2017_18学年高中数学第二章变化率与导数5简单复合函数的求导法则教学案北师大版选修15163.pdf

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1、 5 简单复合函数的求导法则 对应学生用书P23 已知y(3x2)2，ysin2x6.问题 1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数 问题 2：试说明y(3x2)2如何复合的 提示：令ug(x)3x2，则yu2，u3x2，yf(u)f(g(x)(3x2)2.问题 3：试求y(3x2)2，f(u)u2，g(x)3x2 的导数 提示：y(9x212x4)18x12，f(u)2u，g(x)3.问题 4：观察问题 3 中导数有何关系 提示：yf(g(x)f(u)g(x)1复合函数的概念 对于两个函数yf(u)和u(x)axb，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函

2、数，称这个函数为函数yf(u)和u(x)的复合函数，记作yf(x)，其中u为中间变量 2复合函数的求导法则 复合函数yf(x)的导数为：yxf(x)f(u)(x)利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤：(1)适当选取中间变量分解复合函数为初等函数(2)求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化为自变量的函数 对应学生用书P24 简单的复合函数求导 例 1 求下列函数的导数：(1)ysin 3x；(2)y112x2；(3)ylg(2x23x1)；(4)ysin22x3.思路点拨 先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解 精解详析(1)设ysin u，u3x，则yxyuux(si

3、n u)(3x)cos u33cos 3x.(2)设yu12，u12x2，则yxyuux(u12)(12x2)12u32(4x)12(12x2)32(4x)2x(12x2)32.(3)设ylg u，u2x23x1，则yxyuux(lg u)(2x23x1)1uln 10(4x3)4x32x23x1ln 10.(4)设yu2，usin v，v2x3.则yxyuuvvx2ucos v2 2sin vcos v22sin 2v2sin4x23.一点通 求复合函数导数的步骤：确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系yf(u)，ug(x)；分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别

4、注意中间变量对自变量的求导，即先求f(u)，再求g(x)计算f(u)g(x)，并把中间变量转化为自变量的函数 整个过程可简记为“分解求导回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程 1函数y13x12的导数是()A.63x13 B.63x12 C63x13 D.63x12 解析：y13x12(3x1)2，y2(3x1)3(3x1)6(3x1)3 63x13 答案：C 2函数f(x)(2x1)5，则f(0)的值为_ 解析：f(x)5(2x1)4(2x1)10(2x1)4，f(0)10.答案：10 3求下列函数的导数(1)y 3x；(2)ysin3xsin x3；(3)y113x4.解：(1)设yu，

5、u3x，则yxyuux12u(1)12 3x.(2)y(sin3xsin x3)(sin3x)(sin x3)3sin2xcos xcos x33x2 3sin2xcos x3x2cos x3.(3)设yu4，u13x，y(u4)(13x)(4u5)(3)12u5 12(13x)5.复合函数导数的综合问题 例 2 某港口在一天 24 小时内潮水的高度近似满足关系s(t)3sin12t56(0t24)，其中s的单位是 m，t的单位是 h，求函数在t18 时的导数，并解释它的实际意义 精解详析 设f(x)3sin x，x(t)12t56.由复合函数求导法则得s(t)f(x)(t)3cos x124

6、cos12t56.将t18 代入s(t)，得s(18)4cos738(m/h)它表示当t18 h 时，潮水的高度上升的速度为8 m/h.一点通 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况 4(新课标全国卷)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1 C2 D.3 解析：ya1x1，由题意得y|x02，即a12，所以a3.答案：D 5f(x)ax1，且f(1)1，则a的值为_ 解析：f(x)12ax1(ax1)a2ax1，f(1)a2a11.解得a2.答案：2 6设曲线yeax

7、在点(0,1)处的切线与直线x2y10 垂直，则a_.解析：yaeax，且yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10 垂直，k2f(0)a，即a2.答案：2 7一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x416e2t.(1)求汽水温度x在t1 处的导数；(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x59y32.写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数 解：x32e2t.(1)当t1 时，x32e2.(2)y95(x32)95(16e2t36)，y9165e2t(2)2885e2t.求复合函数的导数应处理好以下环节：(1)中间变量的选择应

8、是基本函数结构；(2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数 对应课时跟踪训练九 1下列函数不是复合函数的是()Ayx31x1 Bycosx4 Cy1ln x D.y(2x3)4 解析：A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数ux4，ycos u的复 合函数，C 中的函数可看作函数uln x，y1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u2x3，yu4的复合函数，故选 A.答案：A 2函数y21x2的导数为()A221x B221x2 C221x1x2 D.21x2 1

9、x2 解析：y221x21x221x1x2.答案：C 3函数yx2cos 2x的导数为()Ay2xcos 2xx2sin 2x By2xcos 2x2x2sin 2x Cyx2cos 2x2xsin 2x Dy2xcos 2x2x2sin 2x 解析：y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.答案：B 4某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为yf(t)10t，则在时刻t40 min 的降雨强度为()A20 mm B400 mm C.12 mm/min D.14 mm/min

10、 解析：f(t)12 10t10510t，f(40)540014.答案：D 5若f(x)exex2，则f(0)_.解析：f(x)12(exex)，f(0)0.答案：0 6已知直线yx1 与曲线yln(xa)相切，则a的值为_ 解析：设切点为(x0，y0)，则y0 x01，且y0ln(x0a)，所以x01ln(x0a)对yln(xa)求导得y1xa，则1x0a1，即x0a1.代入可得x01，所以a2.答案：2 7设f(x)aexbln x2，且f(1)e1，f(1)1e1，求实数a，b的值 解：f(x)aex2bx，由已知得 ae2be1，ae2b1e1，解得 a1b12.8求下列函数的导数(1)y(2x2x1)4；(2)y112x2；(3)yxln(1x)解：(1)y4(2x2x1)3(2x2x1)4(2x2x1)3(4x1)(2)法一：设yu12，u12x2，则 yxyuux3212u(4x)12(12x2)32(4x)2x(12x2)32 2x12x2 12x2.法二：y112x2(12x2)12 12(12x2)32(12x2)2x(12x2)322x12x2 12x2 .(3)yxln(1x)xln(1x)ln(1x)x11x ln(1x)x1x.