第一讲实数与实函数12805.pdf

《第一讲实数与实函数12805.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一讲实数与实函数12805.pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第一讲实数与实函数 1.1 实数与实函数的基本概念 一实数 实数包括有理数和无理数 有理数，就是能够表示成qp形式的数，其中 p 是整数，q 是不为零的整数如果用小数表示，有理数都可以表示成有限小数，或无限循环小数无理数，就是不能表示成qp形式的数，也就是无限不循环的小数如果将有限小数也表示成无限小数，例如：数 1 可表示为 1=；也可以表示为 l=（注：这是实无限的观点），为唯一性起见，数学上作了一个约定，就是不以零为循环节数 1 约定的表示为 l=，因此，实数就是一个可以用无限小数表示的数 二、实数的性质 1 实数集合 R 是一个阿基米德有序域 (1）在实数集合 R 上定义加法“+”和乘法

2、“”两种运算，对两种运算分别满足交换律、结合律，以及乘法关于加法的分配律；对加法，有“零元”和“负元”；对乘法有“单位元”和“逆元”;R 成为一个“域”.(2）在集合 R 上定义了一种序关系“，且满足传递性：即对 Rcba,，若 a b,b c,则 a c；三歧性：即对,Rba，关系 a b 三者必居其一,也只居其一 R 是一个全序集(3)R 中的元素满足阿基米德性：对 R 中的任意两个正数 a,b，必存在自然数 n，使得 na b.2 实数集合 R 是一个完备集 定义（距离空间）设 X 是一个集合，定义映射RXX:，满足(1）非负性：对;0,yxyxXyx (2）对称性：xyyx,；(3）三

3、角不等式：yzzxyx,;则称是点集 X 上的一个距离 如果 X 是一个线性空间，称,X是一个距离空间。在实数集 R 上定义距离yxyx,（可以验证满足定义中的三条），则,R是一个距离空间 定义 1.2 设 nx是距离空间,X中的点列，若对0,0N，当 m,n N 时，恒有mnxx,，则称 nx是 X 中的柯西列 定义 1.3 若距离空间 X 中的任意柯西列都在 X 中收敛，则称 X 是完备的距离空间 由柯西收敛准则很容易知道，作为距离空间的实数集 R 是完备的 有 6 个刻划实数集 R 完备性的且彼此等价的定理，它们分别是 (1）确界原理：设 S 是非空数集若 5 有上界则 S 必有上确界；

4、若 S 有下界，则 S 必有下确界(2）单调有界原理：单调有界点列（函数）必存在极限 (3）区间套定理：若nnba,是一个区间套，则存在唯一的实数，使得,2,1,nbann，即,2,1,nbann。(4）有限覆盖定理：设 H 是对闭区间巨，习的一个任意开覆盖，则从 H 中可选出有限个开区间来覆盖ba,(5）聚点定理：实轴上的任一有界无限点集 S 至少有一个聚点 推论（致密性定理）：有界点列必有收敛子列 (6）柯西收敛准则：数列 na收敛的充要条件是数列 na是柯西列 关于上述六个定理的等价性证明可参考文献1 三、关于实数点集的一些重要概念 1 有界点集 S 是一实数点集，若0M使对Sx恒有Mx

5、，则称 S 是有界点集 2 无界点集 S 是一实数点集若对0M，Sx使得Mx，则称 S 是无界点集 3 有界函数 f(x）是定义在点集 I 上的函数，若0M使对Ix 恒有 Mxf，则称f(x）在 I 上有界 4 无界函数 f(x）是定义在点集 I 上的函数，若对0M，Ix使得 Mxf 则称 f(x）在 I 上无界、例 1.1 证明函数 xxf1在 1,0上无界 证明：对0M，1,0110Mx 使得 MMxf1故 xxf1在（0,1）上无界。5 上确界 设 E 为一个实数点集，a 为一是实常数，若满足：对Ex，恒有x（即为 E 的上界）；对0，存在Ex 0，使得0 x。（即是 E 的最小的上界）

6、，则称为 E 的上确界，记作Esup 6 下确界 设 E 为一个实数点集，为一是实常数，若满足：对Ex，恒有x(即为 E 的下界）；对0，存在两Ex 0，使得0 x（即是 E 的最大的下界），则称为 E 的下确界，记作Einf 注：点集 E 的上确界或下确界可以属于 E，也可以不属于 E 命题（1)Esup，则EEmax (2）Einf，则EEmin.证明显然，请读者自证 例 1.2 设 A、B 皆为非空有界集，定义数集 ByAxyxzzBA,|证明：(1)sup(A+B)=supA+SupB;(2)inf(A+B）=InfA+infB.证明：(1）由已知，A、B 非空有界，可知 A+B 也是

