2012高考真题分类汇编15：推理与证明1471.pdf

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1、 1 2012 高考真题分类汇编：推理与证明 1.【2012高考真题江西理6】观察下列各式：221,3,abab3344554,7,11,ababab则1010ab A28 B76 C123 D199【答案】C【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。【解析】等式右面的数构成一个数列 1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即21nnnaaa，所以可推出12310a，选 C.2.【2012 高考真题全国卷理 12】正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC上，AEBF73.动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方

2、形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)10 【答案】B【解析】结合已知中的点 E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到 EA 点时，需要碰撞 14 次即可.3.【2012 高考真题湖北理 10】我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式3169dV.人们还用过一些类似的近似公式.根据=3.14159判断，下列近似公式中最

3、精确的一个是 11.3169dV B32dV C3300157dV D32111dV【答案】D【解析】33466b6 9()d,=3.37532b166 16 1576 11=3=3.14,=3.142857230021dVaVAaBD由，得设选项中常数为 则；中代入得，中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择 D。4.【2012 高考真题陕西理 11】观察下列不等式 213122 231151233，474131211222 2 照此规律，第五个不等式为 .【答案】6116151413121122222.【解析】通过观察易知第五个不等式为61161514131211

4、22222.5.【2012高考真题湖南理 16】设N=2n（nN*，n2），将 N 个数 x1,x2,，xN依次放入编号为 1,2，N 的 N 个位置，得到排列 P0=x1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N个位置，得到排列 P1=x1x3xN-1x2x4xN，将此操作称为 C 变换，将 P1分成两段，每段2N个数，并对每段作 C 变换，得到2p；当 2 in-2时，将 Pi分成 2i段，每段2iN个数，并对每段 C变换，得到 Pi+1，例如，当 N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时 x7位于 P2中的第 4 个位置.（1

5、）当 N=16时，x7位于 P2中的第_个位置；（2）当 N=2n（n 8）时，x173位于 P4中的第_个位置.【答案】（1）6；（2）43 211n【解析】（1）当 N=16时,012345616Px x x x x xx,可设为(1,2,3,4,5,6,16),11 3571524616Px x x xx x x xx,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,16),2159133711 152616Px x x x x x x x x xx,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,16),x7位于 P2中的第 6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知 x173位于 P4中

6、的第43 211n个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.6.【2012 高考真题湖北理 13】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如 22，121，3443，94249 等显然 2 位回文数有9 个：11，22，33，993 位回文数有90 个：101，111，121，191，202，999则（）4 位回文数有 个；（）21()nnN位回文数有 个【答案】90，n109【解析】（）4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有 9（19）种情况，第二位有

7、 10（09）种情况，所以 4 位回文数有90109种。答案：90 （）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同，所以可以算出 2n+2 位回文数的个数。2n+2 位回文数只用看前 n+1 位的排列情况，第一位不 3 能为 0 有 9 种情况，后面 n 项每项有 10 种情况，所以个数为n109.法二、可以看出 2 位数有 9 个回文数，3 位数 90 个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在 2 位数的中间添加成对的“00,11,22,99”，因此四位数的回文数有90 个按此规律推导,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加 09这十个数，因此,则答

8、案为n109.7.【2012 高考真题北京理 20】（本小题共 13 分）【答案】解：（1）由题意可知 11.2rA，21.2rA ，11.1cA，20.7cA，31.8cA 0.7k A （2）先用反证法证明 1k A：若 1k A 则 1|1|11cAaa，0a 同理可知0b，0ab 由题目所有数和为0 即1abc 11cab 与题目条件矛盾 1k A 易知当0ab时，1k A 存在 k A的最大值为 1（3）k A的最大值为212tt.首先构造满足21()2tk At的,(1,2,1,2,.,21)i jAaijt：1,11,21,1,11,21,211.1,.2tttttaaaaaat

9、，4 22,12,22,2,12,22,211.,.1(2)ttttttaaaaaat t .经计算知，A中每个元素的绝对值都小于 1，所有元素之和为 0，且 1221|()|()|2tr Ar At，2121121|()|()|.|()|11(2)22tttttc AcAc At ttt ，1221121|()|()|.|()|122tttttcAcAcAtt.下 面证明212tt是 最大值.若 不然，则存在一 个数 表(2,21)ASt，使得21()2tk Axt.由()k A的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过 1的数的和，其绝对值不超过 2，故A的每一列两

10、个数之和的绝对值都在区间,2x中.由于1x，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x.设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设gh，则,1gt ht.另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于1t 个负数，每个正数的绝对值不超过 1（即每个正数均不超过 1），每个负数的绝对值不小于1x（即每个负数均不超过1x）.因此 11|()|()1(1)(1)21(1)21(2)r Ar Attxttxxttxx ，故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾.因此 k A的最大值为212tt。

11、8.【2012 高考真题湖北理】（本小题满分 14 分）（）已知函数()(1)(0)rf xrxxrx，其中r为有理数，且01r.求()f x的 最小值；（）试用（）的结果证明如下命题：设120,0aa，12,b b为正有理数.若121bb，则12121 122bba aa ba b；（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式1()xx.【答案】（）11()(1)rrfxrrxrx，令()0fx，解得1x.5 当01x时，()0fx，所以()f x在(0,1)内是减函数；当 1x 时，()0fx，所以()f x在(1,)内是增函数.故函

12、数()f x在1x 处取得最小值(1)0f.（）由（）知，当(0,)x时，有()(1)0f xf，即(1)rxrxr 若1a，2a中有一个为 0，则12121 122bba aa ba b成立；若1a，2a均不为 0，又121bb，可得211bb，于是 在中令12axa，1rb，可得1111122()(1)baabbaa，即111121 121(1)bba aa bab，亦即12121 122bba aa ba b.综上，对120,0aa，1b，2b为正有理数且121bb，总有12121 122bba aa ba b.（）（）中命题的推广形式为：设12,naaa为非负实数，12,nbbb为正有

13、理数.若121nbbb，则12121 122nbbbnnna aaa ba ba b.用数学归纳法证明如下：（1）当1n 时，11b，有11aa，成立.（2）假设当nk时，成立，即若12,ka aa为非负实数，12,kb bb为正有理数，且121kbbb，则12121 122kbbbkkka aaa ba ba b.当1nk时，已知121,kka aa a为非负实数，121,kkb bb b为正有理数，且1211kkbbbb，此时101kb，即110kb，于是 111212121121()kkkkbbbbbbbbkkkka aa aa aaa=12111111111121()kkkkkkbbb

14、bbbbbkkaaaa.因121111111kkkkbbbbbb，由归纳假设可得 1211111112kkkkbbbbbbkaaa1212111111kkkkkbbbaaabbb1 12211kkka ba ba bb，从而112121kkbbbbkka aa a1111 122111kkbbkkkka ba ba bab.又因11(1)1kkbb，由得 6 1111 122111kkbbkkkka ba ba bab1 1221111(1)1kkkkkka ba ba bbabb 1 12211kkkka ba ba bab，从而112121kkbbbbkka aa a1 12211kkkk

15、a ba ba bab.故当1nk时，成立.由（1）（2）可知，对一切正整数n，所推广的命题成立.说明：（）中如果推广形式中指出 式对2n成立，则后续证明中不需讨论1n 的情况.9.【2012 高考真题福建理 17】（本小题满分 13 分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.（1）sin213+cos217-sin13cos17（2）sin215+cos215-sin15cos15（3）sin218+cos212-sin18cos12（4）sin2（-18）+cos248-sin2（-18）cos248（5）sin2（-25）+cos255-sin2（-25）cos255 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.【答案】7