抛物线中的定值、定点问题177.pdf

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1、抛物线中的定值、定点问题 例 1 过抛物线)0(22ppxy的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11yxA，),(22yxB两点，求证：221pyy.【规范解答】证法一：因直线AB过焦点)0,2(pF，可设其方程为2pmyx，代入pxy22 得)2(22pmypy，即.0222ppmyy该方程的两根就2pmyx是两个交点BA,的纵坐标21,yy，由韦达定理：221pyy.证法二：因BA,在抛物线上，故可设).,2(),2(222121ypyBypyA 又)0,2(pF，故),22(121yppyFA),22(222yppyFB因BFA,三点共线，所以 122221)22()22(yppyypp

2、y 移项分解因式得：0)(21221yypyy，其中,21yy 故221pyy.证法三：如图 1，过点FBA,分别作准线的垂线，垂足为.,111FBA要证明221pyy，只要证明.211111FFFBFA 21,1 AAAF；同理.43而011180BFBAFA（AA1BB1），故 01804321，所以.9031001190FBA.由直角三角形的性质得：.211111FFFBFA【回顾】（1）从解题方法来看，对于直线与圆锥曲线相交的问题，一般有“设线”（证法一）和“设点”（证法二）两种选择，但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答（证法三）（特别是与焦点有关的问题）；（2）从解题细节来看，证法

3、一选择设直线方程为2pmyx而非)2(pxky，为什么首先，这样代入可消去x直达目标221pyy，运算便捷；其次，本题中直线可能与y轴平行而斜率不存在，但不可能与y轴垂直，设2pmyx省去了讨论的麻烦；证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有同样的考虑；（3）从知识内容来看，抛物线的方程和定义是解题的依据，韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具，而所证明的结论表明：对于抛物线而言，虽然过焦点的弦有无数条，但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于.2p“寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐！借题发挥 在证法一中若改变 AB 直线的预设并在联立方程中消去 y 后,观察21,xx

4、之积得：变式 1 条件同例 1，则4221pxx=定值。以AB为直径作圆，考察该圆与准线的位置关系得：变式 2 条件同例 1，则以AB为直径的圆与准线相切。设直线AB的倾斜角为，计算AB弦长得:变式 3 条件同例 1，设直线AB的倾斜角为，则2sin2|pAB.（由此立刻得到：当090时焦点弦最短，,2minpAB我们称这条弦为通径）在变式 2 中,计算AOBS得:变式 4 条件如变式 3，则AOBS.sin22p.提示：给出倾斜角为，意味着斜率tank（先验证090时pAB2），设直线AB的方程为)2(pxky代 入pxy22可 得21xx，由 于AB过 焦 点，依 据 抛 物 线 的 定

5、义 可 得 焦 点 弦pxxAB21，代入后化简可得结论.同学们也可以尝试在图 1 中用几何方法证明.结合抛物线定义与韦达定理,研究AF、BF例数之和得：变式 5 条件同例 1，求证：|1|1BFAF为定值p2.将结论视作条件，逆向变式得：变式 6 一条直线与抛物线)0(22ppxy交于),(11yxA，),(22yxB两点，满足：221pyy(或4221pxx)，则这条直线过此抛物线的焦点.我们可以把上面的变式归纳如下：方法点拨 抛物线焦点弦的两端点的横（纵）坐标之积为定值是一个经典结论，若增设已知条件、改变设问方式、变换研究问题视角包括逆向考虑可得很多优美结论.小结论 通径公式：2sin2|pAB 变式 7 一条直线与抛物线)0(22ppxy交于),(11yxA，),(22yxB两点，满足：0OBOA，则这条直线过定点.变式 8 一条直线与抛物线)0(22ppxy交于),(11yxA，),(22yxB两点，满足：2OBOA，则这条直线过定点.