7、非空有界集 根据确界原理，它们的上、下确界都存在 对BAz，由定义,存在Ax 及By使得 BAyxzsupsup 即实数 supA 十 supB 是数集 A+B 的上界；又对BAz，ByAx,，使得,2supAx，BAyxBysupsup2sup 记BAyxz则BAzsupsup：由定义可得 sup(A+B）=SupA+supB (2）证明与（1）类似，从略 例 1.3 设 f 在区间 I 上有界记 ,supxfMIx,infxfmIx 证明：mMxfxfIx sup 证明：对Ixx,，有 ,Mxfm,Mxfm 则 mMxfxf 又对0，Ixx21,使得 2,221mxfMxf 可得 mMxf

8、xf21 由式，式 可知 mMxfxfIxx sup 7.聚点 定义 1.4（点集的聚点）：设 E 是一个点集，是一个点，若在的任意邻域内都含有 E 的无穷多个点，则称为点集 E 的聚点 命题 设 E 是一个点集，是一个点，下列说法等价：(1）为点集 E 的聚点 (2）在的任意邻域内都含有 E 的异于的一个点 (3）在 E 中存在互异的点列 nx使得nnxlim 证明：(1）（2)显然(2)(3)取11，在1;）内，1Ex，取0,21min12x，在1;内，,.,2Ex 一 般 地，取0,1min1nnxn在n;内，,.,2,1,nExn 显 然 ExnE，且是互异的，同时显然有nnxlim

9、(3)(1)对0，0N，当 n N 时，,Uxn注意到,.,2,1,nExn，即为点集 E 的聚点 注：(1）从定义可知，有限点集必无聚点 (2）点集 E 的聚点可以属于 E，也可以不属于 E 例如，设 A 是开区间（0,1）中的所有有理点所构成的集合，则闭区间 1,0中的所有点都是 A 的聚点 定义 1.5（点列的聚点）：设 nx是一个点列，是一个点，若在的任意邻域内都含有 nx的无穷多项，则称为点列 nx的聚点 注意：点集的聚点与点列的聚点不同，例如 nx=n1作为点列，它有两个聚点：-1 和 1，但是如果把它们看做点集，则它是一个仅含有两个元素的集合1,1，无聚点 把点列的最大（小）聚点

10、，叫做点列的上（下）极限，分别记作nnxlim和nnxlim 8.覆盖 设aHa|是一个开区间集，其中是一个指标集，a是开区间设 I 是一个点集，如果对Ix，总存在Ha，使得ax，称 H 覆盖了I ，或称 H 是 I 的一个开覆盖如果 H 是有限集而覆盖了 I，则称 H 是 I 的一个有限开覆盖；如果 H 是一个无限集合而覆盖了 I，则称 H 是 I 的一个无限开覆盖 前面提到的有限覆盖定理，是一个十分重要的定理它可以推广到一般的距离空间上去，这里就不多说了 例 1.4 nx是单调数列，证明：若 nx存在聚点，则必是唯一的，且是 nx的确界 证明：不妨设 nx是单调递增数列假设 A,B 都是它

11、的一个聚点，且不等不妨设BA，由聚点的定义，取02BA，在;AU，含有 nx的无穷多项，假设,0Axxnn，则20BAAAxn，又根据 nx是单调递增的，当0nn 时2BAxn，即在 U;B内至多含有 nx的有限项，与 B 是聚点矛盾 再证 nxAsup：首先证明对Axnn,事实上，假设有某一项0nx A，插人0，使Axn00由 nx的单增性，当0nn 时，Axxnn000 此与 A 为聚点矛盾与唯一性的证明类似，可以证明 A 必是最小的上界，即 nxAsup.注：此题可有一个推论：若 nx是单调数列，且有聚点，则必收敛若 nx是单调增，则nnnxxsuplim；若 nx是单调减的，则nnnx

12、xinflim.四、实函数 (1）要理解函数的定义，一定要搞清楚映射的定义，而一元实函数实际上就是一个从实数集到实数集的映射，这里不去赘述确定一个函数的基本要素是定义域和对应法则，当然函数的值域也是函数的要素之一，但它是随定义域与对应法则而定的 (2）函数的运算包括：四则运算；复合运算；极限运算；微分运算；积分运算；取大（小）运算 xgxfxgxf,min,max等这里需要特别强调的是，要注意它们的定义域，使得上述运算有意义 (3）几种具有特性的函数：有界函数（上节已给出定义）；单调函数；奇、偶函数；周期函数这些函数的基本概念不再赘述 (4）初等函数与非初等函数 六类基本初等函数：常函数、幂函

