初中数学数学名师丢番图15720.pdf

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1、 丢番图 丢番图(Diophantus of Alexandria)公元 250 年前后活跃于亚历山大教学 丢番图生存的年代，是根据下面的记载来确定的在他的著作多角数(De polygonis numeris)中，引用了许普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria，约公元前 175 年)关于多角数的定义，而赛翁(Theon of Alexandria)的书又引用丢番图的著作这样界定的上、下限是公元前 175 年到公元 390 年另外，MC普赛勒斯(Psellus，1018约 1078)写过一封信，提到阿纳托利厄斯(Anatolius，约公元 280 年)将他所著的关于埃及计算方

2、法的小册子献给丢番图，因此两人应同时代或丢番图稍早 据此断定丢番图的活跃时期是公元 250 年前后 丢番图将他的杰作算术(Arithmetica)献给迪奥尼修斯(Dionysius)历史上用这一个名字的有好几个，估计这一个是亚历山大的迪奥尼修斯，他是当地的主教在任主教(公元 247 年)之前，曾在那里建立基督教学校(从公元 231 年起)丢番图的算术可能就是为这些学校编写的教科书这种推想是合情合理的，年代也和前面所说的一致 关于丢番图的生平，还有一则别开生面的记载在一本希腊诗文选(The Greek anthology)中，收录了丢番图奇特的墓志铭：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录

3、了所经历的道路 上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛 五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓 悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途 这相当于方程 x=84由此知他享年 84 岁 丢番图的著作 确实知道他有两种著作，一是算术，大部分保存了下来；另一种是多角数，只有少部分留下来还有两种书，一是推论集(Porismata)它只是在算术中几次提到，可能是若干数论问题的汇编，独立成册，也可能是附属在算术中的失传部分此外，伊安布利霍斯(lamblichus，约公元 250约 330 年)所著尼科马霍斯算术评注

4、一书的注释者还提到丢番图另外一本书分数算法(Moriastica)，它记载了分数计算的法则，可惜已失传 丢番图的算术是一部划时代的著作，它在历史上影响之大可以和欧几里得几何原本(Elements)一比高下这书的序中说，全书共分 13 卷可是现在见到的希腊文本只有6 卷长期以来，大家都认为其余的 7 卷早在 10 世纪以前已经失传5 世纪时希帕提娅(Hypatia)注释这部书，只注了 6 卷，也许这正是其余部分被人忽视终致失传的原因 近年来，发现 4 卷阿拉伯文本，改变了传统的看法1973 年，G图默(Toomer)获悉在马什哈德圣地(Mashhad Shrine)图书馆有一本阿拉伯文手抄本，经

5、过研究，确认为算术的失传部分(但还不全)这是由古斯塔伊本卢加(Qust ibn Lq，活跃于 860 年前后)译成阿拉伯文的后来 J塞夏诺(Sesiano)将它译成英文并加以详细注释(见6)经过反复推敲，塞夏诺指出这 4 卷在算术中原来的位置应该是紧接着希腊文本卷 1，2，3 的卷 4，5，6，7，而希腊文的其余部分应是卷 8，9，10 下面将按这新的顺序编排来介绍它的内容 原来的 6 卷希腊文本，最初是 J雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，14361476)发现的 1464年 2 月 15 日，他写信给 L 比安基(Bianchi)，提到他在威尼斯找到了丢番图的 算术，从此西方学术界

6、才知道有 6 卷希腊文手抄本流传下来最早的拉丁文译本是 G克胥兰德(Xylander，15321576)的“Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(亚历山大的丢番图算术 6 卷，多角数 1 卷)以后又有 CG巴歇(Bachet de Mziriac，15811638)校订注释的希腊-拉丁文对照本“Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex，et de numeris multangulis liber u

7、nus”(亚历山大的丢番图算术 6 卷，多角数 1 卷)关于这个译本，有一段饶有趣味的历史1637 年左右，Pde 费马(Fermat，16011665)读到这译本第 2 卷第 8 题：“将一个平方数分为两个平方数”时，在书页的空白处写出了著名的“费马大定理”1670 年费马的儿子 Sde 费马(Fermat)将他父亲的全部批注插入正文，重新出版巴歇的希-拉对照本近代，不包括新发现 4 卷的“丢番图全集”，标准的版本是 P 唐内里(Tannery，18431904，法国数学史家)编辑、校订的希-拉对照本“Diophanti Alexandrini opera omnia cum Graecis

8、 mentariis”(亚历山大的丢番图全集，包括希腊文注释)最流行的英译本是 TL 希思(Heath，18611940)的“Diophantus of Alexandria，A Study in the history of Greek algebra(亚历山大的丢番图，希腊代数学史研究)此外，还有德、法、英、俄及现代希腊语等多种译本 代数学的特征 希腊时代“算术”(arithmetica)一词，主要指“数的理论”而言，大致相当于现在的“数论”而数字的加、减、乘、除等运算则叫做“计算的技巧”(logistica)，和前者有明显的区别这种分法从毕达哥拉斯时代开始，一直延续到近代，例如 CF高斯

