关于等腰三角形的一点探究37330.pdf

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1、关于等腰三角形的一点探究 初中数学里,与等腰三角形相关的命题不少。其中之一“等腰三角形两底角的角平分线相等”,学生可以利用全等三角形的相关知识轻松证明。好学的学生想探索它的逆命题是否正确时却感到很难。因此,探讨出几种证明方法仅供参考。逆命题:两条角平分线相等的三角形是等腰三角形。证法一 已知:BM、CN 分别是ABC 的角平分线,且 BM=CN 求证:AB=AC。证明:作BMD(即)=BCN(即BCA)MBD=CNB 交点为 D,如图。连结 CD。在BCN、MDB 中 由BMD=BCN、MBD=CNB、BM=CN BCNMDB BC=MD.下面证明CMD=DBC 在BMC 中,BMC=180-

2、2 则CMD=+BMC=180-在BNC 中,CNB=180-2-则DBC=MBD+=CNB+=180-所以,CMD=DBC=180-+。又因为 2+2 AC ABAC ACBABC(大边对大角)又 2=ABC、ACN=ACB 26 得1+52+6 即DCBDBC DBDC(大角对大边)。在 BD 上截取 BE=CD,作 EFCD 交 BM于 F 点,可得3=4。在BEF、CND 中,1=2、CD=BE、4=3 BEFCND(角边角)CN=BF BMBF BMCN。这与已知BM=CN矛盾,所以ABAC不成立。(二)AB 假设 ABAC 不成立,故 AB=AC。证法三 四种命题的关系已从初中数学

3、教材中删去多年了,只留下了原命题与逆命题的关系。因此,证法三应用了原命题的逆命题与否命题是等价命题这一原理,证明否命题的真伪来肯定逆命题的真伪。所以,对于初中生来说只能作为了解。否命题:在一个三角形中,若两条边不等,则这两条边所对的角的角平分线不等。已知:BM、CN 分别是ABC 的角平分线,且 AB AC。求证:BM CN 证明:(一)设 AB AC(分两种情况)1当ABCA 时。ABAC ACBABC(大边对大角)在 AB 上截取 AD=AC,连结 DC,得等腰ADC。作两底角的角平分线 DE、CF 如图,则 DE=CF。(等腰三角形两底角的角平分线相等)在ACF 中,2=A+ACD 在B

4、NC 中,1=ABC+ACB ABCA、ACBACD 12 CFCN 又 CF=DE DECN 作DGAC交BM于G,作GHDE交AC于H如图。GHDE 3=4(两直线平行,同位角相等)在CDE 中,3=ACD+ADC 在ABM 中,5=A+ABC AD=AC ADC=ACD(等边对等角)又ADCABCAACDA 35 即45 GMGH(大角对大边)由 DGAC、GHDE 得 GH=DE。又 BMGM BMCN(BMGMGH=DECN)2当ABCA 时。由 ABACACBABC,在ABC 内作BCD=ABC,CD交 AB 于 D、交 BM 于 F,得DBC 是等腰三角形。作BCD 的平分线 C

5、E,交 AB 于 E 点。由等腰DBC 可得两底角的平分线相等即 BF=CE。在ANC 中,2=A+ACB 在BEC 中,1=ABC+BCD AABC、ACBBCD 21 CECN(大角对大边)又 BMBF=CE BMCN (二)设 AB BM CN 所以原命题的否命题是真命题。因此,原命题的逆命题是真命题。证法四 利用三角形的角平分线计算公式能轻易证得,只是初中学生未学过。公式的导出在高中课本中,这里只利用公式证出结论。已知:BM、CF 分别是ABC 的角平分线,且 BM=CN。求证:AB=AC 证明:设ABC 的三边分别为 a、b、c,s=(a+b+c)由三角形角平分线的计算公式得 BM=、CN=由 BM=CN 得=,化简得 b-c=0 故 b=c 因此 AB=AC。以上四种方法的证明过程可能会有漏洞或瑕疵,这是由于水平所致,敬请批评指导。_ 收稿日期:2010-03-25