胡寿松版完整答案自动控制原理第五版课后习题答案(2)330.pdf

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1、自动控制原理课后答案 1 请解释下列名字术语：自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。解：自动控制系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装置与被控对象组成；受控对象：要求实现自动控制的机器、设备或生产过程 扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。外扰是系统的输入量。给定值：受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值 参考输入即为给定值。反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较的过程。2 请说明自动控制系统的基本组成部分。解：作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成：被控对象：所谓被控

2、对象就是整个控制系统的控制对象；执行部件：根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生相应的动作；常用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。给定元件：给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参考量）；比较元件：把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值进行比较，求出它们之间的偏差。常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，如果这个物理量是非电量，一般需要将其转换成为电量。常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等；放大元件：将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象。如电压偏差信号，可

3、用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。校正元件：亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方式连接在系统中，用以改善系统的性能。常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络，它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。3 请说出什么是反馈控制系统，开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点 解：反馈控制系统即闭环控制系统，在一个控制系统，将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量，并将该测量值与输入量进行比较，形成一个反馈通道，从而形成一个封闭的控制系统；开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精度较差；闭环控制系统优点：控制精度高，缺点：结

4、构复杂、设计分析麻烦，制造成本高。4 请说明自动控制系统的基本性能要求。解：（1）稳定性：对恒值系统而言，要求当系统受到扰动后，经过一定时间的调整能够回到原来的期望值。而对随动系统而言，被控制量始终跟踪参考量的变化。稳定性通常由系统的结构决定的，与外界因素无关，系统的稳定性是对系统的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务。（2）准确性：控制系统的准确性一般用稳态误差来表示。即系统在参考输入信号作用下，系统的输出达到稳态后的输出与参考输入所要求的期望输出之差叫做给定稳态误差。显然，这种误差越小，表示系统的输出跟随参考输入的精度越高。（3）快速性：对过渡过程的形式和快慢的要求，一般称为控制系统的动

5、态性能。系统的快速性主要反映系统对输入信号的变化而作出相应的快慢程度，如稳定高射炮射角随动系统，虽然炮身最终能跟踪目标，但如果目标变动迅速，而炮身行动迟缓，仍然抓不住目标。2-1 设质量-弹簧-摩擦系统如图 2-1所示，途中f为黏性摩擦系数，k为弹簧系数，系统的输入量为力()p t，系统的输出量为质量m的位移()x t。试列出系统的输入输出微分方程。解：显然，系统的摩擦力为dttdxf)(，弹簧力为)(tkx，根据牛顿第二运动定律有 移项整理，得系统的微分方程为 2-2 试列写图2-2所示机械系统的运动微分方程。解：由牛顿第二运动定律，不计重力时，得 整理得 2-3 求下列函数的拉氏变换。（1

6、）)sin1(3)(ttf（2）attetf)(图 2-1 习题 2-1 质量弹簧摩擦系统示意图 图 2-2 习题 2-2 机械系统示意图（3）)43cos()(ttf 解：（1）()3(1sin)L f tLt（2）attetf)(（3）2()cos(3)sin(3)cos(3)42f tttt 2-4 求下列函数的拉氏反变换（1）)5)(2(1)(ssssF（2）)3(6)(2ssssF（3）)1(152)(22sssssF 解：（1）112()(2)(5)25sF sssss（2）226211()(3)3sF ssssss（3）22225115()(1)1sssF ss sss 2-5

7、试分别列写图 2-3中各无源网络的微分方程（设电容C上的电压为)(tuc，电容1C上的电压为)(1tuc，以此类推）。图 2-3 习题 2-5 无源网络示意图 解：（a）设电容C上电压为)(tuc，由基尔霍夫定律可写出回路方程为 整理得输入输出关系的微分方程为（b）设电容1C、2C上电压为)(),(21tutucc，由基尔霍夫定律可写出回路方程为 整理得输入输出关系的微分方程为（c）设电阻2R上电压为2()Rut，两电容上电压为)(),(21tutucc，由基尔霍夫定律可写出回路方程为)()()(21tututuRic （1）)()()(22tututuRoc （2）2221)()()(Rtu

