专题9.5椭圆(讲)(解析版)43825.pdf

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1、 专题 9.5 椭圆 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)3.了解椭圆的简单应用 4.理解数形结合的思想.知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 PM|MF1|MF22a，|F1F22c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数(1)若 ac，则集合 P 为椭圆；(2)若 ac，则集合 P 为线段；(3)若 ac，则集合 P 为空集 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b21(ab0)x2b2

2、y2a21(ab0)图形 性质 范围 axa，byb bxb，aya 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点 A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴 长轴 A1A2的长为 2a，短轴 B1B2的长为 2b 焦距|F1F22c 离心率 eca，e(0,1)a，b，c 的关系 c2a2b2【知识必备】1 焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作 r1|PF1|，r2|PF2|.(1)x2a2y2b21(ab0)，r1aex0

3、，r2aex0；(2)y2a2x2b21(ab0)，r1aey0，r2aey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)2焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形，F1PF2，PF1F2的面积为 S，则在椭圆x2a2y2b21(ab0)中(1)当 P 为短轴端点时，最大(2)S12|PF1|PF2|sin b2tan 2c|y0|，当|y0|b 时，即点 P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc.(3)焦点三角形的周长为 2(ac)3焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin2b2a.4AB

4、为椭圆x2a2y2b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则(1)弦长 l 1k2|x1x2|11k2|y1y2|；(2)直线 AB 的斜率 kABb2x0a2y0.考点一 椭圆的定义及其应用【典例 1】（河南郑州外国语学校 2019 届模拟）(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重 合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是()A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆(2)已知 F1，F2是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆

5、C 上一点，且PF1PF2.若PF1F2的面积为 9，则 b_.【答案】(1)A(2)3【解析】(1)由折叠过程可知点 M 与点 F 关于直线 CD 对称，所以|PM|PF|，所以|PO|PF|PO|PM|OM|r，由椭圆的定义可知点 P 的轨迹为椭圆(2)设|PF1|r1，|PF2|r2，则 r1r22a，r21r224c2，所以 2r1r2(r1r2)2(r21r22)4a24c24b2.又因为SPF1F212r1r2b29，所以 b3.【方法技巧】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2组成的三角形通常称

6、为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2，通过整体代入可求其面积等【变式 1】（山东潍坊一中 2019 届质检）曲线x225y291 与曲线x225ky29k1(k9)的()A长轴长相等 B短轴长相等 C离心率相等 D焦距相等【答案】D 【解析】曲线x225y291 表示焦点在 x 轴上的椭圆，c225916，焦距为 8.曲线x225ky29k1(k9)表示焦点在 x 轴上的椭圆，c2(25k)(9k)16，焦距为 8.故选 D.考点二 椭圆的标准方程【典例 2】【2019 年高考全国卷】已知椭圆 C 的焦点为，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若，则

7、 C 的方程为 A B C D【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有 在中，由余弦定理推论得 在中，由余弦定理得，解得 所求椭圆方程为，故选 B 法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有 在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选 B【举一反三】（江西金溪一中 2019 届模拟）(1)若直线 x2y20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.x25y21 B.x24y21 C.x25y21 或x24y251 D以上答案都不正确(2)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F

8、2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.x28y261 B.x216y261 C.x28y241 D.x216y241【答案】(1)C(2)A【解析】(1)直线与坐标轴的交点为(0,1)，(2,0)，由题意知当焦点在 x 轴上时，c2，b1，所以a25，所求椭圆的标准方程为x25y21；当焦点在 y 轴上时，b2，c1，所以 a25，所求椭圆的标准方程为y25x241.(2)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)由点 P(2，3)在椭圆上知4a23b21.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即 2a22c，ca12，又 c2a

9、2b2，联立得 a28，b26.所以椭圆方程为x28y261.【方法技巧】(1)定义法：根据椭圆的定义，确定 a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程(2)待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，再根据条件建立关于 a，b 的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx2ny21(m0，n0，mn)的形式【变式 2】（福建泉州五中 2019 届模拟）已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为33，过 F2的直线 l 交 C 于 A，B 两点若AF1B 的周长

10、为 4 3，则 C 的方程为()A.x23y221 B.x23y21 C.x212y281 D.x212y241【答案】A 【解析】由题意及椭圆的定义知 4a4 3，则 a 3，又cac333，所以 c1，所以 b22，所以 C 的方程为x23y221.故选 A.考点三 椭圆的几何性质【典例 3】【2019 年高考北京卷】已知椭圆2222 1xyab（ab0）的离心率为12，则 Aa2=2b2 B3a2=4b2 Ca=2b D3a=4b 【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2cecaba，化简得2234ab，故选 B.【举一反三】(2018全国卷)已知 F1，F2是椭圆 C：x2a2y2b

