2019_2020学年高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.2利用基本不等式求最值学案新人教A版15359.pdf

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1、第 2 课时 利用基本不等式求最值 1会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 2能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 基本不等式与最值 已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值 2P；(2)如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值14S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a0，b0，且ab16，则ab64.()(2)若ab2，则ab的最小值为 2 2.()(3)当x1 时，函数yx1x12xx1，所以函数y的最小

2、值是 2xx1.()(4)若xR，则x221x222.()答案(1)(2)(3)(4)题型一利用基本不等式求最值【典例 1】(1)若x0，求y4x9x的最小值；(2)设 0 x2，求x4x2的最小值；(4)已知x0，y0，且1x9y1，求xy的最小值 思路导引 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解 解(1)x0，由基本不等式得 y4x9x2 4x9x2 3612，当且仅当 4x9x，即x32时，y4x9x取最小值 12.(2)0 x0，y4x(32x)22x(32x)22x32x2292.当且仅当 2x32x，即x34时取“”y的最大值为92

3、.(3)x2，x20，x4x2(x2)4x22 2 x24x226.当且仅当x24x2，即x4 时，x4x2取最小值 6.(4)x0，y0，1x9y1，xy(xy)1x9y10yx9xy 102 916.当且仅当yx9xy且1x9y1 时等号成立，即x4，y12 时等号成立 当x4，y12 时，xy有最小值 16.变式(1)本例(3)中，把“x2”改为“x2”，则x4x2的最值又如何？(2)本例(3)中，条件不变，改为求x22x4x2的最小值 解(1)x0，x4x2x24x222x42x22 2x42x22.当且仅当 2x42x，即x0 时，x4x2取最大值2.(2)x22x4x2x222x2

4、4x2 x24x222 x24x226 当且仅当x24x2，即x4 时，原式有最小值 6.(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同 针对训练 1已知x，y0，且满足x3y41，则xy的最大值为_ 解析 x，y0，x3y412 xy12，得xy3，当且仅当x3y4即x32，y2 时，取“”号，xy的最大值为 3.答案 3 2已知x，y0，且xy4，则1x3y的最小值为_ 解析 x，y0，(xy)1x3y4yx3xy42 3，当且仅当yx3xy，即x2(

5、31)，y2(3 3)时取“”号，又xy4，1x3y132，故1x3y的最小值为 132.答案 132 3若x3，则实数f(x)4x3x的最大值为_ 解析 x3，x30，x225x2 x225x30，当且仅当x225x，即x15 时，上式等号成立 当x15 时，y有最小值 2000 元 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最小 课堂归纳小结 1利用基本不等式求最大值或最小值时应注意：(1)x，y一定要都是正数；(2)求积xy最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy最小值时，应看积xy是否为定值；(3)等号是否能够成立 以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最

6、值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用 3求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.1已知yx1x2(x0)，则y有()A最大值为 0 B最小值为 0 C最小值为2 D最小值为 2 答案 B 2已知 0 x1，则当x(1x)取最大值时，x的值为()A.13 B.12 C.14 D.23 解析 0 x0.x(1x)x1x2214，当且仅当x1x，即x12时，等号成立 答案 B 3已知p，qR，pq100，则p2q2的最小值是_ 答案 200 4已知函数f(x)4xax(x0，a0)在x3 时取得最

7、小值，则a_.解析 由基本不等式，得 4xax24xax4a，当且仅当 4xax，即xa2时，等号成立，即a23，a36.答案 36 5某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y12x2200 x80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解 由 题 意 可 知，二 氧 化 碳 每 吨 的 平 均 处 理 成 本 为yx12x80000 x200212x80000 x200200，当且仅当12x80000 x，即x400 时等号成立，故该单位

8、月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元 课后作业(十二)复习巩固 一、选择题 1当x0 时，y12x4x的最小值为()A4 B8 C8 3 D16 解析 x0，12x0,4x0.y12x4x212x4x8 3.当且仅当12x4x，即x 3时取最小值 8 3，当x0 时，y的最小值为 8 3.答案 C 2设x，y为正数，则(xy)1x4y的最小值为()A6 B9 C12 D15 解析(xy)1x4yx1x4xyyxy4y144xyyx52 4xyyx9.答案 B 3若x0，y0，且2x8y1，则xy有()A最大值 64 B最小值164 C最小值12 D最小

9、值 64 解析 由题意xy2x8yxy2y8x2 2y8x8xy，xy8，即xy有最小值 64，等号成立的条件是x4，y16.答案 D 4已知p0，q0，pq1，且xp1p，yq1q，则xy的最小值为()A6 B5 C4 D3 解析 由pq1，xyp1pq1q11p1q11p1q(pq)12qppq32qppq5，当且仅当qppq即pq12时取等号，所以 B 选项是正确的 答案 B 5若a1，则a1a1有最_(填“大”或“小”)值，为_ 解析 a1，a10，a11a1(1a)11a2，a11a12，a1a11.当且仅当a0 时取等号 答案 大 1 二、填空题 6已知 0 x0，x，y为变量，a

10、，b为常数，且ab10，axby1，xy的最小值为 18，求a，b.解 xy(xy)axbyabbxyayxab2ab(ab)2，当且仅当bxyayx时取等号 故(xy)min(ab)218，即ab2ab18，又ab10，由可得 a2，b8 或 a8，b2.10(1)已知x0，y0，且 2x8yxy，求xy的最小值 解(1)x3，x30，y0，x80，y2xx8，xyx2xx8x2x1616x8(x8)16x810 2 x816x810 18.当且仅当x816x8，即x12 时，等号成立 xy的最小值是 18.解法二：由 2x8yxy0 及x0，y0，得8x2y1，xy(xy)8x2y 8yx

11、2xy102 8yx2xy10 18.当且仅当8yx2xy，即x2y12 时等号成立，xy的最小值是 18.综合运用 11已知a0，b0，ab2，则y1a4b的最小值是()A.72 B4 C.92 D5 解析 ab2，ab21，1a4b1a4bab2522abb2a5222abb2a92(当且仅当2abb2a，即b2a时，“”成立)，故y1a4b的最小值为92.答案 C 12若xy是正数，则x12y2y12x2的最小值是()A3 B.72 C4 D.92 解析 x12y2y12x2 x2y2141x21y2xyyx x214x2y214y2xyyx 1124.当且仅当xy22或xy22时取等号

12、 答案 C 13若对任意x0，xx23x1a恒成立，则a的取值范围是_ 解析 因为x0，所以x1x2，当且仅当x1 时取等号，所以有xx23x11x1x312315，即xx23x1的最大值为15，故a15.答案 15，14设x1，则函数yx5x2x1的最小值是_ 解析 x1，x10，设x1t0，则xt1，于是有yt4t1tt25t4t t4t52t4t59，当且仅当t4t，即t2 时取等号，此时x1，当x1 时，函数yx5x2x1取得最小值 9.答案 9 15阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为 800 m2的矩形蔬菜温室在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解 设矩形温室的一边长为x m，则另一边长为800 x m(2x200)依题意得种植面积：S(x2)800 x4 8001600 x4x8 8081600 x4x80821600 x4x648，当且仅当1600 x4x，即x20 时，等号成立 即当矩形温室的一边长为 20 m，另一边长为 40 m 时种植面积最大，最大种植面积是 648 m2.