辽宁省本溪高级中学2023学年高考冲刺数学模拟试题(含解析)35351.pdf

《辽宁省本溪高级中学2023学年高考冲刺数学模拟试题(含解析)35351.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《辽宁省本溪高级中学2023学年高考冲刺数学模拟试题(含解析)35351.pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数2,()5,xx xaf xx xa（0a），若函数()()4g xf xx有三个零点，则a的

2、取值范围是（）A(0,1)5,)B6(0,)5,)5 C(1,5 D6(,55 2已知在平面直角坐标系xOy中，圆1C：2262xmym与圆2C：22121xy交于A，B两点，若OAOB，则实数m的值为（）A1 B2 C-1 D-2 3一个盒子里有 4 个分别标有号码为 1，2，3，4 的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取 3 次，则取得小球标号最大值是 4 的取法有（）A17 种 B27 种 C37 种 D47 种 4已知全集U R，集合237,7100AxxBx xx，则()UAB=（）A,35,B,35,C,35,D,35,5赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元

3、222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DFAF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A413 B2 1313 C926 D3 1326 6已知函数 ln1f xx，122xg xe，若 f mg n成立，则mn的最小值是（）A1ln22 B2e C1ln22 D12e 7已知全集U R，函数ln 1yx的定义

4、域为M，集合2|0?Nxxx，则下列结论正确的是 AMNN BUMN CMNU DUMN 8已知向量(,1)am，(1,2)b ，若(2)abb，则a与b夹角的余弦值为（）A2 1313 B2 1313 C6 1365 D6 1365 9已知集合*,|4,Mx yxyxyN、，则集合M的非空子集个数是（）A2 B3 C7 D8 10设复数z满足ziizi，则z（）A1 B-1 C1i D1 i 11将函数()sin(2)3f xx()xR的图象分别向右平移3个单位长度与向左平移n(n0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n的最小值为()A3 B23 C2 D 12若,x y满足约束条件02

5、636xyxy，则2zxy的最大值为（）A10 B8 C5 D3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有_种 14某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为_ 15ABC的角,A B C所对的边分别为,a b c，且222cabab，sinsin2 6sinsinABAB，若3c，则a b的值为_.16在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:(

6、1)1C xy，圆22:(2 3)6Cxy直线:3l ykx与圆C相切，且与圆C相交于A，B两点，则弦AB的长为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）根据国家统计局数据，1978 年至 2018 年我国 GDP 总量从 0.37 万亿元跃升至 90 万亿元，实际增长了 242倍多，综合国力大幅提升.将年份 1978，1988，1998，2008，2018 分别用 1，2，3，4，5 代替，并表示为t；y表示全国 GDP 总量，表中ln1,2,3,4,5iizy i，5115iizz.t y z 521iitt 51iiittyy 51iiittz

7、z 3 26.474 1.903 10 209.76 14.05（1）根据数据及统计图表，判断 ybta与dtyce（其中e2.718为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP 总量y关于t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出y关于t的回归方程.（2）使用参考数据，估计 2020 年的全国 GDP 总量.线性回归方程ybxa中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121niiiniixxyybxx，aybx.参考数据：n 4 5 6 7 8 ne的近似值 55 148 403 1097 2981 18（12 分）已知函数22()|23|,()3f xxaxag xxax.（

8、1）当1a 时，解关于x的不等式()6f x；（2）若对任意1xR，都存在2xR，使得不等式12()()f xg x成立，求实数a的取值范围.19（12 分）已知直线1yx是曲线()lnf xax的切线.（1）求函数()f x的解析式，（2）若34ln2t，证明:对于任意0m，()()h xmxxf xt有且仅有一个零点.20（12 分）已知函数2()2(3)2 lnf xxaxax，其中aR.（1）函数()f x在1x 处的切线与直线210 xy 垂直，求实数a的值；（2）若函数()f x在定义域上有两个极值点12,x x，且12xx.求实数a的取值范围；求证：12100f xf x.21（