11、21(ab0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为3 6的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为()A.23 B.12 C.13 D.14【答案】D 【解析】由题意，得 A(a,0)，PF2F1F22c.示意图如图，过点 P 作 PEx 轴于点 E.由PF2F1120，得PF2E60，所以 F2Ec，PE 3c，所以 P(2c，3c)因为 kPA36，所以 PA 所在直线方程可设为y36(xa)所以 3c36(2ca)，可得ca14，即椭圆 C 的离心率为14.故选 D.【方法技巧】(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到

12、椭圆标准方程中 x，y 的范围、离心率的范围等不等关系(2)求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系(3)求椭圆离心率的方法：直接求出 a，c，从而求解 e；构造 a，c 的齐次式，解出 e，由 a，c 的二元齐次方程，转化为关于 e 的一元二次方程求解；通过特殊值或特殊位置，求出离心率【变式 3】(1)(2018全国卷)已知 F1，F2是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点 若 PF1PF2，且PF2F160，则 C 的离心率为()A132 B2 3 C.312 D.31(2)(2017全国卷)设 A，B

13、 是椭圆 C：x23y2m1 长轴的两个端点 若 C 上存在点 M 满足AMB120，则 m 的取值范围是()A(0,19，)B(0，39，)C(0,14，)D(0，34，)【答案】(1)D(2)A 【解析】(1)在 RtPF1F2中，PF2F160，不妨设椭圆焦点在 x 轴上，且焦距|F1F2|2c，则|PF2|c，|PF1|3c，由椭圆的定义可知，2a(1 3)c，所以离心率 eca21 3 31.故选 D.(2)当 0m3 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120，则abtan 60 3，即3m 3，解得 0m1；当 m3 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点

14、M 满足AMB120，则abtan 60 3，即m3 3，解得 m9.故 m 的取值范围为(0,19，)故选 A.考点四 直线与椭圆的综合问题【典例 4】【2019 年高考浙江卷】已知椭圆22195xy的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_ 【答案】15【解析】方法 1：如图，设 F1为椭圆右焦点.由题意可知|=|2OFOM|=c=，由中位线定理可得12|4PFOM，设(,)P x y，可得22(2)16xy，与方程22195xy联立，可解得321,22xx（舍），又点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,22P，所以

15、1521512PFk.方法 2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12|4PFOM，即342ppaexx，从而可求得315,22P，所以1521512PFk.【举一反三】（浙江杭州高级中学 2019 届模拟）已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为 B(0,4)，离心率 e55，直线 l 交椭圆于 M，N 两点 (1)若直线 l 的方程为 yx4，求弦|MN|的长；(2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式【解析】(1)由已知得 b4，且ca55，即c2a215，所以a2b2a215，解得 a220，所以椭圆方程为x2

16、20y2161.将 4x25y280 与 yx4 联立，消去 y 得 9x240 x0，所以 x10，x2409，所以|MN|112|x2x1|40 29.(2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0)，设线段 MN 的中点为 Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知 BF2FQ，又 B(0,4)，所以(2，4)2(x02，y0)，故得 x03，y02，即 Q 的坐标为(3，2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x26，y1y24，且x2120y21161，x2220y22161，以上两式相减得x1x2x1x220y1y2y1y2160，所以 kMNy1y2x1x245x1x2y1y24

17、56465，故直线 MN 的方程为 y265(x3)，即 6x5y280.【方法技巧】直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)求直线方程：可依题设条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程(2)求面积：先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值(3)弦长问题：利用根与系数的关系、弦长公式求解(4)中点弦或弦的中点问题：一般利用点差法求解，注意判断直线与椭圆是否相交 【变式 4】（江苏如东高中 2019 届模拟）已知点 M(6，2)在椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C

18、 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(3,2)，求PAB 的面积【解析】(1)由已知得 6a22b21，ca63，a2b2c2，解得 a212，b24.故椭圆 C 的方程为x212y241.(2)设直线 l 的方程为 yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 D(x0，y0)由 yxm，x212y241消去 y，整理得 4x26mx3m2120，则 x0 x1x2234m，y0 x0m14m，即 D34m，14m.因为 AB 是等腰三角形 PAB 的底边，所以 PDAB，即 PD 的斜率 k2m433m41，解得 m2.此时 x1x23，x1x20，则|AB|2|x1x2|2x1x224x1x23 2，又点 P 到直线 l：xy20 的距离为 d32，所以PAB 的面积 S12|AB|d92.