8、dttduCdttduCRcc （3）dttduCRtutucoi)()()(21 （4）（2）代入（4）并整理得 CRtutudttdudttduoioR12)()()()(（5）（1）、（2）代入（3）并整理得 两端取微分，并将（5）代入，整理得输入输出关系的微分方程为 2-6 求图 2-4中各无源网络的传递函数。R1R2CUi(s)Uo(s)(a)RRC1(b)C2CCR1(c)R2+Uc(s)+Uc1(s)+Uc2(s)+Ui(s)Uo(s)Uc1(s)Uc2(s)Ui(s)Uo(s)UR2(s)图 2-4 习题 2-6示意图 解：（a）由图得 21)()()(RsURsUsCsUoC

9、C （1）)()()(sUsUsUoiC （2）（2）代入（1），整理得传递函数为（b）由图得)()()(1sUsUsUoiC （1）)()()()()(2222ssUCRsUsURsUsUCCoCi （2）整理得传递函数为 （c）由图得)()()(21sUsUsURiC （1）)()()(22sUsUsURoC （2）2221)()()(RsUsCsUsCsURCC （3）)()()(21sCsURsUsUCoi （4）整理得传递函数为 2-7 求图 2-5中无源网络的传递函数。解：由图得 整理得 2-8 试简化图 2-6中所示系统结构图，并求传递函数)(/)(sRsC和)(/)(sNsC。

10、解：（a）图 2-5 习题 2-7 无源网络示意图 求传递函数)(/)(sRsC，按下列步骤简化结构图：令0)(sN，利用反馈运算简化如图 2-8a所示 串联等效如图 2-8b所示 根据反馈运算可得传递函数 求传递函数)(/)(sNsC，按下列步骤简化结构图：令0)(sR，重画系统结构图如图 2-8c所示 图 2-8a 图 2-8b 图 2-6 习题 2-8 系统结构图示意图 将3H输出端的端子前移，并将反馈运算合并如图 2-8d所示 1G和1H串联合并，并将单位比较点前移如图 2-8e所示 串并联合并如图 2-8f所示 根据反馈和串联运算，得传递函数（b）求传递函数)(/)(sRsC，按下列

11、步骤简化结构图：图 2-8c 图 2-9d 图 2-8e 图 2-8f 将2H的引出端前移如图 2-8g所示 合并反馈、串联如图 2-8h所示 将1H的引出端前移如图 2-8i所示 合并反馈及串联如图 2-8j所示 图 2-8g 图 2-8h 图 2-8i 根据反馈运算得传递函数 2-9 试简化图 2-7中所示系统结构图，并求传递函数)(/)(sRsC。解：求传递函数)(/)(sRsC，按下列步骤简化结构图：将1H的引出端前移如图 2-9a所示 合并反馈及串联如图 2-9b所示 图 2-8j 图 2-9a 习题 2-4 无源网络示意图 图 2-7 习题 2-9 系统结构图示意图 合并反馈、串联

12、如图 2-9c所示 根据反馈运算，得传递函数 2-10 根据图 2-6给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数)(/)(sRsC和)(/)(sNsC。解：（a）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图 2-10a所示。图 2-9b 图 2-9c 图 2-10a（1）令0)(sN，求系统传递函数)(/)(sRsC 由信号流图 2-10a可见，从源节点)(sR到阱节点)(sC之间，有一条前向通路，其增益为 有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为 111HGL，222H

13、GL，3213HGGL 1L与2L互不接触 流图特征式 由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式 根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为（2）令0)(sR，求系统传递函数)(/)(sNsC?由信号流图 2-10a可见，从源节点)(sN到阱节点)(sC之间，有两条前向通路，其增益为 21Gp，1212HGGp 有两个相互接触的单独回路，其回路增益分别为 221HGL，3212HGGL 没有互不接触的回路，所以流图特征式为 由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式 11，12 根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为（b）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信

14、号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10b所示。求系统传递函数)(/)(sRsC 由信号流图 2-10b可见，从源节点)(sR到阱节点)(sC之间，有一条前向通路，其增益为 有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为 111HGL，222HGL，333HGL 1L与3L互不接触 流图特征式为 由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式 根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为 2-11 根据图 2-7给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数)(/)(sRsC。解：根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传

