 23.【答案】(1)33(2)D【方法规律】(1)常见的互余的角：3 与6；3 与6；4 与4 等.(2)常见的互补的角：3 与23；4 与34 等.

10、【变式探究】(1)已知 sin3 12，则 cos6 _.(2)设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)sin x，当 0 x 时，f(x)0，则 f236()A.12 B.32 C.0 D.12【解析】(1)3 6 2，cos6 cos23sin3 12.(2)由 f(x)f(x)sin x，得 f(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，名师整理，助你成功 所以 f236 f1162 f116 f56 f56 sin56.因为当 0 x 时，f(x)0.所以 f236 01212.【答案】(1)12(2)A 高频考点四、分类讨论思想在三角函数中的应用 例 4、

11、(1)已知 sin2 55，则 tan()sin52cos52_.(2)在ABC 中，若 sin(2A)2sin(B)，3cosA 2cos(B)，则 C_.【解析】(1)sin2 550，为第一或第二象限角 tan()sin52cos52tancossin sincoscossin1sincos.当 是第一象限角时，cos 1sin255，原式1sincos52.当 是第二象限角时，cos 1sin255，原式1sincos52.综上，原式52或52.(2)由已知得 sinA 2sinB，3cosA 2cosB，22得 2cos2A1，即 cosA22，当 cosA22时，cosB32，名师

12、整理，助你成功 又 A、B 是三角形的内角，A4，B6，C(AB)712.当 cosA22时，cosB32.又 A、B 是三角形的内角，A34，B56，不合题意 综上，C712.【答案】(1)52或52(2)712【特别提醒】(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用【方法技巧】同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式 1同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围

13、，判断符号后，正确取舍 2三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式 tanxsinxcosx化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sincos)212sincos 的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin211tan2 tan4；(4)运用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤 1.(2019高考全国卷)已知 0，2，2sin 2cos 21，则 sin()A.15 B.55 C.33 D.2 55【答案】B【解析】由 2sin 2cos 21，得 4sin cos 12 si

14、n21，即 2sin cos 1sin2.因为 0，2，所以 cos 1sin2，所以 2sin 1sin2 1sin2，解得 sin 55，故选 B。1.（2018 年全国卷理数）若，则 名师整理，助你成功 A.B.C.D.【答案】B【解析】，故答案为 B.2.（2018 年全国卷理数）已知，则_【答案】【解析】因为，所以，因此 3.（2018 年天津卷）在中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知.（I）求角 B 的大小；（II）设 a=2，c=3，求 b 和的值.【答案】()；()，.【解析】（）在ABC 中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得 又因为，可得 B=（）在AB

15、C 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B=，有，故 b=由，可得因为 ac，故 因此，所以，1.(2017北京卷)在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 sin 13，则 sin _.【解析】与 的终边关于 y 轴对称，则 2k，kZ，2k，kZ，sin sin(名师整理，助你成功 2k)sin 13.1.【2016 高考新课标 3 理数】在ABC中，4B=，BC边上的高等于13BC,则cos A=（）（A）3 1010 （B）1010 （C）1010-（D）3 1010-【答案】C【解析】设BC边上的高为AD，则3BCAD，所以225ACA

16、DDCAD，2ABAD由余弦定理，知22222225910cos210225ABACBCADADADAAB ACADAD，故选C 2.【2016 高考新课标2 理数】若3cos()45，则sin 2（）（A）725 （B）15 （C）15 （D）725【答案】D【解析】2237cos 22cos12144525 ，且cos 2cos2sin242，故选 D.3.【2016 高考新课标 3 理数】若3tan4，则2cos2sin 2（）(A)6425 (B)4825 (C)1 (D)1625 【答案】A【解析】由3tan4，得34sin,cos55或34sin,cos55 ，所以2161264c

17、os2sin 24252525，故选 A 4.【2016 年高考四川理数】22cossin88=.【答案】22 名师整理，助你成功【解析】由二倍角公式得22cossin882cos.42【2015 江苏高考，8】已知tan2，1tan7，则tan的值为_.【答案】3【解析】12tan()tan7tantan()3.21tan()tan17【2015 高考福建，理 19】已知函数f()x的图像是由函数()cosg xx=的图像经如下变换得到：先将()g x图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度.()求函数f()x的解析式，并求其图像的对称轴

18、方程；()已知关于x的方程f()g()xxm+=在0,2)p内有两个不同的解,a b（1)求实数 m 的取值范围；（2)证明：22cos)1.5mab-=-(【答案】()f()2sinxx=，(kZ).2xkpp=+?；()（1）(5,5)-；（2）详见解析【解析】解法一：(1)将()cosg xx=的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）得到y2cos x=的图像，再将y2cos x=的图像向右平移2p个单位长度后得到y2cos()2xp=-的图像，故f()2sinxx=，从而函数f()2sinxx=图像的对称轴方程为(kZ).2xkpp=+?(2)21f()g()2sinc