9、(Gauss)的数论名著就叫做算术研究(Disquisitiones Arithmeticae，1801)丢番图算术也是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程现在对于具有整系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支不过丢番图并不要求解答是整数而只要求是正有理数 从另一个角度看，算术一书也可以归入代数学的范围代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算，根据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知数算术也有未知数，这未知数一般就是问题的答案，一切运算只允许对已知数来施行在代数中既然要对未知数加以运算，就需要用某种

10、符号来表示它就引入未知数，创设未知数符号以及建立方程的思想(虽然未有现代方程的形式)这几方面来看，丢番图算术完全可以算得上是代数当时代数学没有专门的名称，algebra 是 9 世纪花拉子米(alKhowarizmi)以后才出现的名称，而且直到 17 世纪还没被欧洲人普遍接受 丢番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的他被后人称为“代数学之父”也是有一定道理的 希腊数学自毕达哥拉斯学派以后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命他才是可靠的为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣，一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入僵硬的几何模式之中直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几 何

11、的羁绊例如，(ab)2=a2+2abb2 的关系在欧几里得几何原本中是一条重要的几何定理(卷命题 4)，而在丢番图算术中只是简单代数运算法则的必然结果 下面通过一个例子来说明丢番图解决问题的手法卷第 20 题：求两数，使得任一数的平方加上另一数等于一个平方数(10，p101)这相当于不定方程 x2+y=m2 y2+x=n2 要求所有的未知数 x，y，m，n 都是正有理数 丢番图只设一个未知数，也只使用一个未知数的符号，这是他的特点之一，今暂记作x其余的未知数根据问题的具体条件用含 x 的一个简单式子表示出来本例的条件是 x2加上另一个未知数等于一个平方数，故可设这个未知数是 2x+1，因为 x

12、2+2x+1 正好是一个完全平方其次，还应该满足 (2x+1)2+x=平方数 丢番图设右端是(2x-2)2，显然是想使展开后左右两端相同的 4x2 项 -2 是怎样来的？不妨先令右端是(2x+a)2=4x2+4ax+a2，原文很简单，没有说明这样设未知数的理由，更没有给出一般的法则他虽然知道问题有多个答案，但常常得到一个答案就已满足他认为代数方法(可理解为一种倒推法，先假设未知数存在，列出方程然后求解)比几何的演绎陈述更适宜于解决问题解题的过程中显示出高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜有的数学史家说，如果丢番图的著作不是用希腊文写的，人们就不会想到这是希腊人的成果，因为看不出有古典希腊数

13、学的风格，从思想方法到整个科目结构都是全新的 如果没有丢番图的工作，也许人们以为希腊人完全不懂代数有人甚至猜想他是希腊化了的巴比伦人 代数符号 GHF内塞尔曼(Nesselmann，18111881)根据符号使用的情况，将代数学分为三类(见12，pp301306)：(1)文词代数(rhetorische algebra)，完全用文字来叙述而不用符号；(2)简字代数(synkopierte algebra)；(3)符号代数(symbolischealgebra)，除了个别地方，一切全用符号来表示按照这个分类，丢番图算术应该属于第二类符号的使用，在数学史上是一件大事一套优良的符号，绝不仅仅是起到加

14、快速度、节省时间的作用，它能够准确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系一个较复杂的式子，如果不用符号而日常语言来表述，会十分冗长而含混不清符号的发明在数学史上是一次飞跃，也是代数的特征之一，其作用是不容低估的丢番图创设了一些符号，多半采自相应文字的字头，而问题的叙述主要仍然是用文字，和现代的符号代数相去甚远，只可算是较原始的简字代数 号来表示它 由于丢番图本人的原始手稿早已失传，后人传抄的手稿上这个符号又不很统一，故很难确知他用的是什么符号不过几种手稿都 记数法系统是用字母表数，如，分别表示 1，2，3，4；，分别表示 10，20，30，40，；，分别表示 100，200，300，400，等等

15、，24 个字母 值得注意的是，在一份大约写于 2 世纪的纸草书上，也出现和丢番图未知数相类似的符号，上面所列的三个算题，解题方法也具有丢番图的风格可以想象，丢番图的工作不是孤立的，他受到强烈的外来影响 丢番图所处理的问题大部分是多元的，但他只设一个未知数的符号，相当于现在的 x 而和 x2，x3，x4 相当的各次幂，都有专门的名称和符号：名称 符号 符号是名称的缩写，注意，是字母，的大写这些乘幂的倒数也有专名和符号，6 次以上的幂不再创设符号未知数的系数 相乘的法则：“缺乏乘以缺乏得到存在；缺乏乘以存在得到缺乏”，即负乘负得正，负乘正得负，由于没有加号，书写时所有的负项都放在减号的后面，如 x