13、数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数 初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数 非初等函数：不是初等函数的函数，称为非初等函数 一般的分段函数，都是非初等函数，例如符号函数0,10,00,1sgnxxxx 就是非初等函数，但是分段函数0,10,00,1xxxx可以看做初等函数，因为2xx 是两个幂函数的复合 下面几个非初等函数都很重要：狄利克雷（Dirichlet）函数 为无理数，为有理数xxxD0,1。黎曼（Riemann）函数 内的无理数，和，为既约真分数10100,1xqpNqpqpxqxR 取整函数x：不超过 x 的最大整数 勒让德（Le

14、gendre）多项式 nnnnndxxdCxX12 它们的一些性质，将在后面详细讨论 有些函数乍一看好像不是初等函数，例如了xx（x 0)，把它叫做幂指函数，利用对数恒等式，xxxexln是由一些基本初等函数复合而成的，所以它也是初等函数 1.2 实数与实函数的典型问题讨论 例 1.5 设函数 xf在ba,月有定义，且在每一点处的极限存在，证明了 xf在a,b上有界 证法 1：对bax,，因 xfxxlim存在，由局部有界性，0m及0，使得当;xUx时，恒有 mxf当 x 跑遍ba,，在每一点 x 处都具备上述性质令 H=baxxUx,|;，则 H 是ba,的一个开覆盖，据有限覆盖定理，必存在

15、有限的子覆盖即存在ba,上的有限个点，不妨设为kxxx,.,21这k个点就有昌baxUUiiki,;1注意到对每个iixU;都存在相应的0iM，使当iixUx;时，恒有 kiMxfi,.,2,1记KMMMM,.,max21，则对bax,恒有 Mxf，即函数 xf在ba,上有界 证法 2:（反证法）假设 xf在a,b上无界，则对0M，bax,，使 得Mxf让M=1,2,，N，则 相 应 地baxxxn,.,.,21，使得 nxfn因 baxn,为有界数列，据聚点定理，必有收敛子列，即存在子列 knx，使baxxknk,lim0 由已知，xf在0 x 点的极限存在，记 Axfxlim，由归结原则，

16、应有 Axfknxlim，但是由 nx的取法可知 knxfknk,，矛盾，即 xf在ba,上有界 例 1.6 试用有限覆盖定理证明聚点定理 证明：设 S 是一个有界无穷点集下面用有限覆盖定理证它必有 聚 点 因 S 有 界，必 有 一 个 闭 区 间Sba,对0，SbaxUbax,;,，由有限覆盖定理，必有有限的子覆盖，即存在有限个点baxxxk,.,21，使SbaxUUiki,;1 又因 S 是无穷点集，在这 k 个点中，至少有一个点一邻域内含有 S 的无穷多个点，若记该点为kxxxx,.,21，则x就是 S 的聚点 例 1.7 讨论狄利克雷函数的周期性 解：狄利克雷函数以任意有理数为周期的

17、周期函数，因为没有最小的正有理数，所以它没有基本周期事实上，任取一个有理 r，当 x 是有理数时，r+x 还是有理数；当 x 是无理数时，r+x是无理数，因此 xDxxrxD为无理数，为有理数，01 例 1.8 证明定义在对称区间ll,上的任何函数 xf都可以唯一地表示成一个偶函数与一个奇函数之和 证明：令 xfxfxGxfxfxH21,21 则 xGxHxf，且容易验证 xHxH,xH是偶函数；xGxG,xG是奇函数 下面证明唯一性假设还存在偶函数 xH1和奇函数 xG1，使得 xGxHxf11，则有 xGxGxHxH11 用x代x得xGxGxHxH11，即 xGxGxHxH11 将式、式

18、相加，得 xHxH1，再由式 可得，xGxG1，唯一性得证 例 1.9 设 xffxxxxf求,0,10,1.解：0,10,1xfxfxfxff，而1x 时，0 xf;1x时，0 xf）故有 1,11,2xxxxff 例 1.10 设 f 和 g 为区间（a,b）上的增函数，证明：xgxfx,max；xgxfx,min都是ba,上的增函数 证明：任取baxx,21且21xx，由于 f,g 在ba,上单调递增，所以有 2121,xgxgxfxf 即有 222111,max,maxxxgxfxgxfx 即 x在（a,b）上单调递增 x的单调性证法类似，从略 例 1.11 函数f在ba,月上无界，求

19、证存在一点bac,，使对任意的0，f在bacc,上无界 证法 l（反证法）：假设结论不成立，即对bac,，0，使f在bacc,上 有 界，即 存 在 常 数0cM，使 当baccx,时，有 cMxf。让 c 跑遍ba,，这样每一点的相应的邻域就构成ba,的一个开覆盖，由有限覆盖定理，存在有限个点：记为baxxxk,.,21，它们的kii,.,2,1邻域之并就覆盖了ba,因为在每一个baxii,;上都存在相应的0iM，使得baxxii,;时，kiMxfi,.,2,1，令kMMMM,.,max21，则对bax,，恒有 Mxf，即 xf在ba,上有界与已知矛盾 证法 2(直接证法)：由已知f在ba,

