2013年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷和解答1540.pdf

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1、2013 年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（3 月 8 日下午 4：006：00）班级：:姓名：成绩：题号一二三四五合计得分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。一、选择题（本题满分42 分，每小题7 分）本题共有 6 个小题，每题均给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中有且只有一个是正确的。将你选择的答案的代号填在题后的括号内。每小题选对得 7 分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分。1、已知01x，则2x，x，x1的大小关系是（）A、xxx1

2、2B、xxx21C、xxx12D、21xxx2、如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作BPPQ，PQ交CD于Q，若2=CQAP，则正方形ABCD的面积为（）A、246+B、16C、2812+D、323、若实数a，b满足0222=+bab，则a的取值范围是（）A、1aB、1aC、1aD、1a4、如图，在四边形ABCD中，=135B，=120C，6=AB，33=BC，6=CD，则AD边的长为（）A、36B、34C、24D、335、方程7311=+yx的正整数解（x，y）的组数是（）QPACBDACDBA、0B、1C、3D、56、已知实数x，y，z满足1=+yxzxzyzyx

3、，则yxzxzyzyx+222的值是（）A、1B、0C、1D、2二、填空题（本大题满分 28 分，每小题 7 分）1、x是正整数，x表示x的正约数个数，则等于2、草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70 头牛在 24 天内可以吃完这片青草，30头牛在 60 天内可以吃完这片青草，则20 头牛吃完这片青草需要的天数是3、如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，4=AM，3=AN，且=60MAN，则AB的长是4、小明将 1，2，3，n这n个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入（1n）个数，且平均值为 30.75，假设这（1n）个数输入无误，则漏输入的一个数

4、是三、（本大题满分20 分）解方程02|12|2=xx四、（本大题满分25 分）如图，圆内接四边形ABCD中，CDCB=.求证：ADABCBCA=22MNACDB五、（本大题满分 25 分）已知二次函数cbxaxy+=2和一次函数bxy=，其中a、b、c满足cba，0=+cba()Rcba，（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A、B；ACDB（2）过（1）中的两点A、B分别作x轴的垂线，垂足为1A、1B求线段11BA的长的取值范围。EGFQBC ADP2013年全国初中数学联赛（初三组）初试解答一、选择题（本大题满分 42 分，每小题 7 分）1.已知10 x-，则2x-，x，1x的大小关

5、系是（）A 21xxx-B 21xxx-C 21xxx-D 21xxx-解：由10 x-，从而2(1)0 x xxx+=+，所以2xx-，又211(1)(1)0 xxxxxxx-+-=，所以1xx 故选 D 2.如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQBP，PQ交CD于Q，若APCQ2，则正方形ABCD的面积为A 6 4 2+B 16C 1282+D 32解：如图，过P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD，垂足分别为E、F、G易证 RtEPBRtFQPRtFDP，所以FQFDEP2，因此正方形ABCD的边长为2 2 2+，所以面积为2(22 2)1282+=+

6、故选 C 3.若实数a，b满足222 0bab+-+=，则a的取值范围是（）A a-1B a-1C a 1D a 1解：将原式看作为关于b的一元二次方程，则其判别式2(2)4 1(2)0aD=-+?，解得 a-1故选 A 4.如图，在四边形ABCD中，B=135，C=120，AB=6，BC=33-，CD=6，则AD边的长为（）A 63B 43C 42D 33解：过A和D点向BC作垂线，垂足为M和N，那么BM=AM=3，CN=3，DN=33，6MN BM BC CN=+=，所以222()ADMNDN AM=+-=48，所以AD=43 故选 B 5.方程1 137x y+=的正整数解(,)xy的组

7、数是（）A 0B 1C 3D 5解：不妨设0 x y?，则1 1xy，所以3 27y，解得4y 又显然3y，即34y#经验证：3,4yy=均不符合条件所以，符合条件的解的组数为0 组故答案选 A DCABNMDCABQBC ADP6.已知实数,xyz满足1xyzy z z x x y+=+，则222xyzy z z x x y+的值是（）A 1-B 0C 1D 2解：显然0 x y z+?，否则3xyzy z z x x y+=-+由已知得()()xyzx y zx y zy z z x x y+=+即222xyzxyz x y zy zz xx y+=+所以222xyzy z z x x y

8、+0=故选 B 二、填空题（本大题满分28分,每小题7 分）1.x是正整数，x表示x的正约数个数，则等于解：2=，3=，4=，所以32=故填322.草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在 24天内可以吃完这片青草，30 头牛在 60 天内可以吃完这片青草，则 20 头牛吃完这片青草需要的天数是解：设草原上原有草量为a，每天长出量为b，并设 20 头牛在x天内可以吃完这片青草因为一头牛一天的吃草量相等，根据题意可得方程组24607024 306020ababa bxx+=由24607024 3060abab+=得480ab=代入60306020aba bxx+=中，得34801020

9、 xbbx+=，解得96x=故填 963.如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM=4，AN=3，且60MAN?，则AB的长是解：延长AM交DC的延长线于F，则AMBFMC则CF=AB，则NF=32AB，过N作NH垂直AF于H，则AH=1322AN=，332NH=，故3 132 422HF=?=，23313()()722NF=+=所以21433ABNF=故填1434.小明将 1，2，3，n这n个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入(1)n-个数，且平均值 为 30.75，假设这(1)n-个数输入无误，则漏输入的一个数是解：依题意得 1 230.75(1

10、)2 3nnn+?+，MNDACBEDBAC所以230.7522nn+#，即 59.5 61.5n#，所以n=60 或 61因为 30.75(1)n-是整数，所以n=61所以漏输入的数为616230.7560462-?故填 46三、（本大题满分 20 分）解方程2|21|2 0 xx-=解：当12x 时，原方程可化为2(2 1)2 0 xx-=，解得112x=+，212x=-又因为21122x=-，故应舍去 10 分当12x，故应舍去所以原方程的解为12x=+和3x=-20 分四、（本大题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD中，CB=CD，求证：22CA CBAB AD-=?；证明：连结BD

11、、AC交于点E，则BAE CAD?，ABE ACD?，所以ABEACD，5分所以AB ACAE AD=，所以AB AD ACAE?10分又CBE CAB?，BCE ACB?，所以CBECAB，15 分所以CB CACE CB=，所以2CBCA CE=?，20分所以22CBAB AD CA CE CAAE CA+?，所以22CA CBAB AD-=?25分五、（本大题满分25分）已知二次函数2y ax bxc=+和一次函数ybx=-，其中a、b、c满足a b c ，0a b c+=(,abcR)（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A、B；（2）过（1）中的两点A、B分别作x轴的垂线，垂足为A

12、1、B1求线段A1B1的长的取值范围（1）证明：由2y ax bxcybx=+=-消去y得220axbxc+=，2222223444()44()4()24cbaca cacaaccacD=-=-=+=+5 分0a b c+=，a b c ，0a，0c，0D，即两函数的图象有两个不同的交点 10分（2）解：设方程220axbxc+=的两根为1x和2x，则x1+x22ba=-，x1x2ca=15分2221 112121 2|()()4A Bxxxxx x=-=+-2222224444()4()bcbaca cacaaaa-=-=22134()14()24cccaaa=+=+20 分0a b c+=，a b c ，0a，0c-，解得122ca-3 21 1|A B12，故3 1 1|A B2325分