专题13.3绝对值不等式(讲)(解析版)43984.pdf

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1、 专题 13.3 绝对值不等式 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ab|ac|cb|(a，b，cR)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.知识点一 绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立；定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立.知识点二 绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式 a0 a0 a0|x|a x|axa x|

2、xa 或 x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc 或 axbc.3.|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.【知识必备】1.在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.2.绝对值三角不等式|ab|a|b|，从左到右是一个放大过程，从右到

3、左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.考点一 绝对值不等式的解法 【典例 1】(2018全国卷)已知 f(x)|x1|ax1|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 x(0，1)时不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围.【解析】(1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|，即 f(x)2，x1，2x，1x1 恒成立，所以 x1；当1x1，所以12x1；当 x1 时，f(x)21 的解集为x|x12.(2)当 x(0，1)时|x1|ax1|x

4、成立等价于当 x(0，1)时|ax1|0，|ax1|1 的解集为x0 x2a，所以2a1，故 0a2.综上，a 的取值范围为(0，2.【举一反三】（广东省江门一中 2019 届模拟）已知函数 f(x)|x4|x1|3.(1)求不等式 f(x)2 的解集；(2)若直线 ykx2 与函数 f(x)的图象有公共点，求 k 的取值范围.【解析】(1)由 f(x)2，得x1，22x2或 1x4，02或x4，2x82，解得 0 x5，故不等式 f(x)2 的解集为0，5.(2)f(x)|x4|x1|322x，x1，0，1x4，2x8，x4，作出函数 f(x)的图象，如图所示，直线 ykx2 过定点 C(0

5、，2)，当此直线经过点 B(4，0)时，k12；当此直线与直线 AD 平行时，k2.故由图可知，k(，2)12，.【方法技巧】解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解【变式 1】(2018全国卷)设函数 f(x)5|xa|x2|.当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；若 f(x)1，求 a 的取值范围.【解析】当 a1 时，f(x)2x4，x1，2，12.可得 f(x)0 的解集为x|2x3.f(x)1 等价于

6、|xa|x2|4.又|xa|x2|a2|，且当 x2 或 xa 时等号成立.故 f(x)1 等价于|a2|4.由|a2|4 可得 a6 或 a2.所以 a 的取值范围是(，62，).考点二 绝对值不等式性质的应用【典例 2】（湖北省鄂州一中 2019 届模拟）(1)若对于实数 x，y 有|1x|2，|y1|1，求|2x3y1|的最大值.(2)若 a2，xR，证明：|x1a|xa|3.【解析】(1)由|2x3y1|2(x1)3(y1)|2|x1|3|y1|7，得|2x3y1|的最大值为 7.(2)证明 因为|x1a|xa|(x1a)(xa)|2a1|，又 a2，故|2a1|3，即|x1a|xa|

7、3 成立.【方法技巧】绝对值不等式性质的应用 利用不等式|ab|a|b|(a，bR)和|ab|ac|cb|(a，b，cR)，通过确定适当的 a，b，利用整体思想使函数、不等式中不含变量，可以求最值，也可以证明不等式【变式 2】（河北衡水中学 2019 届调研）对于任意实数 a，b，已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，求实数 m 的取值范围.【解析】因为|ab|1，|2a1|1，所以|3a3b|3，a1212，所以|4a3b2|(3a3b)a1252|3a3b|a12|52312526，则|4a3b2|的最大值为 6，所以 m|4a3b2|max6，m 的取值范围是6，).考点

8、三 绝对值不等式的综合应用【典例 3】(2018全国卷)设函数 f(x)|2x1|x1|.(1)画出 yf(x)的图象；(2)当 x0，)时，f(x)axb，求 ab 的最小值.【解析】(1)f(x)3x，x12，x2，12x1，3x，x1.yf(x)的图象如图所示.(2)由(1)知，yf(x)的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在直线斜率的最大值为 3，故当且仅当 a3 且 b2 时，f(x)axb 在0，)成立，因此 ab 的最小值为 5.【举一反三】(2017全国卷)已知函数 f(x)|x1|x2|.(1)求不等式 f(x)1 的解集；(2)若不等式 f(x)x2xm 的解集非

9、空，求 m 的取值范围.【解析】(1)f(x)|x1|x2|3，x1，2x1，1x2，3，x2.当 x1 时，f(x)31 无解；当1x2 时，2x11，解得 x1，则 1xa 有解f(x)maxa.(2)f(x)a 恒成立f(x)mina.(3)f(x)a 恰在(c，b)上成立c，b 是方程 f(x)a 的解【变式 3】（辽宁省营口一中 2019 届模拟）(1)已知函数 f(x)|xa|x3a|.若 f(x)的最小值为 2，求 a 的值；若对xR，a1，1，使得不等式 m2|m|f(x)9；设关于 x 的不等式 f(x)|x4|的解集为 A，BxR|2x1|3，如果 ABA，求实数 a 的取

10、值范围.【解析】(1)|xa|x3a|(xa)(x3a)|2a|，当且仅当 x 取介于 a 和 3a 之间的数时，等号成立，故 f(x)的最小值为 2|a|，所以 a1.由知 f(x)的最小值为 2|a|，故a1，1，使 m2|m|2|a|成立，即 m2|m|2，所以(|m|1)(|m|2)0.所以2m9，得 2x39，解得 x3；当5x9，得 79，此时不等式无解；当 x9，得2x39，解得 x9 的解集为xR|x3.因为 ABA，所以 BA.又 BxR|2x1|3xR|1x2，关于 x 的不等式 f(x)|x4|的解集为 A，所以当1x2 时，f(x)|x4|恒成立.由 f(x)|x4|得|xa|2.所以当1x2 时，|xa|2 恒成立，即2xa2x 恒成立.所以实数 a 的取值范围为1，0.