9、12 分）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.方案一：每满 100 元减 20 元；方案二：满 100 元可抽奖一次.具体规则是从装有 2 个红球、2 个白球的箱子随机取出 3 个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数 3 2 1 0 实际付款 7 折 8 折 9 折 原价（1）该商场某顾客购物金额超过 100 元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得 7 折或 8 折优惠的概率；（2）若某顾客购物金额为 180 元，选择哪种方案更划算？22（10 分）已知函数2()xf xeax（1）已知直线l：10 xy，1l：22

10、0 xy.若直线2l与1l关于l对称，又函数()f x在1x 处的切线与2l垂直，求实数a的值；（2）若函数()(2)1g xex，则当0 x，1a 时，求证：()()f xg x；1(ln1)xeexxx.2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果.【题目详解】作出2yxx和5yx，4yx的图像如下所示：函数()()4g xf xx有三个零点，等价于 yf x与4yx有三个交点，又因为0a，且由图可知，当0 x

11、 时 yf x与4yx有两个交点,A O，故只需当0 x 时，yf x与4yx有一个交点即可.若当0 x 时，0,1a时，显然=()与=4|有一个交点，故满足题意；1a 时，显然=()与=4|没有交点，故不满足题意；1,5a时，显然=()与=4|也没有交点，故不满足题意；5,a时，显然 yf x与4yx有一个交点C，故满足题意.综上所述，要满足题意，只需a(0,1)5,).故选：A.【答案点睛】本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.2、D【答案解析】由OAOB可得，O 在 AB 的中垂线上，结合圆的性质可知 O 在两个圆心的连线上，从而可求.【题目详解】因为OAOB，所以 O 在 AB

12、 的中垂线上，即 O 在两个圆心的连线上，0,0O，1,6C m m，21,2C三点共线，所以62mm，得2m ，故选D.【答案点睛】本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.3、C【答案解析】由于是放回抽取,故每次的情况有 4 种,共有 64 种；先找到最大值不是 4 的情况,即三次取出标号均不为 4 的球的情况,进而求解.【题目详解】所有可能的情况有3464种,其中最大值不是 4 的情况有3327种,所以取得小球标号最大值是 4 的取法有642737种,故选:C【答案点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.4、D【答案解析】先计算集合B，再计算AB，最后计算()

13、UAB【题目详解】解：27100Bx xx|25Bxx，37Axx|35ABxx，U,35(,)AB 故选：D【答案点睛】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题 5、A【答案解析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可【题目详解】在ABD中，3AD，1BD，120ADB，由余弦定理，得222cos12013ABADBDAD BD，所以213DFAB.所以所求概率为224=1313DEFABCSS.故选 A.【答案点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题 6、A【答案解析】分析：设()()f mg nt，则0t，把,m n用

14、t表示，然后令()h tmn，由导数求得()h t的最小值 详解：设()()f mg nt，则0t，1tme，11lnlnln2222tnt，11lnln22tmnet，令11()lnln22th tet，则11()th tet，121()0thtet，()h t是(0,)上的增函数，又(1)0h，当(0,1)t时，()0h t，当(1,)t时，()0h t，即()h t在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，()h 1是极小值也是最小值，1(1)ln22h，mn的最小值是1ln22 故选 A 点睛：本题易错选 B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求ba的最小值问题，通过

15、构造新函数，转化为求函数()h t的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错 7、A【答案解析】求函数定义域得集合 M，N 后，再判断【题目详解】由题意|1Mx x，|01Nxx，MNN 故选 A【答案点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定 8、B【答案解析】直接利用向量的坐标运算得到向量2ab的坐标，利用(2)=0abb求得参数 m，再用cos,|a ba ba b 计算即可.【题目详解】依题意，2(2,3)abm，而(2)=0abb，即260

16、m，解得8m ，则102 13cos,13|565a ba ba b.故选：B.【答案点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.9、C【答案解析】先确定集合M中元素，可得非空子集个数【题目详解】由题意(1,1),(1,2),(2,1)M，共 3 个元素，其子集个数为328，非空子集有 7 个 故选：C【答案点睛】本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有n个元素的集合其子集个数为2n，非空子集有21n个 10、B【答案解析】利用复数的四则运算即可求解.【题目详解】由()(1)11ziizii zii zizzi .故选：B【答案点睛】本题考查了复数的四则

