第八章立体几何(文数)第1讲1086.pdf

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1、基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题 1.(2015无锡模拟)若正三棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 1，则此三棱锥的体积为_.解析 该正三棱锥的底面积为34(2)232，高为163233，所以该正三棱锥的体积为13323316.答案 16 2.(2016宿迁模拟)用半径为 2 cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为_cm.解析 用半径为 2 cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥的母线长为 2，底面圆的周长为 2，所以底面圆的半径为 1，则这个圆锥筒的高为2212 3(cm).答案 3 3.如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 1，且 AA1底面 A

2、BC，则三棱锥 B1ABC1的体积为_.解析 三棱锥 B1ABC1的体积等于三棱锥 AB1BC1的体积，三棱锥 AB1BC1的高为32，底面积为12，故其体积为131232312.答案 312 4.(2015盐城模拟)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 4 的半圆面，则该圆锥的体积为_.解析 由圆锥的侧面展开图是面积为 4的半圆面，得该半圆的半径是 2 2，即为圆锥的母线长.半圆周长即为圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为 r，则 2 22r，解得 r 2，所以圆锥的高是 h（2 2）2r2 6，体积是 V13r2h2 63.答案 2 63 5.(2015苏、锡、常、镇四市调研)已知ABC 为等腰

3、直角三角形，斜边 BC 上的中线 AD2，将ABC 沿 AD 折成 60的二面角，连接 BC，则三棱锥 CABD的体积为_.解析 由题意可得CDB60，DCDB，所以DCB 是边长为 2 的等边三角形，且 AD平面 DCB，所以三棱锥 CABD 的体积为13SBCDAD131222sin 6022 33.答案 2 33 6.(2015南京模拟)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 3 cm，圆心角为23的扇形，则此圆锥的高为_cm.解析 设圆锥的底面半径为 r，则 2r323，所以 r1，所以高为32122 2.答案 2 2 7.一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都

4、相等，则该六棱锥的侧面积为_.解析 设六棱锥的高为 h，斜高为 h0.因为该六棱锥的底面是边长为 2 的正六边形，所以底面面积为1222sin 6066 3，则136 3h2 3，得 h1，所以 h0（3）2122，所以该六棱锥的侧面积为1222612.答案 12 8.(2015四川卷)在三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形，设点 M，N，P 分别是 AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥 PA1MN 的体积是_.解析 由题意知还原后的几何体是一个直三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形，高

5、为 1，VPA1MNVA1PMN，又AA1平面 PMN，VA1PMNVAPMN，VAPMN131211212124，故 VPA1MN124.答案 124 二、解答题 9.(2015全国卷)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.解(1)交线围成的正方形 EHGF 如图：(2)作 EMAB，垂足为 M，则 AMA1E4，EB112，EMAA18.因

6、为 EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH EH2EM26，AH10，HB6.故 S 四边形 A1EHA12(410)856，S 四边形 EB1BH12(126)872.因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为97(79也正确).10.如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图 2 所示.(1)求证：BC平面 ACD；(2)求几何体 DABC 的体积.(1)证明 在题图中，可得 ACBC2 2，从而 AC2BC2AB2，故 ACBC，又平面 A

7、DC平面 ABC，平面 ADC平面 ABCAC，BC平面 ABC，BC平面 ACD.(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥 BACD 的高，BC2 2，SACD2，VBACD13SACDBC1322 24 23，由等体积性可知，几何体 DABC 的体积为4 23.能力提升题组(建议用时：20 分钟)11.(2015全国卷改编)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米

8、的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有_斛(保留整数).解析 设圆锥底面半径为 r，因为米堆底部弧长为 8 尺，所以2r8，r16163(尺)，所以米堆的体积为 V1314163253209(立方尺)，又 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，所以该米堆有32091.6222(斛).答案 22 12.(2016南通调研)如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为棱 AA1的中点.若 AA14，AB2，则四棱锥 BACC1D 的体积为_.解析 因为四棱锥 BACC1D 的底面 ACC1D 的面积为12(24)26，高为322 3，所以体积为136 32 3.答案 2

9、 3 13.(2015徐州调研)如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2 cm，高为 5 cm，一质点自 A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1点的最短路线的长为_cm.解析 如图，将三棱柱沿 AA1剪开，可得一矩形，其长为 6 cm，宽为 5 cm，其最短路线为两相等线段之和，其长度等于 25226213(cm).答案 13 14.一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm，高是32 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积.解(1)设 O1、O 分别为正三棱台 ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则 O1O32，过 O1作 O1D1B1C1，ODBC，则 D1D 为三棱台的斜高；过 D1作 D1EAD 于 E，则 D1EO1O32，因 O1D136332，OD366 3，则 DEODO1D1 33232.在 RtD1DE 中，D1D D1E2ED2322322 3(cm).故三棱台的斜高为 3 cm.(2)设 c，c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧12(cc)h12(3336)327 32(cm2)，S表S侧S上S下27 323432346299 34(cm2).故三棱台的侧面积为27 32cm2，表面积为99 34 cm2.