15、递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图 2-11a所示 图 2-10b 由信号流图 2-11a可见，从源节点)(sR到阱节点)(sC之间，有一条前向通路，其增益为 有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为 1321HGGL，2432HGGL，343213HGGGGL 没有互不接触回路。因此，流图特征式 由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式 根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为 3-2 已知各系统得脉冲响应，试求系统的闭环传递函数：（1）1.25()0.0125tk te；（2）()510sin(445)k ttt；（3）3()0.1(1

16、)tk te。解：（1）0.0125()()1.25sL k ts（2）10()()5(sin4cos4)2sL k tL ttt 图 2-11a（3）111()()0.1110(31)3sL k tssss 3-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为1.2()10 12.5sin(1.653.1)th tet，试求系统的超调量%，峰值时间pt和调节时间st。解：1.2101 1.25sin(1.653.1)tet 由上式可知，此二阶系统的放大系数是 10，但放大系数并不影响系统的动态性能指标。由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为221()1sin(1)1ntnh tet 所以有 221.2111

17、.2511.6nn 解上述方程组，得0.62n 所以，此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下 超调量 210.6 1.2 5%100%100%9.5%ee 峰值时间 21.962 0.81pnts 调节时间 3.53.52.922 0.6snt 3-4 设单位负反馈系统的开环传递函数为0.41()(0.6)sG ss s，试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。解题过程：由题意可得系统得闭环传递函数为 其中2,1,0.5,2.52nndazz。这是一个比例微分控制二阶系统。比例微分控制二阶系统的单位阶跃响应为 故显然有 2222231dnndzrz 此系统得动态性能指标为 峰值时间 23.15

18、51dpndt 超调量 212%116.2%dpntdre 调节时间 222113ln(2)lnln(1)225.134nnndsdnzzt 3-5 已知控制系统的单位阶跃响应为6010()10.21.2tth tee，试确定系统的阻尼比和自然频率n。解：系统的单位脉冲响应为60101060()()121212()ttttk th teeee 系统的闭环传递函数为211600()()12()106010600sL k tssss 自然频率 60024.5n 阻尼比 701.4292600 3-6 已知系统特征方程为432310520ssss，试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。

19、解：先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下 显然，由于表中第一列元素得符号有两次改变，所以该系统在s右半平面有两个闭环极点。因此，该系统不稳定。再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然，特征方程的各项系数均为正，则 显然，此系统不稳定。3-7 设单位负反馈系统的开环传递函数为2()(2)(4)(625)KG sssss，试应用劳斯稳定判据确定义为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。解：由题得，特征方程是43212691982000ssssK 列劳斯表 由题意，令1s所在行为零得666.25K 由2s行得 252.5200666.250s 解之得 4.062si，所以振荡角频

20、率为 4.062/rads 3-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数为2(0.51)()(1)(0.51)KsG ss sss，试确定系统稳定时的K值范围。解：由题可知系统的特征方程为 列劳斯表如下 由劳斯稳定判据可得 解上述方程组可得 01.705K 3-9系统结构如图 3-1所示，)1()(TssKsG，定义误差)()()(tctrte，(1)若希望图 a中，系统所有的特征根位于s平面上2s的左侧，且阻尼比为 0.5，求满足条件的TK,的取值范围。(2)求图 a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。(3)为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图 b所示，试求出合适的0K值。解：

21、（1）闭环传递函数为TKsTsTKKsTsKs1/)(22 即TKTTTKnnn1,15.0,12,2,)(2ssKsTssD令，代入上式得，列出劳斯表，(2)ttR)(，系统为 I 型系统 Kess/1(3)KsTsKsKKKTssKsKsG200)1()1()(0K并没有改变系统的稳定性。3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数：（1）100()(0.11)(5)G sss；（2）50()(0.11)(5)G ssss 试求输入分别为()2r tt和2()22r ttt时，系统的稳态误差。(a)(b)图 3-1 习题 3-9 示意图 解：（1）10020()(0.11)(5)(0.11)(

