第一讲-数列极限(数学分析)13000.pdf

《第一讲-数列极限(数学分析)13000.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一讲-数列极限(数学分析)13000.pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第一讲 数列极限 一、上、下确界 1、定义：1）设SR，若:,MRxS xM，则称 M 是数集 S 的一个上界，这时称 S 上有界；若:,LRxS xL ，则称 L 是数集 S 的一个下界，这时称 S 下有界；当S 既有上界又有下界时就称 S 为有界数集。2）设SR，若:,MRxS xM，且0,:xS xM ，则称 M 是数集 S的上确界，记supMS；若:,LRxS xL ，且0,:xS xL ，则称 L是数集S 的下确界，记infLS。2、性质：1）（确界原理）设SR，S ，若 S 有上界，则 S 有上确界；若 S 有下界，则S 有下确界。2）当 S 无上界时，记supS ；当 S 无下界

2、时，记inf S 。3）sup()maxsup,sup;inf()mininf,infABABABAB。4）supinf();infsup()SSSS 。5）sup()supsup;inf()infinfABABABAB。6）sup()supinfABAB。（武大 93）7）设(),()f x g x是 D 上的有界函数，则 inf()inf()inf()()sup()inf()sup()()sup()sup()x Dx Df Dg Df xg xf Dg Df xg xf Dg D 3、应用研究 1）设nx为一个正无穷大数列，E 为nx的一切项组成的数集，试证必存在自然数 p，使得infpx

3、E。（武大 94）二、数列极限 1、定义：1）lim0,():,|nnnaaNNnN aa ，称na为收敛数列；2）lim0,:,nnnaMN nN aM ，称na为数列；3）lim0,:,nnnaMN nN aM ，称na为数列；4）lim0,:,|nnnaMN nN aM ，称na为数列；5）lim0nna，称na为无穷小数列；2、性质 1）唯一性：若lim,limnnnnaaabab。2）有界性：若na为收敛数列，则na为有界数列。3）保号性：lim0,0.nnnaaN nN a 4）保不等式性：若0lim,lim,().nnnnnnaabb ab nNab 5）迫敛性：若0(),lim

4、limlim.nnnnnnnnnacb nNabccc 6）四则运算：若lim,lim,nnnnaabb则 lim();lim();lim(0)nnnnnnnnnbbabababa baaa。7）Stolz 定 理：设ny为 严 格 增 的数 列，若11limnnnnnxxyy存 在，则11limlimnnnnnnnnxxxyyy。证明：（1）1212,0,1,2,nnknaaaSbknbbb，则1212minmaxnnnnaaaSSbbb。（用归纳法证明）,0,0()(),()()acaaccbda bdb acac dbd cbdbbdd，11111111111minminnnnnnnnn

5、nnnnaaaaaaaSSbbbbbbb；11111111111maxmaxnnnnnnnnnnnnaaaaaaaSSbbbbbbb。（2）设1111lim0,:|2nnnnnnnnnxxxxrk nkryyyy，由（1）得|2nknkxxryy，又(1)()nkkknknnnnkxxryyxxrryyyyy，所以|nkknknnnkxxryxxrryyyy，又因为lim0,:|2kkkknnnxryxryNk nNyy，从而|()nnxrnNy 3、极限存在条件：1）（Cauchy 收敛准则）na收敛的充要条件是0,:,|nmN n mNaa；2）（单调有界收敛原理）若na单调增上有界，则n

6、a收敛，且limsupnnnnaa；若na单调减下有界，则na收敛，且liminfnnnnaa；3）（致密性定理）有界数列必有收敛子列。4）na收敛的充要条件是.lim sup()0mknm k naa 4、子列：12,knnna称为na的子列：1）na收敛的充要条件是na的任何子列都收敛；2）limnna存在221lim,limnnnnaa都存在，且221limlimnnnnaa；3）lim0,nnaA 满足naA至多有限项，满足naA有无穷多项，称 A为na的上极限；lim0,nnaB 满足naB至多有限项，满足naA有无穷多项，称 B 为na的下极限；limnna存在limlimnnnn

