2023年新高考数学大一轮复习专题05一元二次不等式与其他常见不等式解法(原卷版)43914.pdf

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1、 专题 05 一元二次不等式与其他常见不等式解法 【考点预测】1、一元二次不等式 一元二次不等式20(0)axbxca，其中24bac，12,x x是方程20(0)axbxca的两个根，且12xx（1）当0a 时，二次函数图象开口向上.（2）若0，解集为21|x xxxx或.若0，解集为|2bx xRxa 且.若0，解集为R.(2)当0a 时，二次函数图象开口向下.若0，解集为12|x xxx 若0，解集为 2、分式不等式（1）()0()()0()f xf x g xg x（2）()0()()0()f xf x g xg x（3）()()0()0()0()f x g xf xg xg x（4）

2、()()0()0()0()f x g xf xg xg x 3、绝对值不等式（1）22()()()()f xg xf xg x（2）()()()0)()()()()f xg x g xf xg xf xg x 或；()()()0)()()()f xg x g xg xf xg x；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】1.已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，（其中0mn），解关于x的不等式02abxcx 由02cbxax的解集为)(nm，得:01)1(2cxbxa的解集为)11(mn，即关于x的不等式02abxcx的解集为)11(

3、mn，已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，解关于x的不等式02abxcx 由02cbxax的解集为)(nm，得:01)1(2cxbxa的解集为)11(，mn即关于x的不等式02abxcx的解集为)11(，mn 2.已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，（其中0 mn），解关于x的不等式02abxcx 由02cbxax的解集为)(nm，得:01)1(2cxbxa的解集为)11(nm，即关于x的不等式02abxcx的解集为)11(nm，3.已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，解关于x的不等式02abxcx 由02cbxax的解集为)(nm，得:01)1(2c

4、xbxa的解集为)11(，nm即关于x的不等式02abxcx的解集为)11(，nm，以此类推 4.已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为R，则一定满足00a；5.已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为，则一定满足00a；6.已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为R，则一定满足00a；7.已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为，则一定满足00a【题型归纳目录】题型一：不含参数一元二次不等式的解法 题型二：含参数一元二次不等式的解法 题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式 题型四：其他不等式解法 题型五：二次函数根的分布问题 【典例例题】题型一：不含参数一

5、元二次不等式的解法 例 1（2022新疆乌鲁木齐二模（理）不等式(2)(1)0 xx的解集为（）A2x x B1x x C21xx D2 x x或1x 例 2（2022全国高三专题练习（文）已知函数 25xf xa（0a 且1a）的图象过定点,m n，则不等式210 xmxn 的解集为（）A1,3 B3,1 C,31,D3,1 例 3（2022全国高三专题练习）已知函数 f x=21,02,0ln xxxx，则不等式2f x22f xx的解集是（）A（2，1）B（0，1）C（，2）（1，+）D（1，+）例 4（2022全国高三专题练习）关于x的不等式2210mmxmx 的解集为R，则实数m的范

6、围是（）A2 33m B2 33m C0m D2 33m 或2 33m 例 5（2022全国高三专题练习）若函数 23xf xx，则不等式124f xfx的解集为（）A3,B,2 C2,3 D 1,5【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x轴上，结合图象，写出其解集 题型二：含参数一元二次不等式的解法 例 6（2022浙江高三专题练习）不等式22200axaxa的解集为（）A2,1a B11,a C2,1,)a D2(,1,a 例 7（2022全国高三专题练习）设1a ，则关于x的不等式1()0a xaxa的解集为（）A|x xa或1xa Bx|xa C

7、x x a或1xa D1|x xa 例 8（2022全国高三专题练习）已知定义在R上的函数 f x满足 f xyf xfy，且当0 x 时，0f x，则关于x的不等式2222f mxfmf m xfx（其中02m）的解集为（）A2x mxm B|x xm或2xm C2xxmm D|x xm或2xm 例 9（2022全国高三专题练习）在关于x的不等式2(1)0 xaxa的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是 A(3,5)B(2,4)C 3,5 D 2,4 例 10（2022浙江高三专题练习）设Ra，关于x的二次不等式2220axxa的解集为A，集合12Bxx，满足AB，求实数a的取值范围.例

