轴对称图形习题及详细解答12757.pdf

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1、 1 2016 年 08 月 25 日的初中数学组卷 一选择题（共 10 小题）1（2016湖州）如图，ABCD，BP 和 CP 分别平分ABC 和DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直 若AD=8，则点 P 到 BC 的距离是（）A8 B6 C4 D2 2（2016淮安）如图，在 RtABC 中，C=90，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD=4，AB=15，则ABD 的面积是（）A15 B30 C45 D60 3（2016莆田）如图，OP

2、是AOB 的平分线，点 C，D 分别在角的两边 OA，OB 上，添加下列条件，不能判定POCPOD 的选项是（）APCOA，PDOB BOC=OD COPC=OPD DPC=PD 4（2016怀化）如图，OP 为AOB 的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是 C、D，则下列结论错误的是（）APC=PD BCPD=DOP CCPO=DPO DOC=OD 5（2016德州）如图，在ABC 中，B=55，C=30，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则BAD的度数为（）1 A65 B60 C55 D45 6

3、（2016天门）如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于 E，D 两点，EC=4，ABC 的周长为 23，则ABD 的周长为（）A13 B15 C17 D19 7（2016恩施州）如图，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，ABC 的周长为 19cm，ABD的周长为 13cm，则 AE 的长为（）A3cm B6cm C12cm D16cm 8（2016毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A三条高的交点 B三条角平分线的交点 C三条中线的交点 D三条边的垂直平分线的交点 9（2016黄石）如图所示，线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D，A

4、=50，则BDC=（）A50 B100 C120 D130 10（2016荆州）如图，在 RtABC 中，C=90，CAB 的平分线交 BC 于 D，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 E若 BC=3，则 DE 的长为（）A1 B2 C3 D4 1 二填空题（共 10 小题）11（2016常德）如图，OP 为AOB 的平分线，PCOB 于点 C，且 PC=3，点 P 到 OA 的距离为 12（2016西宁）如图，OP 平分AOB，AOP=15，PCOA，PDOA 于点 D，PC=4，则PD=13（2016长沙）如图，ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D

5、，交边 AC于点 E，则BCE 的周长为 14（2016遵义）如图，在ABC 中，AB=BC，ABC=110，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点D，连接 BD，则ABD=度 15（2016牡丹江）如图，在ABC 中，AB=AC=6，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，连接 AD，若 AD=4，则 DC=16（2016昆明）如图，ABCE，BF 交 CE 于点 D，DE=DF，F=20，则B 的度数为 1 17（2016绵阳）如图，ACBD，AB 与 CD 相交于点 O，若 AO=AC，A=48，D=18（2016淮安）已知一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 4，则

6、该等腰三角形的周长是 19（2016徐州）若等腰三角形的顶角为 120，腰长为 2cm，则它的底边长为 cm 20（2016泰州）如图，已知直线 l1l2，将等边三角形如图放置，若=40，则等于 三解答题（共 10 小题）21（2016咸宁）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证 已知：如图，AOC=BOC，点 P 在 OC 上，求证：请你补全已知和求证，并写出证明过程 22（2016天门）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是角平分线，点 E 在 AD 上，请

7、写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明 1 23（2016常州）如图，已知ABC 中，AB=AC，BD、CE 是高，BD 与 CE 相交于点 O（1）求证：OB=OC；（2）若ABC=50，求BOC 的度数 24（2016宁夏）在等边ABC 中，点 D，E 分别在边 BC、AC 上，若 CD=2，过点 D 作 DEAB，过点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F，求 EF 的长 25（2016怀柔区二模）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是ABC 点的中线，E 是 AC 的中点，连接 AC，DFAB 于 F求证：BDF=ADE 26（2016西城区一模）如图，在ABC 中

8、，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，AEBE 于点 E，且 BE=求证：AB 平分EAD 27（2016门头沟区一模）如图，ABC 是等边三角形，BD 平分ABC，延长 BC 到 E，使得CE=CD 求证：BD=DE 1 28（2016吉林校级二模）如图，等边三角形 ABC 的边长是 2，D、E 分别为 AB、AC 的中点，点 F 在 BC 延长线上，且 CF=，求四边形 DEFB 的面积 29（2016 春宁城县期末）如图，ABC 中，B=90，两直角边 AB=7，BC=24，三角形内有一点 P 到各边的距离相等，PEAB、PFBC、PDAC，垂足分别为 E、F、D，求 PD 的长 3

