2023年新高考数学大一轮复习专题08幂函数与二次函数(原卷版)43641.pdf

《2023年新高考数学大一轮复习专题08幂函数与二次函数(原卷版)43641.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年新高考数学大一轮复习专题08幂函数与二次函数(原卷版)43641.pdf（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 专题 08 幂函数与二次函数【考点预测】1.幂函数的定义 一般地，()ayxaR(a为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ax的系数为 1；ax的底数是自变量；指数为常数.(3)幂函数的图象和性质 3.常见的幂函数图像及性质：函数 yx 2yx 3yx 12yx 1yx 图象 定义域 R R R|0 x x|0 x x 值域 R|0y y R|0y y|0y y 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在R上单调递增 在(0)，上单调递减，在(0+)，上单调递增 在R上单调递增 在0+)，上单调递增 在

2、(0)，和(0+)，上单调递减 公共点(1 1)，4.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f xaxbxc a；（2）顶点式：2()()(0)f xa xmn a；其中，(,)m n为抛物线顶点坐标，xm为对称轴方程.（3）零点式：12()()()(0)f xa xxxxa，其中，12,x x是抛物线与x轴交点的横坐标.5二次函数的图像 二次函数2()(0)f xaxbxc a的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bxa，顶点坐标为24(,)24bacbaa.（1）单调性与最值 当0a 时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,2ba 上递减，在,)2ba上递增，当 2bxa 时，2m

3、in4()4acbf xa；当0a 时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,2ba 上递增，在,)2ba上递减，当2bxa 时，；2max4()4acbf xa.（2）与x轴相交的弦长 当240bac 时，二次函数2()(0)f xaxbxc a的图像与x轴有两个交点11(,0)Mx和22(,0)Mx，212121212|()4|M Mxxxxx xa.6.二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f xaxbxc a，当0a 时，()f x在区间,p q上的最大值是M，最小值是m，令02pqx：（1）若2bpa，则(),()mf p

4、Mf q；（2）若02bpxa，则(),()2bmfMf qa；（3）若02bxqa，则(),()2bmfMf pa；（4）若2bqa，则(),()mf q Mf p.【方法技巧与总结】1.幂函数()ayxaR在第一象限内图象的画法如下：当0a时，其图象可类似1yx画出；当01a时，其图象可类似12yx画出；当1a 时，其图象可类似2yx画出 2实系数一元二次方程20(0)axbxca的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根12,x x212124000bacbxxacx xa （2）方程有两个不等负根12,x x212124000bacbxxacx xa （3）方程有一正根和一负

5、根，设两根为12,x x120cx xa 3.一元二次方程20(0)axbxca的根的分布问题 一般情况下需要从以下 4 个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bxa 与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设12,x x为实系数方程20(0)axbxca的两根，则一元二次20(0)axbxca的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布 图像 限定条件 12mxx 02()0bmaf m 12xmx ()0f m 12xxm 02()0bmaf m 在区间(,)m n内 没有实根 0 12120 xxmxxm 或 02()0bmaf m 02()0bnaf n ()0()

6、0f mf n OnmyxOnmyxOnmyxOnmyxOnmyx 在区间(,)m n内 有且只有一个实根 ()0()0f mf n ()0()0f mf n 在区间(,)m n内 有两个不等实根 02()0()0bmnaf mf n 4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：轴处在区间的左侧；轴处在区间的右侧；轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），

7、从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.【题型归纳目录】题型一：幂函数的定义及其图像 题型二：幂函数性质的综合应用 题型三：二次方程20(0)axbxca的实根分布及条件 题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 【典例例题】OnmyxOnmyxOnmyx 题型一：幂函数的定义及其图像 例 1（2022全国高三专题练习）幂函数 22121mf xmmx在0,上为增函数，则实数m的值为（）A2 B0 或 2 C0 D2 例 2（2022全国高三专题练习）已知幂函数pqyx（p，qZ 且 p，q 互质）的

8、图象关于 y 轴对称，如图所示，则（）Ap，q 均为奇数，且0pq Bq 为偶数，p 为奇数，且0pq Cq 为奇数，p 为偶数，且0pq Dq 为奇数，p 为偶数，且0pq 例 3（2022海南文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()af xxaR过点 A（4，2），则 f（14）=_.例 4（2022黑龙江哈九中高三开学考试（文）已知幂函数 fx的图象过点8,2，且13f af a，则 a 的取值范围是_ 例 5（2022全国高三专题练习）如图是幂函数iyx（i0，i1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中 13，22，31，412，513，已知它们具有性质：都经过点（0，0）和（1，