17、运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.11、B【答案解析】首先根据函数()f x的图象分别向左与向右平移 m,n 个单位长度后，所得的两个图像重合，那么mnk T，利用()f x的最小正周期为，从而求得结果.【题目详解】()f x的最小正周期为，那么3nk(kZ)，于是3nk，于是当1k 时，n最小值为23，故选 B.【答案点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.12、D【答案解析】画出可行域,将2zxy化为122zyx,通过平移12yx 即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.【题目详解】解:由约束条件02636xyxy作出可行域如图,化目标函数

18、2zxy为直线方程的斜截式,122zyx.由图可知 当直线122zyx 过3,0A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为 3.故选:D.【答案点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为yaxbz 的形式,在可行域内通过平移yax找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、60【答案解析】试题分析：每个城市投资 1 个项目有3343C A种，有一个城市投资 2 个有212423C C C种，投资方案共3343C A212423243660C C C种.考点：排列

19、组合.14、24【答案解析】由分层抽样的知识可得2400903624002000n，即1600n，所以高三被抽取的人数为16009024240020001600，应填答案24 15、3 2【答案解析】先利用余弦定理求出C，再用正弦定理求出2R并把sinsin2 6sinsinABAB转化为与边有关的等式，结合222cabab可求a b的值.【题目详解】因为222cabab，故222cos122abcCab，因为0,C，所以3C.由正弦定理可得三角形外接圆的半径R满足322 332R，所以2 3sin2 3sin22 3sin2 3sinABAB即2abab.因为22223 293+2ababa

20、bababa b，解得3 2ab或3 22ab（舍）.故答案为：3 2.【答案点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题.16、15【答案解析】利用直线与圆相切求出斜率k，得到直线的方程，几何法求出|AB【题目详解】解：直线:3l ykx与圆C相切，C圆心为(0,1)由2|13|11k，得3k 或3，当33yx 时，C到直线的距离|63|9623 1d，不成立，当33yx时，l与圆C相交于A，B两点，C到直线的距离|63|323 1d，9|2 6154AB 故答案为15【答案点睛】考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，

21、属于中档题 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）dtyce，1.4052.3122.3121.405ttyeee；（2）148 万亿元.【答案解析】（1）由散点图知dtyce更适宜，对dtyce两边取自然对数得lnlnycdt，令lnzy，lnac，bd，则zabt，再利用线性回归方程的计算公式计算即可；（2）将5.2t 代入所求的回归方程中计算即可.【题目详解】（1）根据数据及图表可以判断，dtyce更适宜作为全国 GDP 总量y关于t的回归方程.对dtyce两边取自然对数得lnlnycdt，令lnzy，lnac，bd，得zabt.因为5152114

22、.051.40510iiiiittzzbtt，所以1.9031.40532.312azbt，所以z关于t的线性回归方程为1.4052.312zt，所以y关于t的回归方程为1.4052.3122.3121.405ttyeee.（2）将5.2t 代入1.4052.312tye，其中1.405 5.22.3124.994，于是 2020 年的全国 GDP 总量约为：4.9945148yee万亿元.【答案点睛】本题考查非线性回归方程的应用，在处理非线性回归方程时，先作变换，转化成线性回归直线方程来处理，是一道中档题.18、（1）|33xx；（2）8,0,5.【答案解析】（1）分类讨论去绝对值号，然后解

23、不等式即可.（2）因为对任意1xR，都存在2xR，使得不等式12()()f xg x成立，等价于minmin()()f xg x，min()f x根据绝对值不等式易求，min()g x根据二次函数易求，然后解不等式即可.【题目详解】解：（1）当1a 时，()|1|1|f xxx，则2,1,()2,11,2,1.x xf xxx x 当1x 时，由()6f x得，26x，解得31x；当11x时，()6f x恒成立；当1x时，由()6f x得，26x，解得13x.所以()6f x的解集为|33xx （2）对任意1xR，都存在2xR，得12()()f xg x成立，等价于minmin()()f xg

