专题19简单的三角恒等变换(教学案)(原卷版)43579.pdf

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1、名师整理，助你成功 1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1公式的常见变形(1)1cos2cos22；1cos2sin22；(2)1sin(sin2cos2)2；1sin(sin2cos2)2.(3)tan2sin1cos1cossin.2辅助角公式 asinxbcosx a2b2sin(x)，其中 sinba2b2，cosaa2b2.高频考点一 三角函数式的化简与求值 例 1、(1)化简：2cos4x2cos2x122tan4x si

2、n24x_.(2)已 知 0，2，且2sin2 sincos 3cos2 0，则sin4sin2cos21_.【答案】(1)12cos2x(2)268 名师整理，助你成功【解析】(1)原式124cos4x4cos2x12sin4xcos4xcos24x 2cos2x124sin4x cos4x cos22x2sin22x cos22x2cos2x12cos2x.(2)0，2，且 2sin2sincos3cos20，则(2sin3cos)(sincos)0，2sin3cos，又 sin2cos21，cos213，sin313，sin4sin2cos21 22sincossincos2cos2si

3、n2268.【感悟提升】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点【变式探究】(1)cos9cos29cos239等于()A18 B116 C.116 D.18(2)若1cos2sin212，则 tan2 等于()A.54 B54 C.43 D43【答案】(1)A(2)D 名师整理，助你成功【解析】(1)原式cos9cos29cos(349)cos 9cos 29cos 49sin 9sin9 12sin 29cos 29cos 49sin 9 18

4、sin 89sin 9 18.(2)1cos2sin22cos22sincoscossin12，tan2，tan22tan1tan241443.高频考点二 三角函数的求角问题 例 2、(1)已知锐角，满足 sin55，cos3 1010，则 等于()A.34 B.4或34 C.4 D2k4(kZ)(2)已知方程 x23ax3a10(a1)的两根分别为 tan、tan，且、2，2，则 等于()A.8 B34 C.8或38 D.4或34【答案】(1)C(2)B【解析】(1)由 sin55，cos3 1010且，为锐角，可知 cos2 55，sin1010，故 cos()coscossinsin 2

5、 553 101055101022，名师整理，助你成功 又 0，故 4.(2)依题意有 tantan3a，tantan3a1，tan()tantan1tantan3a13a11.又 tantan0，tantan0，tan0 且 tan0.20 且20，即0，结合 tan()1，得 34.【感悟提升】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：(1)已知正切函数值，则选正切函数(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若角的范围是0，2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，)，则选余弦较好；若角的范围为2，2，则选正弦较好【变式探究】(1)已知 sin55，sin()1010

6、，均为锐角，则角 等于()A.512 B.3 C.4 D.6(2)在ABC 中，tanAtanB 3 3tanAtanB，则 C 等于()A.3 B.23 C.6 D.4【答案】(1)C(2)A【解析】(1)、均为锐角，22.又 sin()1010，cos()3 1010.又 sin55，cos2 55，名师整理，助你成功 sinsin()sincos()cossin()553 10102 55(1010)22.4.(2)由已知可得 tanAtanB 3(tanAtanB1)，tan(AB)tanAtanB1tanAtanB 3，又 0AB，AB23，C3.高频考点三 三角恒等变换的应用 例

7、3、已知函数 f(x)sin(x)acos(x2)，其中 aR，2，2.(1)当 a 2，4时，求 f(x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若 f20，f()1，求 a，的值 解(1)f(x)sinx4 2cosx2 22(sinxcosx)2sinx 22cosx22sinx sin4x，因为 x0，从而4x34，4，故 f(x)在0，上的最大值为22，最小值为1.(2)由 f20，f1.得 cos12asin0，2asin2sina1，由 2，2知 cos0，解得 a1，6.【感悟提升】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为 yAsin(x)k

8、 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征【变式探究】(1)函数 f(x)sin(x)2sincosx 的最大值为_ 名师整理，助你成功(2)函数 f(x)sin(2x4)2 2sin2x 的最小正周期是_【答案】(1)1(2)【解析】(1)因为 f(x)sin(x)2sincosx sinxcoscosxsinsin(x)，1sin(x)1，所以 f(x)的最大值为 1.(2)f(x)22sin2x22cos2x 2(1cos2x)22sin2x22cos2x 2sin(2x4)2，T22.1.【2019 年高考江苏卷】已知tan23tan4，则sin 24的值是 。【答案】2

9、10【解析】由tan1tantantan2tan1tan13tan1tan4，得23tan5tan20，解得tan2，或1tan3.sin 2sin2coscos2 sin444 2222222sincoscossinsin2cos2=22sincos 2222tan1 tan=2tan1，当tan2时，上式2222 2 1 22=22110 ；名师整理，助你成功 当1tan3 时，上式=22112()1()2233=1210()13 .综上，2sin 2.410 2.【2019 年高考天津卷】在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c已知2bca，3 sin4 sincBaC（1