22、0.21)G sssss 由上式可知，该系统是0型系统，且20K。0型系统在211(),2t tt信号作用下的稳态误差分别为：1,1K。根据线性叠加原理有该系统在输入为()2r tt时的稳态误差为22sse ，该系统在输入为2()22r ttt时的稳态误差为21221sseK （2）5010()(0.11)(5)(0.11)(0.21)G sssssss 由上式可知，该系统是型系统，且10K。型系统在211(),2t tt信号作用下的稳态误差分别为：10,K。根据线性叠加原理有该系统在输入为()2r tt时的稳态误差为2120.2sseK，该系统在输入为2()22r ttt时的稳态误差为212

23、02sseK 3-11已知闭环传递函数的一般形式为 误差定义为)()()(tctrte。试证，（1）系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为（2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为（3）推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件 （4）求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系 解：（1）01110)(asasasasnnn 满足终值定理的条件，即证 （2）011101)(asasasasasnnn 满足终值定理的条件，即证(3)对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为 同理可证（4）系统型别比闭环函数分子最高次幂大 1次。3-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为：（1）

24、50()(0.11)(21)G sss；（2）2()(4200)KG ss ss；（3）2210(21)(41)()(210)ssG ssss 试求位置误差系数pK，速度误差系数vK，加速度误差系数aK。解：（1）此系统是一个0型系统，且20K。故查表可得10pKK，0vK，0aK （2）根据误差系数的定义式可得（3）根据误差系数的定义式可得 3-13设单位反馈系统的开环传递函数 输入信号为 )(1)()(tbtatr 其中0K,mK,fK,i,fT,mT均为正数，a和 b为已知正常数。如果要求闭环系统的稳态误差sse0,其中00,试求系统各参数满足的条件。解：首先系统必须是稳定的，系统的闭环

25、特征方程为 式中，iKKKKmf/0,为系统的开环增益，各参数满足：0K,0)(fmmfTKTTT 即稳定条件为 mfmTTTTfK0 由于本例是 I 型系统，其pK,KKv,故在)(1)()(tbtatr作用下，其稳态误差 0Kbess 必有 0bK 于是，即能保证系统稳定，又满足对系统稳态误差要求的各参数之间的条件为 mfmfmfTTTTiKKKb/00 3-14 设单位反馈系统的开环传递函数为()1G sTs。试用动态误差系数法求出当输入信号分别为2()2r tt时，系统的稳态误差。解：系统的误差传递函数为 所以有234()()()()()()()()()()eE ssR sTsR sT

26、sR sTsR sTsR s 对上式进行拉氏反变换可得 234(4)()()()()()e tT r tT r tT r tT rt （1）当2()2r tt时，显然有 将上述三式代入（1）式，可得234()100()e tTtTTTT tT 系统的稳态误差为lim()lim()ssttee tT tT 3-15 假设可用传送函数()1()1C sR sTs描述温度计的特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温，需要一分钟时间才能指出实际水温的%98的数值。如果给容器加热，使水温依10/min的速度线性变化，问温度计的稳态误差有多大?解：由题意，该一阶系统得调整时间1minst，但4stT，所以0

27、.25minT。系统输入为()10r tt，可推得210()R ss 因此可得 2110()()1(1)C sR sTssTs()c t的稳态分量为()1010sscttT 稳态误差为()()()1010 0.252.5ssssetr tctT 所以，稳态误差为2.5 C 3-16如图 3-2所示的控制系统结构图，误差)(sE在输入端定义，扰动输入)(12)(ttn.(1)试求40K时，系统在扰动输入下的稳态输出和稳态误差。(2)若20K,其结果又如何(3)在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节s1，对其结果有何影响 在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节s1，对其结果又有何影响 解：令1

28、05.01sKG，512sG，5.2H 则)()()(212sEGGsNGsC 代入)()()(sHCsRsE 得)(1)(1)(2121212sRHGGGGsNHGGGsC 令0)(sR，得扰动作用下的输出表达式：此时的误差表达式为：)(1)()()(212sNHGGHGsHCsRsEnn 若在 s 右半平面上解析，则有 在扰动输入下的稳态输出为 代入HGGsN,),(21的表达式，可得 （1）当40K时，1015,1012)(ssnnec（2）当20K时，515,512)(ssnnec 可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增大。（3）若s1加在扰动之