19、os5(sincos)55xxxxxx+=+=+5sin()x j=+（其中12sin,cos55jj=）依题意，sin()=5mx j+在区间0,2)p内有两个不同的解,a b当且仅当|15m，故 m 的取值范围是(5,5)-.2)因为,a b是方程5sin()=mx j+在区间0,2)p内有两个不同的解，所以sin()=5maj+，sin()=5mbj+.名师整理，助你成功 当1m 5时，+=2(),2();2pa bjabpbj-=-+当5m1-时,3+=2(),32();2pa bjabpbj-=-+所以2222cos)cos2()2sin()12()11.55mmabbjbj-=-+

20、=+-=-=-(解法二：(1)同解法一.(2)1)同解法一.2)因为,a b是方程5sin()=mx j+在区间0,2)p内有两个不同的解，所以sin()=5maj+，sin()=5mbj+.当1m 5时，+=2(),+();2pa bja jpbj-=-+即 当5m1-时,3+=2(),+3();2pa bja jpbj-=-+即 所以cos+)cos()a jbj=-+(于是cos)cos()()cos()cos()sin()sin()abajbjajbjajbj-=+-+=+(22222cos()sin()sin()1()()1.555mmmbjajbj=-+=-+=-【2015 高考山

21、东，理 16】设 2sin coscos4f xxxx.（）求 f x的单调区间；（）在锐角ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c,若0,12Afa,求ABC面积的最大值.【答案】（I）单调递增区间是,44kkkZ；单调递减区间是3,44kkkZ（II）ABC 面积的最大值为234 名师整理，助你成功【解析】（I）由题意知 1cos 2sin2222xxf x sin21 sin21sin2222xxx 由222,22kxkkZ 可得,44kxkkZ 由3222,22kxkkZ 可得3,44kxkkZ 所以函数 f x 的单调递增区间是,44kkkZ；单调递减区间是3,44kkkZ（

22、）由1sin0,22AfA 得1sin2A 由题意知A为锐角，所以3cos2A 由余弦定理：2222cosabcbcA 可得：22132bcbcbc 即：23,bc 当且仅当bc时等号成立.因此123sin24bcA 所以ABC面积的最大值为234（2014福建卷）已知函数 f(x)cos x(sin xcos x)12.(1)若 02，且 sin 22，求 f()的值；(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间【解析】方法一：(1)因为 02，sin 22，所以 cos 22.名师整理，助你成功 所以 f()22222212 12.(2)因为 f(x)sin xcos xcos2x12

23、 12sin 2x1cos 2x212 12sin 2x12cos 2x 22sin2x4，所以 T22.由 2k22x42k2，kZ，得 k38xk8，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8，kZ.方法二：f(x)sin xcos xcos2x12 12sin 2x1cos 2x212 12sin 2x12cos 2x 22sin2x4.(1)因为 00，22的图像关于直线 x3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.(1)求 和 的值；名师整理，助你成功(2)若 f234623，求 cos32的值【解析】(1)因为 f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为，所以(x)的最小正周期 T

24、，从而 2T2.又因为 f(x)的图像关于直线 x3对称，所以 23k2，k0，1，2，.因为22，所以 6.(2)由(1)得 2 3sin(226)34，所以 sin614.由623得 062，所以 cos61sin261142154.因此 cos32 sin sin（6）6 sin6cos6cos6sin6 143215412 3 158.（2013全国卷）已知 是第三象限角，sin 13，则 cot _【答案】2 2【解析】cos 1sin22 23，所以 cotcossin2 2.（2013四川卷）设 sin 2sin，2，则 tan 2 的值是_【答案】3【解析】解法一：由 sin

25、2sin，得 2sin cos sin，又 2，故 sin 0，于是 cos 12，进而 sin 32，于是 tan 3，名师整理，助你成功 tan 22tan 1tan2 2（3）13 3.解法二：同上得 cos 12，又 2，可得 23，tan 2tan 43 3.（2013新课标全国卷 设 为第二象限角，若 tan412，则 sin cos _【答案】105【解析】由 tan412得1tan 1tan 12tan 13cos 3sin ，由 sin2cos2110sin21，在第二象限，sin 1010，cos 3 1010，sin cos 105.（2013重庆卷）在ABC 中，内角

26、A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a2b2 2abc2.(1)求 C；(2)设 cos Acos B3 25，cos（A）cos（B）cos225，求 tan 的值【解析】(1)因为 a2b2 2abc2，所以由余弦定理有 cos Ca2b2c22ab 2ab2ab22.故 C34.(2)由题意得（sin sin Acos cos A）（sin sin Bcos cos B）cos225，因此(tan sin Acos A)(tan sin Bcos B)25，tan2 sin Asin Btan(sin Acos Bcos Asin B)cos Acos B25，tan2 sin A

27、sin Btan sin(AB)cos Acos B25.因为 C34，所以 AB4，所以 sin(AB)22.因为 cos(AB)cos Acos Bsin Asin B，即3 25sin Asin B22.解得 sin Asin B3 2522210.由得 tan25tan 40，解得 tan 1 或 tan 4.（2013重庆卷）4cos 50tan 40()名师整理，助你成功 A.2 B.2 32 C.3 D2 21【答案】C【解析】原式4sin 40sin 40cos 40 4sin 40cos 40sin 40cos 402sin 80sin 40cos 40 2cos（4030）sin 40cos 40 2（cos 40cos 30sin 40sin 30）sin 40cos 40 3cos 40cos 40 3，故选 C.