10、）求cosB的值；（2）求sin 26B的值【答案】（1）14；（2）3 5716.【解析】（1）在ABC中，由正弦定理sinsinbcBC，得sinsinbCcB，又由3 sin4 sincBaC，得3 sin4 sinbCaC，即34ba又因为2bca，得到43ba，23ca由余弦定理可得222222416199cos22423aaaacbBacaa （2）由（1）可得215sin1 cos4BB，从而15sin22sincos8BBB，227cos2cossin8BBB，故 153713 57sin 2sin2 coscos2 sin666828216BBB 3.(2018 江苏卷)已知

11、，为锐角，tan43，cos()55.(1)求 cos2 的值；(2)求 tan()的值【解析】(1)因为 tan 43，tan sin cos，所以 sin 43cos.名师整理，助你成功 因为 sin2cos21，所以 cos2925，所以 cos 22cos21725.(2)因为，为锐角，所以(0，)又因为 cos()55，所以 sin()1cos2（）2 55，因此 tan()2.因为 tan 43，所以 tan 22tan 1tan2247.因此 tan()tan2()tan 2tan（）1tan 2tan（）211 4.(2018 山东卷)设 f(x)2 3sin(x)sin x(

12、sin xcos x)2.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移3个单位，得到函数 yg(x)的图象，求 g6的值【解析】(1)f(x)2 3sin2x(12sin xcos x)3(1cos 2x)sin 2x1sin 2x 3cos 2x 312sin2x3 31.由2k22x32k2(kZ)，得k12xk512(kZ)，所以f(x)的单调递增区间是k12，k512(kZ)(2)由(1)知f(x)2sin2x3 31，把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到 y2s

13、inx3 31 的图象，再把所得到的图象向左平移3个单位，得到 y2sin x 31 的图象，即 g(x)2sin x 31.所以 g62sin 6 31 3.1.(2017全国卷)已知 sin cos 43，则 sin 2()A.79 B.29 C.29 D.79 名师整理，助你成功【解析】sin 22sin cos（sin cos）21179.【答案】A 2.(2017山东卷)已知 cos x34，则 cos 2x()A.14 B.14 C.18 D.18【解析】因为 cos x34，所以 cos 2x2cos2x12342118.【答案】D 3.(2017江苏卷)若 tan416，则 t

14、an _.【解析】tan tan44 tan4tan41tan4tan416111675.【答案】75 1.【2016 高考新课标2 理数】若3cos()45，则sin 2（）（A）725 （B）15 （C）15 （D）725【答案】D【解析】2237cos 22cos12144525 ，且cos 2cos2sin242，故选 D.2.【2016 高考新课标 3 理数】若3tan4，则2cos2sin 2（）(A)6425 (B)4825 (C)1 (D)1625 【答案】A【解析】由3tan4，得34sin,cos55或34sin,cos55 ，所以2161264cos2sin 242525

15、25，故选 A 名师整理，助你成功 3.【2016 年高考四川理数】22cossin88=.【答案】22【解析】由二倍角公式得22cossin882cos.42【2015 高考四川，理 12】75sin15sin .【答案】62.【解析】法一、6sin15sin75sin15cos152sin(1545)2.法二、6sin15sin75sin(4530)sin(4530)2sin45 cos302.法三、62626sin15sin75442.【2015 高考浙江，理 11】函数2()sinsincos1f xxxx的最小正周期是 ，单调递减区间是 【答案】，87,83kk，Zk.【解析】1 c

16、os2sin223()1sin(2)22242xxf xx，故最小正周期为，单调递减区间为 87,83kk，Zk.【2015 高考天津，理 15】（本小题满分 13 分）已知函数 22sinsin6fxxx，Rx(I)求()f x最小正周期；(II)求()f x在区间,3 4p p上的最大值和最小值.【答案】(I);(II)max3()4f x,min1()2f x.【解析】(I)由已知，有 名师整理，助你成功 1cos 21cos21 1313()cos2sin2cos2222 222xxf xxxx 311sin2cos2sin 24426xxx.所以()f x的最小正周期22T.(II)

17、因为()f x在区间,36pp上是减函数，在区间,6 4p p上是增函数，113(),(),()346244fff ，所以()f x在区间,3 4p p上的最大值为34，最小值为12.【2015 高考重庆，理 18】已知函数 2sinsin3cos2fxxxx（1）求 f x的最小正周期和最大值；（2）讨论 f x在2,63上的单调性.【答案】（1）最小正周期为p，最大值为232；（2）()f x在5,6 12上单调递增；()f x在52,123上单调递减.【解析】（1）23()sinsin3coscos sin(1 cos2)22f xxxxxxx 131333sin2(1 cos2)sin

18、2cos2sin(2)2222232xxxxxp,因此()f x的最小正周期为p，最大值为232.（2）当2,63x时，有023x，从而 名师整理，助你成功 当0232x时,即5612x时，()f x单调递增，当223x时,即52123x时，()f x单调递减，综上可知，()f x在5,6 12上单调递增；()f x在52,123上单调递减.（2014全国卷）直线 l1和 l2是圆 x2y22 的两条切线若 l1与 l2的交点为(1，3)，则 l1与 l2的夹角的正切值等于_ 【答案】43【解析】如图所示，根据题意，OAPA，OA 2，OP 10，所以 PA OP2OA22 2，所以 tanO

