专题6.3等比数列及其前n项和(练)(解析版)43793.pdf

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1、 专题 6.3 等比数列及其前 n 项和 1（四川省绵阳市 2019 届高三期中）已知an是正项等比数列，且 a1a8=4a5，a4与 2a6的等差中项为18，则 a5=（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】设正项等比数列an的公比为 q0，a1a8=4a5，a4与 2a6的等差中项为 18，a12q7=4a1q4，a4+2a6=36 即 a1（q3+2q5）=36，解得 a1=，q=2，则 a5=a1q4=8 故选 C。2（山东省实验中学等四校 2019 届高三联考）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，且，构成等比数列，则（）A15 B-15 C30 D25【答案】D【解析

2、】设等差数列的公差为，由题意，解得 故选 D。3（江西省临川一中 2019 届高三模拟）已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（）A1 B1 或 C D【答案】C【解析】因为，所以，故，因为正项等比数列，故，所以，故选 C。4（辽宁省朝阳市重点高中 2019 届高三模拟）在等比数列中，则（）A3 B C D【答案】A【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，又，所以，故选 A。5（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中 2019 届高三联考）等比数列的各项和均为正数，,则（）A.14 B.21 C.28 D.63【答案】C【解析】设等比数列的公比为 q，即，解得或，又，故选 C。6（河北

3、省保定市 2019 年高三第二次模拟）等比数列中，若，则公比（）A B C2 D4【答案】B【解析】设等比数列的首项为，公比为 由题可得：，解得：故选 B。7（内蒙古 2019 届高三模拟）九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”如：甲、乙、丙、丁“哀”得,个单位,递减的比例为,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的值分别为（）A B C D 【答案】A【解析】设“衰分比”为,甲衰分得石,由题意得,解得,故选 A。8（甘肃省、青海省、宁夏 2019 届高三联考

4、）已知等比数列的前项和为，若，则（）A8 B7 C6 D4 【答案】A【解析】因为等比数列的前项和为，且，则,则.故选 A。9（河南省八市重点高中联盟 2019 届高三测评）在等比数列中，则（）A.B.C.2 D.4【答案】B【解析】因为q4，所以 q8+q420，所以 q44 或 q45（舍），所以 q22，1，所以 故选 B。10（重庆南开中学 2019 届高三检测）在等比数列中，若，则()A B C D【答案】D【解析】，则，故选 D。11（山西省晋城市 2019 届高三第二次模拟）设等比数列的前项和为，若，则（）A63 B62 C61 D60【答案】A【解析】因为，成等比数列，即 3，

5、12，成等比数列，所以，解得。12（江西省临川一中、南昌二中 2019 届高三联考）已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=（）A32 B31 C30 D29【答案】B【解析】因为，所以.因为，所以.所以，所以.故选 B。13（湖南省益阳第一中学 2019 届高三模拟）已知等比数列的前项和为，若，则（）A10 B7 C8 D4【答案】C【解析】由题意得：故选 C。14（北京市房山区 2019 年高三第一次模拟）九章算术中有如下问题：今有浦生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等?意思是今有蒲第一天长高 3 尺，莞第一天长高1 尺，以后蒲每天长

6、高前一天的一半，莞每天长高前一天的 2 倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为().(结果精确到 0.1，参考数据:，)A2.2 天 B2.4 天 C2.6 天 D2.8 天【答案】C【解析】设蒲的长度组成等比数列an，其 a1=3，公比为，其前 n 项和为 An，则 An=.莞的长度组成等比数列bn，其 b1=1，公比为 2，其前 n 项和为 Bn则 Bn，由题意可得：，整理得：2n+=7，解得 2n=6，或 2n=1（舍去）n=2.6估计 2.6 日蒲、莞长度相等.故选 C。15（河南省郑州市 2019 届高三第三次质量检测）等比数列的前项和为，若，,则（）A81 B24 C-81 D-24

7、【答案】C【解析】因为等比数列，由性质可得 又因为 所以当时，有，即公比 所以 故选 C。16（辽宁省本溪一中 2019 届高三模拟）在等比数列中，若，且前 n 项和，则数列的项数 n 等于（）A4 B5 C6 D7【答案】B【解析】在等比数列中，易得，又，两式联立解得或 当时，解得，又，所以，解得 同理当时，由，解得，由，解得 综上，正整数，故选 B。17（浙江省诸暨市第一中学 2019 届高三模拟）已知等差数列的前项和是，公差不等于零，若成等比数列，则 A.B.C.D.【答案】C【解析】由成等比数列可得，可得（，即，公差不等于零，故选 C。18（广东省潮州市 2019 届高三第二次模拟）双