9、1）；在第一象限都是增函数 请你根据图象写出它们在（1，+）上的另外一个共同性质：_ 例 6（2022全国高三专题练习）已知幂函数223()mmyf xx（mZ）在(0,)是严格减函数，且为偶函数.（1）求()yf x的解析式；（2）讨论函数5()(2)()yaf xaxf x的奇偶性，并说明理由.【方法技巧与总结】确定幂函数yx的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0时，底数是非零的.题型二：幂函数性质的综合应用 例 7（2022河北石家庄高三期末）已知实数 a，b 满足3ee1aaa，3ee1bbb，则ab（）A-2 B0 C1 D2 例 8（202

10、2四川眉山三模（文）下列结论正确的是（）A 2525 B217217 C322log3 D222log2 例 9（2022广西高三阶段练习（理）已知函数32,2()(1),2xf xxxx，若关于x的方程 f xk有两个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A0,1 B,1 C0,1 D0,例 10（2022浙江模拟预测）已知0a，函数(0)xaf xxax的图象不可能是（）A B C D 例 11（2022全国高三专题练习）不等式10112200221210 xxx 的解集为：_ 例 12（2022上海市实验学校高三阶段练习）若函数 3,af xmxm aR是幂函数，且其图象过点2,2，则函数

11、 2log3ag xxmx的单调递增区间为_.例 13（2020四川泸州老窖天府中学高二期中（理）已知函数 12e,021,0 xxfxxxx，若方程2()()20fxbf x有 8 个相异的实数根，则实数b的取值范围是_ 例 14（2022全国高三专题练习）已知幂函数 224222mmf xmmx在0,上单调递减.（1）求m的值并写出 fx的解析式；（2）试判断是否存在0a，使得函数 211ag xaxf x在0,2上的值域为1,11？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【方法技巧与总结】紧扣幂函数yx的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数 时，x为奇函

12、数，为偶数时，x为偶函数.题型三：二次方程20(0)axbxca的实根分布及条件 例 15（2022河南焦作市第一中学高二期中（文）设p：二次函数 210f xaxaxa的图象恒在 x轴的上方，q：关于x的方程22210 xaxa 的两根都大于1，则p是q的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 例 16（2022重庆模拟预测）已知二次函数24yxxa的两个零点都在区间1,内，则 a 的取值范围是（）A,4 B3,C3,4 D,3 例 17（2022江西省丰城中学高一开学考试）函数 3xf x 且218f a，函数 34axxg x.(1)求 g x的解析式

13、；(2)若关于x的方程 80 xg xm在区间2 2,上有实数根，求实数m的取值范围.例 18（2022湖北高一期末）已知函数 2sin1f xx，0,x(1)求()f x的最大值及()f x取最大值时x的值；(2)设实数aR，求方程23()2()10f xaf x 存在 8 个不等的实数根时a的取值范围 【方法技巧与总结】结合二次函数2()f xaxbxc的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 例 19（2022全国高三专题练习）已知2()(0)f xaxbxc a，()()g xf f x，若(

14、)g x的值域为2，)，()f x的值域为k，)，则实数k的最大值为（）A0 B1 C2 D4 例 20（2022全国高三专题练习）已知值域为 1,)的二次函数()f x满足(1)(1)fxfx ，且方程()0f x 的两个实根12,x x满足122xx(1)求()f x的表达式；(2)函数()()g xf xkx在区间 2,2上的最大值为(2)f，最小值为(2)f，求实数k的取值范围 例 21（2022贵州毕节高一期末）已知函数2()2(0)f xxax a(1)当3a 时，解关于 x 的不等式5()7f x；(2)函数()yf x在,2t t 上的最大值为 0，最小值是4，求实数 a 和

15、t 的值 例 22（2022全国高三专题练习）问题：是否存在二次函数2()(0,)f xaxbxc ab cR同时满足下列条件：(0)3f，()f x的最大值为 4，_？若存在，求出()f x的解析式；若不存在，请说明理由.在(1)(1)fxfx对任意xR都成立，函数(2)yf x的图像关于y轴对称，函数()f x的单调递减区间是1,2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.例 23（2022全国高三专题练习）已知二次函数()f x满足(1)(3)3,(1)1fff （1）求()f x的解析式；（2）若()f x在1,1aa上有最小值1，最大值(1)f a，求 a 的取值范围 例 24（2

16、022全国高三专题练习）设函数2()1f xaxbx（,a bR），满足(1)0f，且对任意实数 x 均有()0f x.(1)求 fx的解析式；(2)当1 1,2 2x 时，若()()g xf xkx是单调函数，求实数 k 的取值范围.【方法技巧与总结】“动轴定区间”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.【过关测试】一、单选题 1（2022全国高三阶段练习）已知函数 2fxaxbxc，其中0a，00f，0a