8、 11（2022全国高三专题练习）已知关于 x 的不等式(kxk24)(x4)0，其中 kR.(1)当 k变化时，试求不等式的解集 A；(2)对于不等式的解集 A，若满足 AZB(其中 Z 为整数集)试探究集合 B 能否为有限集？若能，求出使得集合 B中元素个数最少的 k 的所有取值，并用列举法表示集合 B；若不能，请说明理由 例 12（2022全国高三专题练习）已知关于x的不等式21ln02xmxxm的解集为(,)a b，其中0a，若该不等式在(,)a b中有且只有一个整数解，求实数m的取值范围 【方法技巧与总结】1数形结合处理 2含参时注意分类讨论 题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式

9、 例 13（2022湖南岳阳二模）已知关于x的不等式2240axbx的解集为4,mm，其中0m，则44bab的最小值为（）A2 B1 C2 D8 例 14（2022江苏南京模拟预测）已知关于x的不等式22430(0)xaxaa的解集为12xx，则1212axxx x的最大值是（）A63 B2 33 C4 33 D4 33（多选题）例15（2022全国高三专题练习）已知关于x的不等式20axbxc的解集为(,2)(3,)，则（）A0a B不等式0bxc 的解集是|6x x C0abc D不等式20cxbxa的解集为11(,)(,)32 例 16（2022全国高三专题练习）若不等式2510axx

10、的解集为1123xx，则不等式303xax的解集为_.例 17（2022全国高三专题练习）已知不等式210axbx 的解集是11|23 xx，则不等式20 xbxa 的解集是_.【方法技巧与总结】1一定要牢记二次函数的基本性质 2含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换 题型四：其他不等式解法 例 18（2022上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是12x的解集为_ 例 19（2022全国高三专题练习）不等式111x的解集为_.例 20（2022全国高三专题练习）写出一个解集为0,2的分式不等式_.例 21（2022上海高三专题练习）关于x的不等式232(34)0(1)(33)5xxxxx

11、x的解集为_.例 22（2022四川德阳三模（文）对于问题:“已知关于x的不等式20axbxc的解集为1,2,解关于x的不等式20axbxc”,给出如下一种解法:解析:由20axbxc的解集1,2,得 20axbxc的解集为2,1,即 关于x的不等式20axbxc的解集为2,1.参考上述解法,若关于x的不等式0kxbxaxc的解集为111,1,32 关于x的不等式1011kxbxaxcx的解集为_.【方法技巧与总结】1分式不等式化为二次或高次不等式处理 2根式不等式绝对值不等式平方处理 题型五：二次函数根的分布问题 例 23（2022浙江高三专题练习）若关于x的方程2210axax 有两个不同

12、的正根，则实数a的取值范围是（）A0,1 B0,C1,D,0 例 24（2022全国高三专题练习）已知函数321()13f xxaxx在(,0)，(3,)上为增函数，在1,2上为减函数，则实数a的取值范围为（）A(,1 B55,34 C5,13 D55,34 例 25（2022全国高三专题练习）若函数 1cos23sincos212fxxaxxax在0,2上单调递减，则实数a的取值范围为 A11,5 B1,15 C1,1,5 D1,1,5 例 26（2022全国高三专题练习）已知曲线322()13f xxxax上存在两条斜率为 3 的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值（）A1

13、96 B3 C103 D92 例 27（2022全国高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mxmx的两个实根都大于1，则m的取值范围_ 例 28（2022全国高三专题练习）设2()32f xaxbxc，若0,(0)0,(1)0abcff，求证：()0a 且21ba ；()方程()0f x 在(0,1)内有两个实根.【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【过关测试】一、单选题 1（2022河南南阳中学高三阶段练习（文）已知集合2280Ax xx，203xBxx，则AB（）A22xx B42,3xxx C