29、前，则 得 0,0)(s s nnec 若s1加在扰动之后，则 图 3-2 习题 3-16 示意图 可见在扰动作用点之前的前向通路中加入积分环节，可以消除阶跃输入引起的稳态误差。3-17 设随动系统的微分方程为：其中，)(tc为系统输出量，)(tr为系统输入量，mT为电动机机电时间常数，aT为电动机电磁时间常数，K为系统开环增益。初始条件全部为零，试讨论：（1）aT、mT与K之间关系对系统稳定性的影响（2）当01.0aT,1.0mT,500K时，可否忽略aT的影响在什么影响下aT的影响可以忽略 解：（1）对系统微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，得闭环系统特征方程 当 mTaT K均为正值时，

30、且有 0)1(2KTTDam 即 aTK10 时 闭环系统稳定。（2）由于01.0aT，因此只有当1000 K 闭环系统才稳定，显然，对于500K,闭环不稳定。此时若略去aT,闭环特征方程为 上式中各项系数为正，从而得到得出闭环系统稳定的错误结论。如果 100K。如果100K，则略去aT不会影响闭环稳定性。对于本例，当aTK1时，不能忽略aT对稳定性的影响，否则可以忽略。3-18 设计题 飞机的自动控制，是一个需要多变量反馈方式的例子。在该系统中，飞机的飞行姿态由三组翼面决定，分别是：升降舵，方向舵和副翼，如附图 3-3(a)所示。飞行员通过操纵这三组翼面，可以使飞机按照既定的路线飞行。这里所

31、要讨论的自动驾驶仪是一个自动控制系统，它通过调节副翼表面来控制倾角，只要使副翼表面产生一个的变形，气压在这些表面上会产生一个扭矩，使飞机产生侧滚。飞机副翼是由液压操纵杆来控制的，后者的传递函数为s1。测量实际的倾角，并与输入设定值进行比较，其差值被用来驱动液压操纵杆，而液压操纵杆则反过来又会引起副翼表面产生变形。为简单化起见，这里假定飞机的侧滚运动与其他运动无关，其结构图如图3-3(b)所示，又假定11K，且角速率由速率陀螺将其值进行反馈，期望的阶跃响应的超调量%10%，调节时间(以%2的标准)sts9，试选择合适的aK和2K值。解：图 3-3（a）飞机副翼模型图 图 3-3（b）飞机控制倾角

32、结构图 由于过阻尼响应缓慢，故通常不希望采用过阻尼系统，在本题中0,1欠阻尼 因此，计算可得 又因，21100%e，3.59snt 由题计算可得0.59，0.659n 故20.4,0.634aKK 4-1 已知系统开环零极点分布如图 4-1所示，试绘制相应的根轨迹图。解：（a）根轨迹的渐近线条数为0mn（b）根轨迹的渐近线条数为0mn（c）根轨迹的渐近线条数为3mn，渐近线的倾斜角为601，1802，2403 图 4-1a 根轨迹图 图 4-1 习题 4-1系统零极点分布图（d）根轨迹的渐近线条数为0mn（e）根轨迹的渐近线条数为0mn（f）根轨迹的渐近线条数为1mn，渐近线的倾斜角为180

33、4-2 已知单位反馈控制系统的前向通道传递函数为：(1)4)(2()1()(2ssssKsG (2)5)(2)(1()(ssssKsG(3)204)(4()(2ssssKsG (4)164)(1()1()(2sssssKsG 0K，画出各系统的根轨迹图。解：（1）按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为11z；开环有限极点为4,2,0432,1ppp 实轴上的根轨迹区间为1,2,4,根轨迹的渐近线条数为3mn，渐近线的倾角为 601，1802，603 渐近线与实轴的交点为 闭环系统根轨迹如下图 4-2a所示 （2）按下列步骤绘制根轨迹：图 4-2a 闭环系统根轨迹图 系统没有开环有限零点；开环