9、0（2016 春金堂县期末）如图，已知：ABCD，BAE=DCF，AC，EF 相交于点 M，有 AM=CM （1）求证：AECF；（2）若 AM 平分FAE，求证：FE 垂直平分 AC 1 2016 年 08 月 25 日的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一选择题（共 10 小题）1（2016湖州）如图，ABCD，BP 和 CP 分别平分ABC 和DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直 若AD=8，则点 P 到 BC 的距离是（）A8 B6 C4 D2【分析】过点 P 作 PEBC 于 E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PA=PE，PD=PE，那么 PE=PA=PD，又 AD

10、=8，进而求出 PE=4【解答】解：过点 P 作 PEBC 于 E，ABCD，PAAB，PDCD，BP 和 CP 分别平分ABC 和DCB，PA=PE，PD=PE，PE=PA=PD，PA+PD=AD=8，PA=PD=4，PE=4 故选 C 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键 2（2016淮安）如图，在 RtABC 中，C=90，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD=4，AB=15，则ABD

11、的面积是（）A15 B30 C45 D60 1【分析】判断出 AP 是BAC 的平分线，过点 D 作 DEAB 于 E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解【解答】解：由题意得 AP 是BAC 的平分线，过点 D 作 DEAB 于 E，又C=90，DE=CD，ABD 的面积=ABDE=154=30 故选 B 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键 3（2016莆田）如图，OP 是AOB 的平分线，点 C，D 分别在角的两边 OA，OB 上，添加下列条件，不能判定POCPOD 的选

12、项是（）APCOA，PDOB BOC=OD COPC=OPD DPC=PD【分析】要得到POCPOD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论于是答案可得【解答】解：APCOA，PDOB 得出PCO=PDO=90，根据 AAS 判定定理成立，BOC=OD，根据 SAS 判定定理成立，COPC=OPD，根据 ASA 判定定理成立，DPC=PD，根据 SSA 无判定定理不成立，故选 D【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键 4（2016怀化）如图，OP 为AOB 的角平分线，PCOA，PDOB，垂

13、足分别是 C、D，则下列结论错误的是（）APC=PD BCPD=DOP CCPO=DPO DOC=OD 1【分析】先根据角平分线的性质得出 PC=PD，再利用 HL 证明OCPODP，根据全等三角形的性质得出CPO=DPO，OC=OD【解答】解：OP 为AOB 的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是 C、D，PC=PD，故 A 正确；在 RtOCP 与 RtODP 中，OCPODP，CPO=DPO，OC=OD，故 C、D 正确 不能得出CPD=DOP，故 B 错误 故选 B【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等也考查了全等三角形的判定与性质，得出 PC=PD

14、 是解题的关键 5（2016德州）如图，在ABC 中，B=55，C=30，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则BAD的度数为（）A65 B60 C55 D45【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 AD=DC，根据等腰三角形的性质得到C=DAC，求得DAC=30，根据三角形的内角和得到BAC=95，即可得到结论【解答】解：由题意可得：MN 是 AC 的垂直平分线，则 AD=DC，故C=DAC，C=30，DAC=30，B=55，BAC=95，BAD=BACCAD=65，故选 A【点评】此题主要考查了线段垂直

15、平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键 6（2016天门）如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于 E，D 两点，EC=4，ABC 的周长为 23，则ABD 的周长为（）1 A13 B15 C17 D19【分析】根据线段垂直平分线性质得出 AD=DC，AE=CE=4，求出 AC=8，AB+BC=15，求出ABD的周长为 AB+BC，代入求出即可【解答】解：AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于 E，D 两点，AD=DC，AE=CE=4，即 AC=8，ABC 的周长为 23，AB+BC+AC=23，AB+BC=238=15，ABD 的周长为 A

16、B+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故选 B【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 7（2016恩施州）如图，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，ABC 的周长为 19cm，ABD的周长为 13cm，则 AE 的长为（）A3cm B6cm C12cm D16cm【分析】根据线段垂直平分线性质得出 AD=DC，AE=CE=AC，求出 AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BC=13cm，即可求出 AC，即可得出答案【解答】解：DE 是 AC 的垂直平分线