24、 x.因为2223(1)20aaa，所以223aa，且|222|23|()(23)23xaxaxaxaaa 223aa，当223ax a时，式等号成立，即2min()23f xaa.又因为22223()33244aaaxaxx，当2ax 时，式等号成立，即2min()34ag x.所以222334aaa，即2580aa 即a的取值范围为：8,0,5.【答案点睛】知识：考查含两个绝对值号的不等式的解法；恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题；能力：分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；中档题.19、（1）()lnf xx（2）证明见解析【答案解析】（1）对函数求导，并设切点000,P xy

25、，利用点既在曲线上、又在切线上，列出方程组，解得01xa，即可得答案；（2）当 x 充分小时()0h x，当 x 充分大时()0h x，可得()h x至少有一个零点.再证明零点的唯一性，即对函数求导得2111()164h xmx，对m分116m 和1016m两种情况讨论，即可得答案.【题目详解】（1）根据题意，()afxx，设直线1yx与曲线()lnf xax相切于点000,P xy.根据题意，可得0001ln1axaxx，解之得01xa，所以()lnf xx.（2）由（1）可知()ln(0)h xmxxxt x，则当 x 充分小时()0h x，当 x 充分大时()0h x，()h x至少有一

26、个零点.211111()1642h xmmxxx，若116m，则()0h x，()h x在(0,)上单调递增，()h x有唯一零点.若1016m令2111()0416h xmx，得()h x有两个极值点，1212,x xxx，1114x，1016x.()h x在1(0,)x上单调递增，在12(,)x x上单调递减，在2(,)x 上单调递增.极大值为 11111111111lnln2h xmxxxtxxxtxx.111ln2xxt ，又 11111411044xh xxxx，1h x在(0，16)上单调递增，1(16)ln163ln16334ln20h xht，h x有唯一零点.综上可知，对于任

27、意0m，()()h xmxxf xt有且仅有一个零点.【答案点睛】本题考查导数的几何意义的运用、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意零点存在定理的运用.20、（1）12；（2）01a；详见解析.【答案解析】（1）由函数()f x在1x 处的切线与直线210 xy 垂直，即可得1(1)12f ，对其求导并表示(1)f，代入上述方程即可解得答案；（2）已知要求等价于2()22(3)0afxxax在(0,)上有两个根12,x x，且12xx，即222(3)20 xaxa在(0,)上有两个不相等的根12,x x，由二次

28、函数的图象与性质构建不等式组，解得答案，最后分析此时单调性推及极值说明即可；由可知，1212,0 x xxx是方程222(3)20 xaxa的两个不等的实根，由韦达定理可表达根与系数的关系，进而用含的式子表示 12f xf x，令 12()g af xf x，对()g a求导分析单调性，即可知道存在常数3,1te使()g a在(0,)t上单调递减，在(,1)t上单调递增，进而求最值证明不等式成立.【题目详解】解：（1）依题意，2()2(3)2 lnf xxaxax，0 x，故2()22(3)afxxax，所以(1)44fa，据题意可知，1(44)12a ，解得12a.所以实数a的值为12.（2

29、）因为函数()f x在定义域上有两个极值点12,x x，且12xx，所以2()22(3)0afxxax在(0,)上有两个根12,x x，且12xx，即222(3)20 xaxa在(0,)上有两个不相等的根12,x x.所以22(3)0,2 24(3)160,20,aaa 解得01a.当01a时，若10 xx或2xx，222(3)20 xaxa，()0fx，函数()f x在10,x和1,x 上单调递增；若12xxx，222(3)20 xaxa，()0fx，函数()f x在12,x x上单调递减，故函数()f x在(0,)上有两个极值点12,x x，且12xx.所以，实数a的取值范围是01a.由可