34、有限极点为5,2,1,04321pppp 实轴上的根轨迹区间为0,1,2,5 根轨迹的渐近线条数为4mn，渐近线的倾角为 451，1352，1353，454 渐近线与实轴的交点为 分离点方程为 解得分离点40.0,06.421dd 闭环系统根轨迹如下图4-2b所示 （3）按下列步骤绘制根轨迹：系统没有开环有限零点；开环有限极点为42,4,04,321jppp 实轴上根轨迹区间为0,4 根轨迹的渐近线条数为4mn，2a，315,225,135,45a 根轨迹的起始角：复数开环有限极点424,3jp处，90,9043pp 分离点方程为 解得分离点62,23,21jdd 检查 21d时，64*K 图

35、 4-2b 623,2jd时，100*K 321,ddd皆为闭环系统根轨迹的分离点。确定根轨迹与虚轴的交点：系统闭环特征方程为 列写劳斯表 当260*K时，劳斯表出现全零行，辅助方程为 解得根轨迹与虚轴交点为10。根轨迹如下图 4-2c所示：（4）按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为11z ；开环有限极点为10p，21p，3224,3jp 实轴上根轨迹区间为 1,0,1,(根轨迹的渐近线条数为3mn，32a，60,180,60a 分离点方程为 解得分离点45.0,26.221dd 根轨迹如下图 4-2d所示：图 4-2c 4-3 给定系统如图 4-2所示，0K，试画出系统的根轨迹，并分析增

36、益对系统阻尼特性的影响。解：（1）作系统的根轨迹。开环传递函数为 开环极点为0和1，开环零点为2和3。所以实轴上的根轨迹区间为2,3和0,1。分离点方程 得分离点634.0,366.221dd 检查 366.21d时，0718.0)3)(2()1(366.2*sssssK 634.02d时，93.13)3)(2()1(634.0*sssssK 可得到根轨迹如下图 4-3a所示 图 4-2d 图 4-2 习题 4-3系统零极点分布图 （2）分析增益对阻尼特性的影响。从根轨迹图可以看出，对于任意0K，闭环系统都是稳定的，但阻尼状况不同。增益较小时（0718.00 K）系统过阻尼；增益很大时（93.

37、13K），系统过阻尼；增益中等时（93.130718.0 K），系统欠阻尼。4-4 给定控制系统如图 4-3所示，0K，试用系统的根轨迹图确定，速度反馈增益K为何值时能使闭环系统极点阻尼比等于7.0。解：（1）求系统的闭环特征方程并划成标准形式。通过方块图变换或代数运算可以求得单位反馈系统的开环传递函数 因为可变参数K不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程 改写为 图 4-3a 图 4-3 习题 4-4系统结构图 即，上述闭环特征方程也相当于开环传递函数为 的系统的闭环特征方程。（2）根据()G s作出根轨迹图。()G s有两个极点0.53.1225j，一个零点0，所以负实轴是根

38、轨迹，而且其上有分离点。将闭环特征方程改写为 由0/dsdK可以求得10s，其中10s在根轨迹上，对应增益为03246.5K，故10s是实轴上的分离点。根轨迹如图4-4a所示。（3）求反馈增益k。首先要确定闭环极点。设途中虚线代表0.7，则闭环极点为根轨迹和该虚线的交点，由0.7可得arccos45.57。设 列出该点对应的辐角条件 经整理得 两边同取正切，整理得 解得，1623.3n。所以该闭环极点为12.21362.2583sj。再由 得速度反馈增益为3427.010/Kk。4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为：)15.0)(1()(sssKsG。要求系统的 图 4-4a 闭环极点有一

39、对共轭复数极点，其阻尼比为5.0。试确定开环增益K，并近似分析系统的时域性能。解：根据绘制常规根轨迹的基本法则，作系统的概略根轨迹如图4-5a所示。欲确定K，需先确定共轭复极点。设复极点为1,2sxjy 根据阻尼比的要求，应保证 在图上作0.5的阻尼线，并得到初始试探点的横坐标0.3x ，由此求得纵坐标0.52y。在0.30.52sj 处检查相角条件 不满足相角条件；修正0.32x ，则0.554y，点0.320.554sj 处的相角为177.4；再取0.33x ，则0.572y，点0.330.572sj 处的相角为180。因此共轭复极点1,20.330.572sj。由模值条件求得 运用综合除