17、 b c ，则（）A0,1x，都有 0fx B0,1x，都有 0fx C00,1x，使得00fx D00,1x，使得00fx 2（2022北京二模）下列函数中，与函数3yx的奇偶性相同，且在0,上有相同单调性的是（）A12xy Blnyx Csinyx Dyx x 3（2022全国高三专题练习）已知幂函数 222nf xnnx n Z在0,上是减函数，则n的值为（）A1 或3 B1 C1 D3 4（2022全国高三专题练习（理）设11,1,2,32，则使函数yx的定义域为R，且该函数为奇函数的值为（）A1或3 B1或1 C1或3 D1、1或3 5（2022全国高三专题练习（理）已知幂函数()f

18、 xx的图像过点(8,4)，则()f xx 的值域是（）A,0 B,00,C0,D0,6（2022 北京高三专题练习）设xR，x表示不超过x的最大整数 若存在实数t，使得 1t，2 2t，ntn同时成立，则正整数n的最大值是 A3 B4 C5 D6 7（2022全国高三专题练习）若幂函数()mnf xx(m，nN*，m，n 互质)的图像如图所示，则（）Am，n 是奇数，且mn1 Cm 是偶数，n 是奇数，且mn1 8（2022全国高三专题练习）已知3,0()3,0 xxxf xexxx，若关于 x 的方程22()()10fxkf x有 5 个不同的实根，则实数 k 的取值范围为（）A7 2(,

19、)2ee B7 2(,2ee C72(,)(,)2ee D72(,(,2)ee 二、多选题 9（2022全国高三专题练习）若函数244yxx的定义域为0,a，值域为8,4，则正整数 a 的值可能是（）A2 B3 C4 D5 10（2022全国高三专题练习）已知函数2()32 32xxf x，定义域为M，值域为1,2，则下列说法中一定正确的是（）A30,log2M B3,log2M C3log2M D0 M 11（2022广东揭阳高三期末）已知函数 3fxxx，实数,mn满足不等式2320fmnfn，则（）Aeemn B11nnmm Cln0mn D20212021mn 12（2022全国高三专

20、题练习）设点,x y满足55340 xyxxy则点,x y（）A只有有限个 B有无限多个 C位于同一条直线上 D位于同一条抛物线上 三、填空题 13（2022内蒙古赤峰模拟预测（文）写出一个同时具有下列性质的函数 fx_ fxfx；当0,x时，0fx；1 212f xxf xf x；14（2022全国高三专题练习（文）已知 1 12,1,1,2,32 2.若幂函数 f(x)x 为奇函数，且在(0，)上递减，则_.15（2022广东肇庆模拟预测）已知函数21()2f xxax，()lng xx，用min,m n表示 m，n 中的最小值，设函数()min(),()(0)h xf x g xx，若(

21、)h x恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是_.16（2022全国高三专题练习）9 3,4 2M是幂函数()af xx图象上的点，将()f x的图象向上平移32个单位长度，得到函数()yg x的图象，若点(,)nTn m（*nN，且2n）在()g x的图象上，则239MTMTMT_.四、解答题 17（2022全国高三专题练习）解不等式3381050(1)1xxxx 18（2022全国高三专题练习）已知幂函数 2144mf xmmx在区间0,上单调递增.（1）求 fx的解析式；（2）用定义法证明函数 43mg xfxx在区间0,2上单调递减.19（2022全国高三专题练习）已知幂函数224

22、2()22mmf xmmx在(0,)上单调递减.（1）求m的值并写出()f x的解析式；（2）试判断是否存在0a，使得函数()(21)1()ag xaxf x在 1,2上的值域为 4,11？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.20（2022全国高三专题练习）已知二次函数 2,fxxaxb a bR.(1)当6a时，函数 fx定义域和值域都是1，2b，求b的值；(2)若函数 fx在区间0,1上与x轴有两个不同的交点，求1bab的取值范围.21（2022全国高三专题练习）已知函数24()3f xxxa，aR(1)若函数()yf x在 1，1上存在零点，求a的取值范围；(2)设函数()52g xbxb，bR，当0a时，若对任意的11x，4，总存在21x，4，使得12()()f xg x，求b的取值范围 22（2022全国高三专题练习）已知函数222()()mmf xxmZ为偶函数，且(3)(2)ff.（1）求m的值，并确定()f x的解析式；（2）若()log()5(0,ag xf xaxa且1a）,是否存在实数a，使得()g x在区间1,2上为减函数.