8、曲线的一个焦点为，若、成等比数列，则该双曲线的离率（）A B C D【答案】B【解析】因为成等比数列，所以，所以，因为，所以 故选 B。19（天津市和平区 2019 届高三二模）已知单调等比数列，首项为，其前项和是，且，成等差数列，数列满足条件（1）求数列、的通项公式；（2）设，记数列的前项和是.求；求正整数，使得对任意，均有.【答案】(1)，；(2).；.【解析】(1)设.由已知得，即，进而有.所以，即，则.由已知数列是单调等比数列，且，所以取.数列的通项公式为.，则.即数列的通项公式为.(2).由(1)可得：，分组求和可得：.由于，由于比变化快，所以令得.即递增，而递减。所以，最大.即当时

9、，。20（江苏省南京金陵中学 2019 届高三第四次模拟）已知各项均为正整数的数列an的前 n 项和为 Sn，满足：Sn1+kantan21，n2，nN*（其中 k，t 为常数）（1）若 k，t，数列an是等差数列，求 a1的值；（2）若数列an是等比数列，求证：kt【答案】（1）a11+，（2）见解析【解析】（1）k，t，（n2），设等差数列an的公差为 d，令 n2，则，令 n3，则，两式相减可得：，an0，a3a22d 由，且 d2，化为40，a10 解得 a11+（2）Sn1+kantan21，n2，nN*，所以 Sn+kan+11，-得 an+kan+1kan，an（an+1an）t

10、（an+1+an）k，令公比为 q0，则 an+1anq，（q1）k+1tan（q21），1（q1）tan（q+1）k；对任意 n2，nN*，1（q1）tan（q+1）k成立；q1，an不是一个常数；t0，Sn1+kan1，且an是各项均为正整数的数列，k0，故 kt。1.（2019江苏高考）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足:，其中 Sn为数列bn的前 n 项和 求数列bn的通项公式；设 m 为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数 k，当 km 时，都有成立，求 m 的最大值 【答案】（1

11、）见解析；（2）bn=n；5.【解析】（1）设等比数列an的公比为 q，所以 a10，q0.由，得，解得 因此数列为“M数列”.（2）因为，所以 由得，则.由，得，当时，由，得，整理得 所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列.因此，数列bn的通项公式为 bn=n.由知，bk=k，.因为数列cn为“M数列”，设公比为 q，所以 c1=1，q0.因为 ckbkck+1，所以，其中 k=1，2，3，m.当 k=1 时，有 q1；当 k=2，3，m 时，有 设 f（x）=，则 令，得 x=e.列表如下：x e(e，+)+0 f（x）极大值 因为，所以 取，当 k=1，2，3，4，5 时，即，经检

12、验知也成立 因此所求 m 的最大值不小于 5 若 m6，分别取 k=3，6，得 3q3，且 q56，从而 q15243，且 q15216，所以 q 不存在.因此所求 m 的最大值小于 6.综上，所求 m 的最大值为 5 2（2019全国高考）记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若，则 S4=_【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，即 解得，所以 3.（2018全国卷）等比数列中，（1）求的通项公式；（2）记为的前项和若，求【答案】（1）或.（2）.【解析】（1）设的公比为，由题设得 由已知得，解得（舍去），或 故或（2）若，则由得，此方程没有正整数解 若，则由得，解得 综上，4.（2

13、017全国高考真题（文）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）5 或.【解析】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.（1），结合得，.（2），解得或 3，当时，此时；当时，此时.5.（2017 全国卷 3）设等比数列满足，则_【答案】-8【解析】因为为等比数列，设公比为，即，显然，得，即，代入式可得，所以 6.（2017江苏高考）等比数列an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S374，S6634，则 a8_.【答案】32【解析】设an的首项为 a1，公比为 q，则 a11q31q74，a11q61q634，两式相除得1q31q61q31q31q319，解得 a114，q2，所以 a814272532.7.(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯()A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【答案】B 【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前 7 项的和 S7381，公比 q2，依题意，得 S7a1（127）12381，解得 a13。