2017_18版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程学案北师大版选修15627.pdf

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1、 11 椭圆及其标准方程 学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形 知识点一 椭圆的定义 思考 1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？思考 2 在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？梳理 把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于_的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距 知识点二 椭圆的标准方程 思考 1 椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？思考 2 椭圆定义中，为什么要限

2、制常数|PF1|PF2|2a|F1F2|?梳理 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形 焦点坐标 a，b，c的关系 类型一 求椭圆的标准方程 命题角度 1 焦点位置已知求椭圆的方程 例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，ab21，c 6；(2)经过点(3，15)，且与椭圆x225y291 有共同的焦点 反思与感悟 用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程 跟踪训练 1 求适合下列条件的椭圆

3、的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点(32，52)；(2)焦点在x轴上，且经过两个点(2,0)和(0,1)命题角度 2 焦点位置未知求椭圆的方程 例 2 求经过(2，2)和1，142两点的椭圆的标准方程 反思与感悟 如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax2By21(A0，B0，AB)，再解答 跟踪训练 2 求经过A(0,2)和B(12，3)两点的椭圆的标准方程 类型二 椭圆方程中参数的取值范围 例 3“方程x2m1y23m1 表示焦点

4、在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是()A1m32 B1m2 C2m3 D1m0，n0，mn；表示焦点在x轴上的椭圆的条件是 m0，n0，mn；表示焦点在y轴上的椭圆的条件是 m0，n0，nm.跟踪训练 3 已知x2sin y2cos 1(0)表示焦点在x轴上的椭圆求的取值范围 类型三 椭圆定义的应用 例 4 如图所示，点P是椭圆x25y241 上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF230，求F1PF2的面积 引申探究 在例 4 中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连接BF2，其他条件不变，求BPF2的周长 跟踪训练 4 已知椭圆的方程为x24y231，椭圆上有一点P满足PF1F290(

5、如图)求PF1F2的面积 1已知F1，F2是定点，|F1F2|8，动点M满足|MF1|MF2|8，则动点M的轨迹是()A椭圆 B直线 C圆 D线段 2已知椭圆 4x2ky24 的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是()A1 B2 C3 D4 3“mn0”是“方程mx2ny21 表示焦点在y轴上的椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为 8，焦距为 2 15，则此椭圆的标准方程为_ 5已知椭圆x249y2241 上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则|PF1|PF2|_.1平面内到

6、两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a，当 2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当 2a|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当 2a0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键 思考 2 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长 梳理 常数(大于|F1F2|)知识点二 思考 1 椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半a、b、c始终满足关系式a

7、2b2c2.思考 2 只有当 2a|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；当 2a|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当 2ab0)由椭圆的定义知，2a 3225222 3225222 2 10，即a 10.又c2，b2a2c26.所求椭圆的标准方程为y210 x261.(2)椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)又椭圆经过点(2,0)和(0,1)，4a20b21，0a21b21，a24，b21.所求椭圆的标准方程为x24y21.例 2 解 设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)将点(2，2)，1，142代入，得 4A2B1，A144B1，解得 A1

8、8，B14.故所求椭圆的标准方程为x28y241.跟踪训练 2 解 当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，A(0,2)，B(12，3)在椭圆上，4b21，122a232b21，解得 a21，b24，这与ab相矛盾，故应舍去 当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为 y2a2x2b21(ab0)，A(0,2)，B(12，3)在椭圆上，4a21，32a2122b21，解得 a24，b21，椭圆的标准方程为y24x21，综上可知，椭圆的标准方程为y24x21.例 3 A 要使方程x2m1y23m1 表示焦点在y轴上的椭圆，则m应满足 m10，3m0，3mm1，解得 1m2

9、，A 选项中m|1m32m|1m1cos，1sin 0，1cos 0，0，解得 04.的取值范围是0，4.例 4 解 在椭圆x25y241 中，a 5，b2，ca2b21.又P在椭圆上，|PF1|PF2|2a2 5，由余弦定理知，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 30|F1F2|2(2c)24，式两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|20，得(2 3)|PF1|PF2|16，|PF1|PF2|16(2 3)SF1PF212|PF1|PF2|sin 3084 312.引申探究 解 由椭圆的定义，可得BPF2的周长为|PB|PF2|BF2|(|PF1|PF2|)(|BF1|BF2|)2a2a4a4 5.跟踪训练 4 解 由已知得a2，b 3，所以ca2b2 431.从而|F1F2|2c2.在PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2，即|PF2|2|PF1|24.又由椭圆定义知|PF1|PF2|224，所以|PF2|4|PF1|.从而有(4|PF1|)2|PF1|24.解得|PF1|32.所以PF1F2的面积S12|PF1|F1F2|1232232，即PF1F2的面积是32.当堂训练 1D 2.B 3.C 4.y216x21 5.48