40、法求得另一闭环极点为32.34s 。共轭复极点的实部与实极点的实部之比为0.14，因此可视共轭复极点为系统的主导极点，系统的闭环传递函数可近似表示为 并可近似地用典型二阶系统估算系统的时域性能 4-6 已知单位反馈系统的开环传递函数为：图 4-5a 试画出系统的根轨迹图，并分析系统的稳定时 K的取值范围。解：由题得 开环极点：0,4,6和0.70.714j 开环零点：11.7321j 分离、会合点：从s平面的零点、极点分布可知在区间内(4,0)可能有分离、会合点。记 由()()()()A s B sA s B s，可得 经整理后得到 用试探法或程序算得区间(4,0)内的一个根为2.3557，它

41、就是实轴上的分离点。根轨迹自复数极点的出射角：54.88 根轨迹趋向复数零点的入射角：102.52 根轨迹与虚轴的交点：闭环特征方程为 令sj，可得424311.4(43.6)4039(242)0KKK 由第二式得420.519.512K，代入第一式，得 解得1231.2115,2.1545,3.7537 根据以上数据画根轨迹图，如图 4-6a所示。再分析系统得稳定情况：根轨迹与虚轴第一个交点的频率为 11.2115，利用幅值条件可以计算出对应的增益 同样可以算得与22.1545和33.7537对应的增益2364.74,163.43KK 参看根轨迹图可知：系统稳定时K的取值范围为：15.54K

42、 或64.74163.43K 4-7 已知单位反馈系统的开环传递函数为：K的变化范围是0，试画出系统的根轨迹图。解：按下列步骤绘制根轨迹：系统没有开环有限零点；开环有限极点为1230,1,2ppp 实轴上的根轨迹区间为,2,1,0 根轨迹的渐近线条数为3nm，渐近线的倾角为 601，1802，603 渐近线与实轴的交点为 111mnzpmiiniia 分离点方程为 021111ddd 解得分离点0.42d 闭环系统根轨迹如下图 4-7a所示 图 4-6a 根轨迹图 4-8 已知反馈控制系统的开环传递函数为：试画出K和a同时变化的根轨迹簇。解：（1）列写闭环特征方程。闭环特征方程为02Kass（

43、2）画0a，K从0到的根轨迹。0a时闭环特征方程为02 Ks。这相当于一个开环传递函数为 的系统。它的根轨迹是与虚轴重合的直线。见图 4-8a中由圆圈构成的根轨迹。（3）画K为常数，a从0到的根轨迹。给定K，则闭环特征方程为 它相当于一个开环传递函数为KsassHsG222)()(的系统，该系统的开环极点为Kj，开环零点为0。图 4-8a中不带圆圈的根轨迹是1,4,9,16K 时的根轨迹。图 4-7a 4-9 已知单位反馈系统的开环传递函数为：)1()(41)(2ssassG a的变化范围是,0，试画出系统的闭环根轨迹。解：系统闭环特征方程为 即有32141014asss 等效开环传递函数为*

44、12()1()2KG ss s*14Ka，变化范围为0,按照绘制常规根轨迹的基本法则确定根轨迹的各项参数：（1）等效系统无开环有限零点；开环有限极点为：12310,2ppp （2）实轴上的根轨迹区间为,0（3）根轨迹有 3条渐近线，且1,60,180,3003aa 图 4-8a（4）根轨迹的分离点：由分离点方程*21241(32)4()01()2KssdG sdsss 解得1211,26dd （5）根轨迹与虚轴的交点：根据闭环特征方程列写劳斯表如下：当1a 时，劳斯表的1s行元素全为零，辅助方程为21()04A ss 解得1,212sj 绘制系统参数根轨迹如图 4-9a所示 4-10 已知反馈