19、PAOAPA22 212，故 tanAPB2tanOPA1tan2OPA43，即 l1与 l2的夹角的正切值等于43.（2014全国卷）若函数 f(x)cos 2xasin x 在区间6，2是减函数，则 a 的取值范围是_【答案】(，2【解析】f(x)cos 2xasin x2sin2xasin x1，令 sin xt，则 f(x)2t2at1.因为 x6，2，所以 t12，1，所以 f(x)2t2at1，t12，1.因为 f(x)cos 2xasin x 在区间6，2是减函数，所以 f(x)2t2at1 在区间12，1 上是减函数，又对称轴为 xa4，a412，所以 a(，2（2014 福建

20、卷）已知函数 f(x)cos x(sin xcos x)12.(1)若 02，且 sin 22，求 f()的值；(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间【解析】方法一：(1)因为 02，sin 22，所以 cos 22.名师整理，助你成功 所以 f()2222221212.(2)因为 f(x)sin xcos xcos2x12 12sin 2x1cos 2x212 12sin 2x12cos 2x 22sin2x4，所以 T22.由 2k22x42k2，kZ，得 k38xk8，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8，kZ.方法二：f(x)sin xcos xcos2x12 1

21、2sin 2x1cos 2x212 12sin 2x12cos 2x 22sin2x4.(1)因为 02，sin 22，所以 4，从而 f()22sin2422sin3412.(2)T22.由 2k22x42k2，kZ，得 k38xk8，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8，kZ.（2014四川卷）已知函数 f(x)sin3x4.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)若 是第二象限角，f345cos4cos 2，求 cos sin 的值【解析】(1)因为函数 ysin x 的单调递增区间为22k，22k，kZ，名师整理，助你成功 由22k3x422k，kZ，得42k3x122k3

22、，kZ.所以，函数 f(x)的单调递增区间为42k3，122k3，kZ.(2)由已知，得 sin445cos4(cos2sin2)，所以 sin cos4cos sin445cos cos4sin sin4(cos2 sin2)，即 sin cos 45(cos sin)2(sin cos)当 sin cos 0 时，由 是第二象限角，得 342k，kZ，此时，cos sin 2.当 sin cos 0 时，(cos sin)254.由 是第二象限角，得 cos sin 0，此时 cos sin 52.综上所述，cos sin 2或52.（2014天津卷）已知函数 f(x)cos xsinx3

23、 3cos2x34，xR.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在闭区间4，4上的最大值和最小值【解析】(1)由已知，有 f(x)cos x12sin x32cos x 3cos2x34 12sin xcos x32cos2x34 14sin 2x34(1cos 2x)34 14sin 2x34cos 2x 12sin2x3，所以 f(x)的最小正周期 T22.(2)因为 f(x)在区间4，12上是减函数，在区间12，4上是增函数，f414，f1212，名师整理，助你成功 f414，所以函数 f(x)在区间4，4上的最大值为14，最小值为12.（2014北京卷）如图 1-2，在AB

24、C 中，B3，AB8，点 D 在 BC 边上，且 CD2，cosADC17.(1)求 sinBAD；(2)求 BD，AC 的长 图 1-2【解析】(1)在ADC 中，因为 cos ADC17，所以 sin ADC4 37.所以 sin BADsin(ADCB)sin ADCcos Bcos ADCsin B4 371217323 314.(2)在ABD 中，由正弦定理得 BDABsin BADsin ADB83 3144 373.在ABC 中，由余弦定理得 AC2AB2BC22ABBCcos B 82522851249，所以 AC7.（2014福建卷）在ABC 中，A60，AC4，BC2 3，

25、则ABC 的面积等于_ 名师整理，助你成功【答案】2 3【解析】由BCsin AACsin B，得 sin B4sin 602 31，B90，C180(AB)30，则 SABC12ACBCsin C1242 3sin 302 3，即ABC 的面积等于 2 3.（2014湖南卷）如图 1-5 所示，在平面四边形 ABCD 中，AD1，CD2，AC 7.图 1-5(1)求 cosCAD 的值；(2)若 cosBAD714，sinCBA216，求 BC 的长【解析】(1)在ADC 中，由余弦定理，得 cosCADAC2AD2CD22ACAD，故由题设知，cosCAD7142 72 77.(2)设BA

26、C，则 BADCAD.因为 cosCAD2 77，cosBAD714，所以 sinCAD 1cos2CAD 12 772217，sinBAD 1cos2BAD171423 2114.于是 sin sin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD 名师整理，助你成功 3 21142 77714217 32.在ABC 中，由正弦定理，得BCsin ACsinCBA.故 BCACsin sinCBA7322163.（2014四川卷）如图 1-3 所示，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67，30，此时气球的高度是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，31.73)图 1-3【答案】60【解析】过 A 点向地面作垂线，记垂足为 D，则在 RtADB 中，ABD67，AD46 m，ABADsin 67460.9250(m)，在ABC 中，ACB30，BAC673037，AB50 m，由正弦定理得，BCABsin 37sin 3060(m)，故河流的宽度 BC 约为 60 m.