17、，AD=DC，AE=CE=AC，ABC 的周长为 19cm，ABD 的周长为 13cm，AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，AC=6cm，AC=3cm，故选 A【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 8（2016毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A三条高的交点 B三条角平分线的交点 C三条中线的交点 D三条边的垂直平分线的交点【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可 1【解答】解：到三角形

18、三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：D【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 9（2016黄石）如图所示，线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D，A=50，则BDC=（）A50 B100 C120 D130【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DA=DC，根据等腰三角形的性质得到DCA=A，根据三角形的外角的性质计算即可【解答】解：DE 是线段 AC 的垂直平分线，DA=DC，DCA=A=50，BDC=DCA+A=100，故选：B【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角

19、的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 10（2016荆州）如图，在 RtABC 中，C=90，CAB 的平分线交 BC 于 D，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 E若 BC=3，则 DE 的长为（）A1 B2 C3 D4【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得B=CAD=DAB=30，【解答】解：DE 垂直平分 AB，DA=DB，B=DAB，AD 平分CAB，CAD=DAB，C=90，3CAD=90，CAD=30，AD 平分CAB，DEAB，CDAC，1 CD=DE=BD，BC=3，CD=DE=1，故选 A 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质

20、，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键 二填空题（共 10 小题）11（2016常德）如图，OP 为AOB 的平分线，PCOB 于点 C，且 PC=3，点 P 到 OA 的距离为 3 【分析】过 P 作 PDOA 于 D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PD=PC，从而得解【解答】解：如图，过 P 作 PDOA 于 D，OP 为AOB 的平分线，PCOB，PD=PC，PC=3，PD=3 故答案为：3 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键 12（2016西宁）如图，OP 平分AOB，AOP=15，PCOA，PDOA 于

21、点 D，PC=4，则 PD=2 1 【分析】作 PEOA 于 E，根据角平分线的性质可得 PE=PD，根据平行线的性质可得ACP=AOB=30，由直角三角形中 30的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得 PE，即可求得 PD【解答】解：作 PEOA 于 E，AOP=BOP，PDOB，PEOA，PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），BOP=AOP=15，AOB=30，PCOB，ACP=AOB=30，在 RtPCE 中，PE=PC=4=2（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半），PD=PE=2，故答案是：2 【点评】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线

22、是关键 13（2016长沙）如图，ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交边 AC于点 E，则BCE 的周长为 13 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可【解答】解：DE 是 AB 的垂直平分线，EA=EB，则BCE 的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 1 14（2016遵义）如图，在ABC 中，AB=BC，ABC=110，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点

23、D，连接 BD，则ABD=35 度 【分析】由已知条件和等腰三角形的性质可得A=C=35，再由线段垂直平分线的性质可求出ABD=A，问题得解【解答】解：在ABC 中，AB=BC，ABC=110，A=C=35，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D，AD=BD，ABD=A=35，故答案为：35【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟记垂直平分线的性质是解题关键 15（2016牡丹江）如图，在ABC 中，AB=AC=6，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，连接 AD，若 AD=4，则 DC=5 【分析】过 A 作 AFBC 于 F，根据等腰三角

24、形的性质得到 BF=CF=BC，由 AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，得到 BD=AD=4，设 DF=x，根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】解：过 A 作 AFBC 于 F，AB=AC，BF=CF=BC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，BD=AD=4，设 DF=x，BF=4+x，AF2=AB2BF2=AD2DF2，即 16x2=36（4+x）2，x=1，CD=5，故答案为：5 1 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用 16（2016昆明）如图，ABCE，BF 交 CE 于点 D，DE=DF，F=20，则B 的度

25、数为 40 【分析】由等腰三角形的性质证得 E=F=20，由三角形的外角定理证得CDF=E+F=40，再由平行线的性质即可求得结论【解答】解：DE=DF，F=20，E=F=20，CDF=E+F=40，ABCE，B=CDF=40，故答案为：40【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，熟练掌握这些性质是解决问题的关键 17（2016绵阳）如图，ACBD，AB 与 CD 相交于点 O，若 AO=AC，A=48，D=66 【分析】先依据等腰三角形的性质得到ACO=AOC，然后依据三角形的内角和定理可求得C 的度数，然后依据平行线的性质可求得D 的度数【解答】解：OA=A