45、控制系统中，其开环传递函数为：(1)绘制sssH4)(时的闭环根轨迹概略图；(2)绘制sssH05.1)(时的闭环根轨迹概略图；(3)比较开环零点变化对根轨迹形状的影响。解：（1）开环传递函数 按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为1,211.732zj ；开环有限极点为1,20p，36p ，4,50.70.714pj 实轴上的根轨迹区间为,6 图 4-9a 根轨迹的渐近线条数为3nm，渐近线的倾角为 601，1802，603 渐近线与实轴的交点为 闭环系统根轨迹如下图 4-10a所示 （2）开环传递函数 按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为11.05z ，2,311.732zj ；开环

46、有限极点为1,20p，34p ，46p ，5,60.70.714pj 实轴上的根轨迹区间为,6 和4,1.05 根轨迹的渐近线条数为3nm，渐近线的倾角为 601，1802，603 渐近线与实轴的交点为 闭环系统根轨迹如下图 4-10b所示 图 4-10a 根轨迹图 4-11 给定控制系统的开环传递函数为：试作出以a为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分a取何值时闭环系统稳定。解：（1）求系统的闭环特征方程并化成标准的形式。因为可变参数a不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程 可改写为 则开环传递函数为（2）根据()G s作系统的根轨迹。()G s中的增益为负值，所以要作系统的补根轨迹

47、。开环极点为0.5和0，开环零点为1。按照补根轨迹的作图规则，实轴上的根轨迹区间为0.5,0和1,。在0.5,0 区间有会合点，在1,有分离点。为求分离、会合点，将闭环特征方程改写为 图 4-10b 根轨迹图 由0/dsdK，得0142 ss，解得122.2247,0.2247ss，分别对应的增益为9.8990K 和0.1010K ，所以是分离、会合点。可以证明，不在实轴上的根轨迹是一个圆，圆心在1,0，半径为1.2227。以aK为参变量的根轨迹如图 4-11a所示，图中箭头表示a从0到的方向，也即K从0到的方向。（3）求a使闭环系统稳定的取值范围。首先求根轨迹与虚轴的交点。由闭环特征方程 可

48、知，1K 时系统处于临界稳定状态，这相当于1a，所以使闭环系统稳定的范围为10 a。4-12 实系参数多项式函数为：欲使0)(sA的根均为实数，试确定参数a的范围。解：对()0A s 作等效变换得 等效开环函数为 当0a 时，需绘制常规根轨迹：系统开环有限零点为11z ；开环有限极点为10p，22p ，33p j0)(Ka)(Ka)1(1Ka0a0a12-11-1 图 4-11a 实轴上的根轨迹区间为3,2 和1,0 根轨迹有2条渐近线，且 2a；90,90a 由分离点方程 在实轴区间3,2 内用试探法求得2.47d 。绘制根轨迹图，如图 4-12a所示。当0a 时，需绘制零度根轨迹。实轴上，

49、零度根轨迹区间为(-,-3，-2,-1和0,+。作零度根轨迹图，如图 4-12b所示。当多项式有根2.47时，根据模值条件得 根据常规根轨迹图，知当00.419a时，多项式的根皆为实数；根据零度根轨迹图，知当0a 时，多项式的根亦全为实数。因此所求参数a的范围为0.419a。4-13 设系统开环传递函数为：(1)大致画出系统的根轨迹图；(2)用文字说明当0K时，如何求系统单位阶跃响应的超调量%，峰值时间pt及调节时间st。图 4-12a 常规根轨迹 图 4-12b 零度根轨迹 解：（1）绘根轨迹图 渐近线：1 103.67;60,1803aa 分离点：由1110110ddd，得0.487d 相

50、应的根轨迹增益2.377dK 根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程3211100sssK 列劳斯表 当110K 时，劳斯表出现全零行，由辅助方程2111100s 得根轨迹与虚轴交点处为110,3.16K 根轨迹图如下图 4-13a所示：（2）求动态性能指标 当02.377K时，系统%0,0pt，闭环有两个实主导极点1和2，且12，因此求得调节时间如下：当2.377100K时，闭环系统有一对共轭复极点，则 由于21211,ln()ln()1dnnnADAD 图 4-13a 因此 211s2n,%100%3.5,t=,0.8 1pneAt 4-14 设单位负反馈系统的开环传递函数为：试画出系统根轨迹图，