2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析(三)1720.pdf

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1、 1 2013 中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析(三)例 5 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标,图 1 解析 （1）因 为 抛 物 线 与x 轴 交 于A(4，0)、B（1，0)两 点，设 抛 物 线 的 解 析 式 为)4)(1(xxay，代入点C的 坐标（0，2），解得21a所以

2、抛物线的解析式为22521)4)(1(212xxxxy （2）设点P的坐标为)4)(1(21,(xxx 如图2，当点P在x轴上方时，1x 4，)4)(1(21xxPM，xAM 4 如果2COAOPMAM，那么24)4)(1(21xxx解得5x不合题意 如果21COAOPMAM，那么214)4)(1(21xxx解得2x 此时点P的坐标为（2，1）如图3，当点P在点A的右侧时，x 4，)4)(1(21xxPM，4 xAM 解方程24)4)(1(21xxx，得5x此时点P的坐标为)2,5(解方程214)4)(1(21xxx，得2x不合题意 如图4，当点P在点B的左侧时，x 1，)4)(1(21xxP

3、M，xAM 4 2 解方程24)4)(1(21xxx，得3x此时点P的坐标为)14,3(解方程214)4)(1(21xxx，得0 x此时点P与点O重合，不合题意 综上所述，符合条件的 点 P的坐标为（2，1）或)14,3(或)2,5(图 2 图 3 图 4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为221xy 设点D的横坐标为m)41(m，那么点D的坐标为)22521,(2mmm，点E 的坐标为)221,(mm所以)221()22521(2mmmDEmm2212 因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m 当2m时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）图 5

4、 图 6 考点伸展 第（3）题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和ADM的面积 设点D的横坐标为（m，n）)41(m，那么 42)4(21)2(214)22(21nmmnnmnS 3 由于225212mmn，所以mmS42 例 6 如图1，ABC中，AB 5，AC 3，cosA310D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE/BC交射线CA于点E.(1)若CEx，BDy，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2)当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3)当点D在AB 边上时，BC边上是否存在点F，使A

5、BC与DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由 图 1 备用图 备用图 解析（1）如图2，作BHAC，垂足为点H在RtABH中，AB 5，cosA310AHAB，所以AH3212AC所以BH垂直平分AC，ABC 为等腰三角形，ABCB 5 因为DE/BC，所以ABACDBEC，即53yx于是得到53yx，（0 x）（2）如图3，图4，因为DE/BC，所以DEAEBCAC，MNANBCAC，即|3|53DEx，1|3|253xMN因此5|3|3xDE，圆心距5|6|6xMN 图 2 图 3 图 4 在M中，115226MrBDyx，在N中，1122NrCEx 当两圆外切时，5

6、162xx5|6|6x解得3013x 或者10 x 如图5，符合题意的解为3013x，此时5(3)15313xDE 当两圆内切时，5162xx5|6|6x 4 当 x 6 时，解得307x，如图6，此时E在CA的延长线上，5(3)1537xDE；当 x 6 时，解得10 x，如图7，此时E在CA的延长线上，5(3)3533xDE 图 5 图 6 图 7（3）因为ABC是等腰三角形，因此当ABC与DEF相似时，DEF也是等腰三角形 如图8，当D、E、F为ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF 2.5根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF 4.1

7、 如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时12534BF 图 8 图 9 图 10 图 11 考点伸展 第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是ABC的高，D、E、F为ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形 例 7 如图1，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）平移二次函数2txy的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；与x轴相交于B、C两点（OBOC），连结A，B （1）是否存在这样的抛物线F，使得OCOBOA2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQBC，且tanABO23，求抛物线F对应的二次函数的解析式

8、 5 图 1 解析（1）因为平移2txy的图象得到的抛物线F的顶点为Q（t，b），所以抛物线F对应的解析式为btxty2)(因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0bt 令0y，得 tOBtb，tOCtb 所以tOCOB(|tb)(ttb)|2|t 22|OAttb 即22bttt 所以当32tb 时，存在抛物线F使得|2OCOBOA （2）因 为AQ/BC，所 以tb，于 是 抛 物 线F为ttxty2)(解 得1,121txtx 当0t时，由|OCOB，得)0,1(tB 如图2，当01t时，由ABOtan23|OBOA1tt，解得3t此时二次函数的解析式为241832xxy 如图3，当01t时，由ABOtan23|OBOA1tt，解得t53此时二次函数的解析式为y532x2518x12548 图 2 图 3 如图4，如图 5，当0t时，由|OCOB，将t代t,可得t53，3t此时二次函数的解析式为y532x2518x12548或241832xxy 6 图 4 图 5 考点伸展 第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ/BC，所以tb，于是抛物线F为2()yt xtt 由3tan2OAABOOB，得23OBOA 把2(,0)3Bt代入2()yt xtt，得3t （如图2，图5）把2(,0)3Bt代入2()yt xtt，得35t （如图3，图4）