高中排列组合知识点汇总及典型例题18376.pdf

《高中排列组合知识点汇总及典型例题18376.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中排列组合知识点汇总及典型例题18376.pdf（3页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一基本原理 1加法原理：做一件事有 n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2乘法原理：做一件事分 n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二 排 列：从n个 不 同 元 素 中，任 取m（m n）个 元 素，按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一.mnmnA有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.!121mnnmnnnnAmn 2.规定：0!1(1)!(1)!,(1)!(1)!nnnnnn (2)!(1)1!(1)!(1)!nnnnnnnnn；(3)1 11111

2、(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!nnnnnnnnn 三组合：从 n 个不同元素中任取 m（mn）个元素并组成一组，叫做从 n 个不同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn。1.公式：CAAn nnmmnm nmnmnmmm11!10nC规定：组合数性质：.2 nnnnnmnmnmnmnnmnCCCCCCCC21011，；11112111212211rrrrrrrrrrrrrrrrrrnnrrrnnrrnnnCCCCCCCCCCCCCCC注：若12mm1212m=mm+mnnnCC则或 四处理排列组合应用题 1.明确要完成的是一件什么事（审题）有序还是无序 分步还是分类。2解

3、排列、组合题的基本策略（1）两种思路：直接法；间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。（4）两种途径：元素分析法；位置分析法。3排列应用题：（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；(2

4、)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。（5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在总位置中选出定序

5、元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有 1 种排法；若不要求，则有 2 种排法；（6）“小团体”排列问题采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（8）数字问题（组成无重复数字的整数）能被 2 整除的数的特征：末位数是偶数；不能被 2 整除的数的特征：末位数是奇数。能被 3 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数；能被 9 整除的数

6、的特征：各位数字之和是 9 的倍数能被 4 整除的数的特征：末两位是 4 的倍数。能被 5 整除的数的特征：末位数是 0 或 5。能被 25 整除的数的特征：末两位数是 25，50，75。能被 6 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数的偶数。4组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:（2）“含”与“不含”用间接排除法或分类法:3分组问题：均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。4分配问题：定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步

7、取，得组合数相乘。随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。5隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题 例 1.电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间 4 个为不同的商业广告有 A44种，从而应当填 A22A4448.从而应填 48 例 3.6 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？解一：间接法：即655465547202 120245

8、04AAAA 解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.(1)甲排在最右端时,有55A种排法；(2)甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有14A种排法，乙有14A种排法，其他人有44A种排法，共有14A14A44A种排法，分类相加得共有55A+14A14A44A=504 种排法 例.有 4 个男生，3 个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？分析一：先在 7 个位置上任取 4 个位置排男生，有 A47种排法.剩余的 3 个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有 1 种排法，故共有 A471=840种.1.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中

9、任取 3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有 解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570CCC种,选.C 解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有2112545470C CC C台,选C.2从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛（1）如果 4 人中男生和女生各选 2 人，有 种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1 人在内，有 种选法；（4）如

10、果 4 人中必须既有男生又有女生，有 种选法 分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题.解：（1）先从男生中选 2 人，有25C种选法，再从女生中选 2 人，有24C种选法，所以共有2254C C=60（种）；（2）除去甲、乙之外，其余 2 人可以从剩下的 7 人中任意选择，所以共有2227C C=21（种）；（3）在 9 人选 4 人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：4497CC=91（种）；直接法，则可分为 3 类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数131322332171727777C CC CC C

11、CCC=91（种）.（4）在 9 人选 4 人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数444954CCC=120（种）.直接法：分别按照含男生1、2、3 人分类，得到符合条件的选法为132231545454C CC CC C=120（种）.16 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为()A40 B50 C60 D70 解析 先分组再排列，一组 2 人一组 4 人有 C2615 种不同的分法；两组各 3 人共有C36A2210 种不同的分法，所以乘车方法数为 25250，故选B.2有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法

12、有()A36 种 B48 种 C72 种 D96 种 解析 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A2472 种排法，故选 C.3只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A6 个 B9 个 C18 个 D36 个 解析 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C133(种)选法，即 1231,1232,1233，而每种选择有 A22C236(种)排法，所以共有 3618(种)情况，即这样的四位数有 18 个 4男女学生共有 8 人，

13、从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有()A2 人或 3 人 B3 人或 4 人 C3 人 D4 人 解析 设男生有n人，则女生有(8n)人，由题意可得 C2nC18n30，解得n5 或n6，代入验证，可知女生为 2 人或 3 人 5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8 步走完，则方法有()A45 种 B36 种 C28 种 D25 种 解析 因为 108 的余数为 2，故可以肯定一步一个台阶的有 6 步，一步两个台阶的有 2 步，那么共有 C2828 种走法 6某公司招聘来 8 名员工，平

14、均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A24 种 B36 种 C38 种 D108 种 解析 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有 2 种方法，第二步将 3 名电脑编程人员分成两组，一组1 人另一组 2 人，共有 C13种分法，然后再分到两部门去共有 C13A22种方法，第三步只需将其他 3 人分成两组，一组 1 人另一组 2 人即可，由于是每个部门各 4 人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有 C13种方法，由分步乘法计数原理共有 2C13A22C1

15、336(种)7已知集合A5，B1,2，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A33 B34 C35 D36 解析 所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1 的有 C12A3312 个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1 个 1 的有 C12A33A3318 个；所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C133 个 故共有符合条件的点的个数为 1218333 个，故选 A.8由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是()A72 B96 C108 D144 解析 分两类：若

16、1 与 3 相邻，有 A22C13A22A2372(个)，若 1 与 3 不相邻有 A33A3336(个)故共有 7236108 个 9 如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A50 种 B60 种 C120 种 D210 种 解析 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有 6 种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为 C16，然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有 A25种，按照分步乘法计

17、数原理可知共有不同的安排方法 C16A25120 种，故选C.10安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有_种(用数字作答)解析 先安排甲、乙两人在后 5 天值班，有 A2520(种)排法，其余 5 人再进行排列，有 A55120(种)排法，所以共有 201202400(种)安排方法 11今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有_种不同的排法(用数字作答)解析 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49C25C331260

18、(种)排法 12 将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答)解析 先将 6 名志愿者分为 4 组，共有C26C24A22种分法，再将 4 组人员分到 4 个不同场馆去，共有 A44种分法，故所有分配方案有：C26C24A22A441 080 种 13要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有_种不同的种法(用数字作答)解析 5 有 4 种种法，1 有 3 种种法，4 有 2 种种法若 1、3 同色，2 有 2 种种法，若 1、3 不同色，2 有 1 种种法，有

19、 432(1211)72 种 14.将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选 B.15.某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有 A.504 种 B.960 种 C.1008 种 D.1108 种 解析：分两类：甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有4414222AAA种方法 甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号，共有)(43313134422AAAAA种方法 故共有 1008 种不同的排法