14、34xx D34xx 2（2022河北模拟预测）“11a”是“2,20 xxxa R”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3（2022陕西模拟预测（理）已知集合234|0Ax xx，2|Bx axa，若AB ，则实数 a的取值范围是（）A,1 B4,C,12,4 D 1,24,4（2022重庆南开中学模拟预测）已知函数 lnln 2cos2fxxxx，则关于 t 的不等式 20f tf t的解集为（）A2,1 B1,2 C0,1 D0,2 5（2022山西二模（理）已知集合23AxxZ，32Bx axa，若AB有 2 个元素，则实数a的取值范围是（）A

15、3,12 B3,02 C3,01,2 D31,1,022 6（2022重庆高三阶段练习）若关于x的不等式sin|sin|2xxk对任意5,66x恒成立，则实数k的取值范围为（）A 1,3 B7 5,2 2 C 1,2 2 D1,2 2 7（2022江苏无锡模拟预测）已知实数a，b满足如下两个条件：（1）关于x的方程2320 xxab有两个异号的实根；（2）211ab，若对于上述的一切实数a，b，不等式222abmm恒成立，则实数m的取值范围是（）A4,2 B2,4 C,42,D,24,8（2022全国高三专题练习）已知 1a，1，不等式2(4)420 xaxa恒成立，则x的取值范围为()A(，

16、2)(3，)B(，1)(2，)C(，1)(3，)D(1,3)二、多选题 9（2022全国高三专题练习）若不等式2sinsin20 xax对任意的0,2x恒成立，则实数a可能是 A1 B2 C3 D4 10（2022江苏高三专题练习）已知不等式20axbxc的解集为x mxn，其中0m，则以下选项正确的有（）A0a B0c C20cxbxa的解集为11xxnm D20cxbxa的解集为1x xn或1xm 11（2022 全国高三专题练习）已知函数 222f xxmxm，则下列命题正确的有（）A当0m时，0f x 的解集为2mxxm B当1m 时，12,1,x x时，12120 xxf xf x

17、C121,4x xm 且12xx时，121222f xf xxxf D当0m时，若120 xx，则 2112x f xx f x 12（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知两个变量 x，y的关系式(,)(1)f x yxy，则以下说法正确的是（）A(1,3)(3,1)0ff B对任意实数 a，都有1(,)4f a a 成立 C若对任意实数 x，不等式(,)4f xa xa 恒成立，则实数 a 的取值范围是 5,3 D若对任意正实数 a，不等式(,)4f xa xa 恒成立，则实数 x的取值范围是(,0)三、填空题 13（2022全国高三专题练习）不等式210axxca的解集为|21xx，则函

18、数2yaxcx的单调递增区间是_ 14（2022浙江高三专题练习）若不等式2(3)16xb的解集中的整数有且仅有 1，2，3，则实数b的取值范围是_.15（2022全国高三专题练习）若关于x的不等式2220 xaxa恰有 1 个正整数解，则a的取值范围是_.16（2022全国高三专题练习）设a，b，cR，对任意满足1x的实数x，都有21axbxc，则abc 的最大可能值为_.四、解答题 17（2022北京高三学业考试）已知函数2()1f xxmx（m是常数）的图象过点(1,2)(1)求()f x的解析式；(2)求不等式()21f xx的解集 18（2022江西高三期末（文）已知()|2|1|f

19、 xxx.(1)解不等式()8f xx；(2)若关于 x的不等式2()2f xmm在R上恒成立，求实数 m 的取值范围.19（2022全国高三专题练习）设2()32(0)f xaxbxc a，若0abc，010ff，求证：(1)方程()0f x 有实数根；(2)21ba ；(3)设1x，2x是方程()0f x 的两个实数根，则1233|32xx 20（2022浙江高三专题练习）若不等式2(1)460a xx的解集是31xx (1)解不等式22(2)0 xa xa；(2)b 为何值时，230axbx的解集为 R 21（2022全国高三专题练习）解关于x的不等式：21100axa xa.22（2022全国高三专题练习）已知二次函数 2f xaxbxc.（1）若 10f，试判断函数 f x零点个数；（2）是否存在,a b cR，使()f x同时满足以下条件：对任意,(4)(2)xR f xfx，且()0f x；对任意xR，都有210()(1)2f xxx.若存在，求出,a b c的值，若不存在，请说明理由.