30、知，1212,0 x xxx是方程222(3)20 xaxa的两个不等的实根，所以12123,xxax xa其中01a.故 22121112222(3)2 ln2(3)2 lnf xf xxaxaxxaxax 21212121222(3)2 lnxxx xaxxax x 22(3)22(3)(3)2 ln2 ln49aaaaaaaaaa，令2()2 ln49g aaaaa，其中01a.故()2ln26g aaa，令()()2ln26h ag aaa，2()20h aa，()()h ag a在(0,1)上单调递增.由于 3320h ee，(1)40h，所以存在常数3,1te，使得()0h t，即

31、ln30tt，ln3tt，且当(0,)at时，()()0h ag a，()g a在(0,)t上单调递减；当(,1)at时，()()0h ag a，()g a在(,1)t上单调递增，所以当01a时，222()()2 ln492(3)4929g ag tttttt ttttt，又3,1te，2229(1)1010ttt，所以()10g a ，即()100g a，故 12100f xf x得证.【答案点睛】本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、由极值点个数求参数范围问题，还考查了利用导数证明不等式成立，属于难题.21、（1）12（2）选择方案二更为划算【答案解析】（1）计算顾客获得 7 折优惠的

32、概率118P，获得 8 折优惠的概率238P，相加得到答案.（2）选择方案二，记付款金额为X元，则X可取的值为 126，144，162，180.，计算概率得到数学期望，比较大小得到答案.【题目详解】（1）该顾客获得 7 折优惠的概率312148P，该顾客获得 8 折优惠的概率2223223448PC，故该顾客获得 7 折或 8 折优惠的概率12131882PPP.（2）若选择方案一，则付款金额为18020160.若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取的值为 126，144，162，180.323113(126),(144)828P XP XC，3310331311(162),(180)282

33、8P XCP XC，则13311261441621801538888EX.因为160153，所以选择方案二更为划算.【答案点睛】本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.22、（1）e12a （2）证明见解析证明见解析【答案解析】（1）首先根据直线关于直线对称的直线的求法，求得2l的方程及其斜率.根据函数()f x在1x 处的切线与2l垂直列方程，解方程求得a的值.（2）构造函数()()()h xf xg x，利用 h x的导函数证得当0 x 时，()0h x，由此证得()()f xg x.由知2e(e2)10 xxx 成立，整理得2e(e2)1xxx 成立.利用构造函

34、数法证得ln1xx，由此得到2(ln1)xxx，即e(e2)1(ln1)xxxx，化简后得到1(ln1)xeexxx.【题目详解】（1）由10,220,xyxy 解得1,0.xy 2l必过1l与l的交点(1,0)A.在1l上取点(0,2)B，易得点(0,2)B关于l对称的点为(1,1)B ，2l即为直线AB，所以2l的方程为011 01 1yx ，即210 xy，其斜率为12.又因为2()exf xax，所以()e2xfxax，(1)e2fa，由题意1(e2)12a，解得e12a .（2）因为1a，所以2()exf xx.令()()()h xf xg x，则2()e(e2)1xh xxx，则(

35、)e2(e2)ee2(1)xxh xxx，且(1)0h，()e2xh x，(,ln2)x 时，()0h x，()h x单调递减；x(ln2,)时，()0h x，()h x单调递增.因为(1)0h，所以min()(ln 2)4e2ln 20h xh，因为(0)3e0h，所以存在0(0,1)x，使00,xx时，()0h x，()h x单调递增；0,1xx时，()0h x，()h x单调递减；(1,)x时，()0h x，()h x单调递增.又(0)(1)0hh，所以0 x 时，()0h x，即2e(e2)10 xxx，所以()()0f xg x，即()()f xg x成立.由知2e(e2)10 xxx 成立，即有2e(e2)1xxx 成立.令()lnxxx，即11()1xxxx.所以(0,1)x时，()0 x，()x 单调递增；(1,)x时，()0 x，()x单调递减，所以()(1)1x，即ln1xx，因为0 x，所以2(ln1)xxx，所以0 x 时，e(e2)1(ln1)xxxx，即0 x 时，1(ln1)xeexxx.【答案点睛】本小题考查函数图象的对称性，利用导数求切线的斜率，利用导数证明不等式等基础知识；考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想，数形结合思想和应用意识.