7、aa。（1）limlimsup;limlimsupnknknnnnk nk naxax；（2）0()limlim,limlimnnnnnnnnnnab nnabab；（3）limlim()nnnnaa；（4）limlimlim()limlimlim()limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnababababab 三、应用研究 1、设111ln21nann，证明limnna存在。证：令1111111ln,ln(1),2121nnnnnnnndxdxdxbnnnxnn 11,nnnnaa bb，从而limnna、211 3,0),1,2,222nnxcccxxn，证明limnnx存在并求其

8、值。证明：显然2ncx，10 x。若0nx，则2221|,|,024222nnnnxcccccxxcx，222221212222222121212122211(),(),22kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxx，从而212lim,limkkkkxaxb，由22221212,1,2,2222nnnnxxccxxn得22,2222cbcaab，从而221(),()(2)02abbaab ab，若20ab，由222cab，得2240aac，则3c ，总之有1ab，即lim1.nnx 3、10(2),01nnnyyyy，求证：lim1nny。（武大 00）证 明：()(2)1(01)f x

9、xxx，0100(2)1yyyy，若01nyy，则101nnyyy，从 而lim()nnya存 在，在1(2)nnnyyy取 极 限，得0(2),01aaaya，所以1a。4、设123443,3,3,4333aaa，如果数列na收敛，计算其极限，并证明数列na 收敛于上述极限。（武大 99）证明：由113nnaa，2121222222212111114(),4()nnnnnnnnaaaaaaaa，可归纳证得：212122235,nnnnnaaaaa从而221lim,limnnnnaa都存在，令221lim,limnnnnaaab，由2122221113,3nnnnaaaa，取极限得113,3,

10、3,5,ababa bababbaab，所以数列na 收敛，且lim4nna 5、设数列na有一子列kna收敛，且2knnaa及21knnaa都有无穷个元，而2na及21na都为单调数列，问na上否收敛为什么（武大 98）证明：1）单调数列若有收敛子列，则本身收敛：2）由 1）知2na及21na都收敛，又因为221limlimlimknnnnknaaa，故na收敛。6、设0na，且na ，证明数列na中存在一子序列kna是收敛的子序列。（武大 97）7、设()naa n，令max,0,max,0nnaaaa，证明()naan。（武大96）8、设na无上界，证明存在子序列kna，使得()knak

11、 。（武大 95）9、设110,2,2,1,2,nnaxa xxn证明极限limnnx存在并求极限.（北大 02）证明：易知22nxa，当1xa时，nx单调增；当1xa时，nx单调减，从而 极 限limnnx存 在，令limnnxx，在12nnxx两 边 取 极 限 得2221xxxx，再由22nxa得lim2nnx。10、求极限22lim1nnnaa.（北大 01）解：当21a 时，2220()01nnnaaa，22lim01nnnaa；当21a 时，221lim12nnnaa；当21a 时，2221limlim1111nnnnnaaa。11、设()f x在点a右导，()0f a，求极限1(

12、)lim()nnf anf a.（北大 01）解：12、lim 1,(0)nnnaa.（北大 98）13、证明：（1）11(1)nn为递减数列：（用1(1),0nnbanbna ba）（2）111ln(1),1,21nnnn（华东师大00）14、设R中数列na，nb满足,2,1,1nqabannn其中10 q,证明：（1）若nb有界，则na有界；（2）若nb收敛，则na收敛。（清华 01）证明：（1）设1|,|nbMaM，由于1211110()()nknnnnnnnn kkabqabqbq aq bqa，从而1101|1nknnkaq Mq MMq。（2）设limnnbb，11100|()()

13、()|1nknknn kkkbaqbqaqbq 1101|()()()()|()|nknkn kkk nqbbqabq b 1101|()()|()()()()|1nmnkknn kn kkk mqqbbqbbqabbq|()()|2|11mnnn kkk n mqqqbbMbqq 15、（1）用语言证明：11lim1xx。（2）设函数f在点a可导，且0)(af。求：nnafnaf)()1(lim。（3）求极限 ppppnnn121lim，其中0p。（清华 00）16、求极限)1(lim1nnenn（清华 99）17、设limnnaa，证明 1222lim2nnaanaan。（上海交大 04）证明 由 Stolz 公式1212222(1)limlim(1)2nnnnaananaannn。18、设,3)1(31nnnxxx(01x为已知)求limnnx.（南京大学 00）19、求22limsin()nnn。（浙大 01）20、试证：单调数列nx收敛到a的充要条件是存在子列knx收敛到a。（武汉所00）