26、C，ACO=AOC=（180A）=（18048）=66 ACBD，D=C=66 故答案为：66 1【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质的应用，求得C 的度数是解题的关键 18（2016淮安）已知一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 4，则该等腰三角形的周长是 10 【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是 4，底边长 2，把三条边的长度加起来就是它的周长【解答】解：因为 2+24，所以等腰三角形的腰的长度是 4，底边长 2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是 10，故答案为：10【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再

27、根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可 19（2016徐州）若等腰三角形的顶角为 120，腰长为 2cm，则它的底边长为 2 cm 【分析】作 ADBC 于点 D，可得 BC=2BD，RTABD 中，根据 BD=ABcosB 求得 BD，即可得答案【解答】解：如图，作 ADBC 于点 D，BAC=120，AB=AC，B=30，又ADBC，BC=2BD，AB=2cm，在 RTABD 中，BD=ABcosB=2=（cm），BC=2cm，故答案为：2【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等，等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的顶角平分线、

28、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题关键 20（2016泰州）如图，已知直线 l1l2，将等边三角形如图放置，若=40，则等于 20 1【分析】过点 A 作 ADl1，如图，根据平行线的性质可得BAD=根据平行线的传递性可得 ADl2，从而得到DAC=40再根据等边ABC 可得到BAC=60，就可求出DAC，从而解决问题【解答】解：过点 A 作 ADl1，如图，则BAD=l1l2，ADl2，DAC=40 ABC 是等边三角形，BAC=60，=BAD=BACDAC=6040=20 故答案为 20 【点评】本题主要考查了平行线的性质、平行线的传递性、等边三角形的性质等知识，当然也可延长 BA 与

29、 l2交于点 E，运用平行线的性质及三角形外角的性质解决问题 三解答题（共 10 小题）21（2016咸宁）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证 已知：如图，AOC=BOC，点 P 在 OC 上，PDOA，PEOB 求证：PD=PE 请你补全已知和求证，并写出证明过程 【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出PDOPEO，由全等三角形的性质可得结论【解答】解：已知：PDOA，PEOB，垂足分别为 D、E；求证：PD=PE 故答案为：PD=PE

30、 PDOA，PEOB，PDO=PEO=90，在PDO 和PEO 中，PDOPEO（AAS），1 PD=PE【点评】本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的性质及判定，利用图形写出已知条件和求证是解答此题的关键 22（2016天门）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是角平分线，点 E 在 AD 上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明 【分析】由 AB=AC，AD 是角平分线，即可利用（SAS）证出ABDACD，同理可得出ABEACE，EBDECD【解答】解：ABEACE，EBDECD，ABDACD 以ABEACE 为例，证明如下：AD 平分BAC，BAE=CAE 在ABE

31、和ACE 中，ABEACE（SAS）【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等的边角关系利用全等三角形的判定定理证出是两三角形全等是关键 23（2016常州）如图，已知ABC 中，AB=AC，BD、CE 是高，BD 与 CE 相交于点 O（1）求证：OB=OC；（2）若ABC=50，求BOC 的度数 【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到ABC=ACB，然后利用高线的定义得到ECB=DBC，从而得证；（2）首先求出A 的度数，进而求出BOC 的度数【解答】（1）证明：AB=AC，ABC

32、=ACB，BD、CE 是ABC 的两条高线，DBC=ECB，OB=OC；（2）ABC=50，AB=AC，A=180250=80，1 BOC=18080=100【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边 24（2016宁夏）在等边ABC 中，点 D，E 分别在边 BC、AC 上，若 CD=2，过点 D 作 DEAB，过点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F，求 EF 的长 【分析】先证明DEC 是等边三角形，再在 RTDEC 中求出 EF 即可解决问题【解答】解：ABC 是等边三角形，B=ACB=60，DEAB，EDC=B=60，EDC 是等