20、上无界，将ba,二等分，得两个子区间2,baa，2,baa 则f至少在其中一个子区间上无界，把它记为11,ba再将11,ba二等分，选其中一个使得f无界的那个子区间记为22,ba将上述步骤一直进行下去，就得到一闭区间列nnba,.,2,1n满足：(1）它是一个区间套，实因：nnba,11,nnba，,.,2,1nnababnnn02(2)f在每个nnba,上都是无界的 由区间套定理：,babacnn,.,2,1n，且对0，0N，当Nn 时，恒有ccbann,由（2）知f在其上无界 例 1.12 举出一个函数的例子，它在 1,0上每一点都有定义，且取有限值，但是函数在 1,0上每一点的任意邻域内

21、都是无界的 解：令，为无理数，或，为互质的正整数1,00,xxxqpqpxqxf则显然 f 为定义在 1,0且每一点都取有限值的函数下面证明它在 1,0上的每一点的任意邻域内都是无界的事实上，对 1,00 x，0，由有理数的稠密性，在邻域;0 x内总有有理点，不妨取;0000 xqpr，其中00,qp都是互质的正整数对1M，总有某一个自然数 k，使得有理数 ;100000 xqMkqMkprMkMkr（因为0limrrk）且注意到 r 的分子和分母是互质的，这时 MqMkqrf00，即 xf在;0 x内无界 例 1.13 若数集 A 有上界，但无最大数，证明在 A 中必能找到严格单调增加的数列

22、 nx使得Axnnsuplim 证明：根据确界原理，Asup存在，记Aasup。由己知Aa，由上确界的定义，对Ax 11,01，使得11axa，对0212，必存在Ax 2，使得12,21maxxaxa一般地，对,.2,101nnn存在Axn，使得1,1maxnnxnaxa，易知这样选取的数列 nx即满足要求 例 证明函数 33xexxf在,上有界 证明:因0lim33xxex所以1，存在0G，当Gx 时，恒有 1xf，又 xf在GG,上连续，从而有界，即存在0M，使当GGX,时，有 Mxf，取MK,1max，则对,x，恒有 Kxf，即 f 在,上有界 例 设函数 xf在ba,上单调递增（未必连

23、续），若 bbfaaf,则必存在0 xba,，使得 00 xxf 证 明：若 了 bbfaaf 或，则 问 题 已 经 得 证，不 妨 设 bbfaaf,作直线xyL:，则点 afa,在 L 的上方，而点 bfb,在 L 的下方取2bac考查 cfc,点，若在 L 上，则问题得证；否则若 cfc,在 L 的上方，就记 11,babc若 cfc,在 L 的下方，记 11,baca，使得点 11,afa与 11,bfb位于 L 的两侧这个过程一直进行下去，若有某一步得到 nnafa（即（nnafa）在 L 上），则 问 题 得 证，否 则 就 得 到 一 闭 区 间 套nnba,，满 足：11,n

24、nbannba,.2,1n nabnnn021 nnafa,在 L 的上方，而 nnbfb,在 L 的下方由闭区间套定理，存在唯一的nnba:，一 方 面，由f单 增 nnbffaf，且 由 于nnnnbalimlim，单调 函数 在每一 点的 单侧 极限存 在，从 而 nnnnbffffaflim00lim 另一方面，由 0;0fbbffaafnnnn，故必有 f了.习题 1.1 1.设Rba,，证明：(1)bababa21,max；(2)bababa21,min；2 设211xxxf，求 xf 3 设 f,g 为 D 上的有界函数，证明：(1）xgxfxgxfDxDxDxsupinfinf

25、,(2）xgxfxgxfDxDxDxsupinfinf(3）xfxfDxDxinfsup(4）xfxfDxDxsupinf 4 证明函数 xxfln在区间 1,0上无界 5 证明关于取整函数 xy 有如下不等式：(1）当0 x时，111xxx (2）当0 x时，xxx111 6 设函数f在,上是奇函数，af1，且对任何 x 均有 22fxfxf (1）试用 a 表示 f(2）与 f(5);(2)a 为何值时 f 是以 2 为周期的周期函数 7 试用确界原理证明：在闭区间ba,上连续函数的介值定理和取最大（小）值定理 8 试用有限覆盖定理或致密性定理证明：在闭区间ba,上连续函数的有界性定理和一致连续性定理 9 试用柯西收敛准则证明确界原理