33、边三角形，DE=DC=2，在 RTDEC 中，DEC=90，DE=2，DF=2DE=4，EF=2 【点评】不同考查等边三角形的性质、直角三角形中 30 度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型 25（2016怀柔区二模）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是ABC 点的中线，E 是 AC 的中点，连接 AC，DFAB 于 F求证：BDF=ADE 【分析】根据等腰三角形的性质得到BAD=CAD，ADB=ADC=90，根据等腰三角形的判定定理得到CAD=ADE根据余角的性质得到BAD=BDF，等量代换即可得到结论【解答】证明：AB=AC

34、，AD 是ABC 点的中线，BAD=CAD，ADB=ADC=90，E 是 AC 的中点，DE=AE=EC，1 CAD=ADE 在 RtABD 中，ADB=90，B+BAD=90 DFAB，B+BDF=90，BAD=BDF，BDF=CAD，BDF=ADE，【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 26（2016西城区一模）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，AEBE 于点 E，且 BE=求证：AB 平分EAD 【分析】根据等腰三角形的性质得到 BD=BC，ADBC 根据角平分线的判定定理即可得到结论 【解答】证明：AB=AC

35、，AD 是 BC 边上的中线，BD=BC，ADBC，BE=BC，BD=BE，AEBE，AB 平分EAD【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 27（2016门头沟区一模）如图，ABC 是等边三角形，BD 平分ABC，延长 BC 到 E，使得CE=CD 求证：BD=DE 1 【分析】根据等边三角形的性质得到ABC=ACB=60，DBC=30，再根据角之间的关系求得DBC=CED，根据等角对等边即可得到 DB=DE【解答】证明：ABC 是等边三角形，BD 是中线，ABC=ACB=60 DBC=30（等腰三角形三线合一）又CE=CD，CDE=CED

36、又BCD=CDE+CED，CDE=CED=BCD=30 DBC=DEC DB=DE（等角对等边）【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到CDE=30是正确解答本题的关键 28（2016吉林校级二模）如图，等边三角形 ABC 的边长是 2，D、E 分别为 AB、AC 的中点，点 F 在 BC 延长线上，且 CF=，求四边形 DEFB 的面积 【分析】由三角形的中位线定理得到 DE=CF，DECF，证得四边形 DEFC 是平行四边形，即可证得 SECF=SDEC=SADE，即可证得 S四边形 DEFB=SABC，求得ABC 的面积即可【解答

37、】解：点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，DE=BC，DEBF，CF=，DE=CF，DECF，四边形 DEFC 是平行四边形，SECF=SDEC=SADE，ABC 是等边三角形，D 是 AB 的中点，CDAB，AD=BD=1，BC=2，DC=1 S四边形 DEFB=SABC=2=【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，证得SECF=SDEC=SADE是本题的关键 29（2016 春宁城县期末）如图，ABC 中，B=90，两直角边 AB=7，BC=24，三角形内有一点 P 到各边的距离相等，PEAB、PFBC、PDAC，垂足分别为 E、F、D，求 PD 的

38、长 【分析】连接 AP，BP，CP，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长【解答】解：连接 AP，BP，CP 设 PE=PF=PD=x ABC 中，B=90，两直角边 AB=7，BC=24，AC=25 SABC=ABCB=84，SABC=ABx+ACx+BCx=（AB+BC+AC）x=56x=28x，则 28x=84，x=3 故 PD 的长为 3 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积注意构造辅助线，则直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算，即两条直角边乘积的一半；二是等于三个小三角形的面积和，即（AB+AC+BC）x，然后即可计算 x 的值 30（2016 春金堂县期末）如图，已

39、知：ABCD，BAE=DCF，AC，EF 相交于点 M，有 AM=CM （1）求证：AECF；（2）若 AM 平分FAE，求证：FE 垂直平分 AC 1【分析】（1）先根据 ABCD 得出BAC=DCA，再由BAE=DCF 可知EAM=FCM，故可得出结论；（2）先由 AM 平分FAE 得出FAM=EAM，再根据EAM=FAM 可知FAM=FCM，故FAC是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论【解答】（1）证明：ABCD，BAC=DCA，又BAE=DCF，EAM=FCM，AECF；（2）证明：AM 平分FAE，FAM=EAM，又EAM=FCM，FAM=FCM，FAC 是等腰三角形，又AM=CM，FMAC，即 EF 垂直平分 AC【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键