16、3-5x2+8x-1 写成 原意是“属于部分”，相当于“除以”或分数线/)，接着写分母例如卷 10(原希腊文本卷 6)第 19 题，将 (2x33x2x)/(x2+2x+1)写成 这已非常接近现代方程的形式最后一个符号 表示数字 6，是希腊字母表以外的记号，读作 digamma 丢番图创用符号是一大进步，美中不足的是只用符号表示一个未知数，遇到多个未知数时仍用同一符号，这使得计算过程越来越晦涩为了避免混淆，不得不运用高度的技巧，但这常常使方法失去普遍性89 世纪以后，阿拉伯人吸取了许多希腊人的成果，然而却没有看到符号的优点，花拉子米等人完全回到文词代数上去，这是历史上的倒退 算术的典型问题和解

17、答 (一)一、二、三次方程算术没有系统地给出一、二次方程的解法大概是一元一次方程太简单，没有必要单独论述，实际它已包含在 axn=b 类型的方程之中经过移项、消去等手续，有些问题化为这类方程之后，立即得到解答不管答案有几个，丢番图仅满足于一个答案他完全排斥负数解答，例如卷 9(原希腊文本卷 5)第 2 题最后化为 4=4x+20，他认为是荒谬的无理数的解答也不取。如卷 7 第 31 题，最后得 3x18=5x2，他说这方程是不合理的，还反过来考虑怎样改变系数，才使得答案“合理”(即为有理数)对于答案 x=0也是弃之而不顾 关于二次方程，丢番图在序言中就说过要给出完整的解法，但在现存的各章中均未

18、见到，很可能恰好写在失传的部分或别的什么地方 另一种意见认为二次方程的解法早已为巴比伦人所知，可以作为阅读本书的预备知识，不必另作介绍(6，p76)不管怎样，书中确实出现了若干二次方程或可归结为二次方程的问题，希思就列举了十 几个例子，其中包括二次不等式这些例子足以说明丢番图熟练掌握了二次方程的求根公式当然仍然是限于正有理根有的学者认为他不知道二次方程可能有两个根，这是很难令人相信的不过他始终只取一个根，如果有两个正根，他就取较大的一个 较简单的例子如第 1 卷 27 题：两数之和是 20，积是 96，求这两数解法是：设两数分别是 10+x，10-x，于是(10+x)(10-x)=102-x2

19、=96，x2=4x=2，两数是 12，8 卷 1 第 28 题：两数之和是 20，平方和是 208，求这两数同样设两数是 10+x，10-x，则(10+x)2+(10-x)2=208，x=2，两数是 12，8 较复杂的含一次项的例子如8卷31题，最后得到325x2=3x+18；应有两根x=6/25，-3/13，只取正根，负根不提 更复杂一点的例子是卷 9 第 10 题，导致不等式 17x2+1772x19x2+19，相当于不等式组 正确的答案应该是 1x2，2x1，其中 是方程 17x2-72x17=0 的两个根 是方程 19x2-72x+19=0 的两个根 遇到两个正根的时候，丢番图只取较大

20、的，故只取2x1，对于无理数，则取近似值但要保证 x 落在区间(2，1)内，2 只能取过剩近似，而1 只能取不足的丢番图将 分子的小数部分略去，均取不足近似值，给出答案 这里可以看到丢番图的局限性用现代的理论，要找出较好的答案是不难的，例如可取 全书唯一的一个三次方程，出现在卷 10(原希腊文本卷 6)第 17 题：求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一立方数 这相当于 其中 a，b，c 是三边 a=2，b=x，而 c=M2-x，暂设为 16-x，于是周长 abc=16-x2x=18，但 18 不是立方数 仍假设它是一个平方数加 2，现改变这个平方数，使它加 2 后成

21、为立方数即找两个数 M，N，满足 M22=N3现设 M=m1，N=m-1，代入得 m2+2m+3=m3-3m2+3m-1 于是有 m=4 他显然省略了下面的步骤，合并同类项，得 4m2+4=m3+m 约去因子 m2+1 由此知 M2=25，N=27仍设面积为 x，而将斜边改为 25-x，a=2，b=x，根据勾股定理 x2-50 x+625=x2+4，即得 在算术遗失的章节中是否还有三次方程的专门论述，不得而知 (二)不定方程 例 1 卷 2 第 8 题：将一个已知的平方数分为两个平方数 例如将 16 分成两个平方数 设一个平方数是 x2，那么另一个是 16-x2，现要求 16-x2 是一平方数

22、即 16-x2=M2 不妨设 M=mx-4，其中 m 是某一整数，而 4 是 16 的平方根例如令 m=2，于是 16-x2=4x2-16x+16，立刻得到 前面已经提到，费马对这一命题很感兴趣，在旁边的空白处写下著名的“费马大定理”例 2、卷 4(阿拉伯文本)第 3 题：求两个平方数，使其和是一个立方数(见 6，pp 89，286)设较小的平方数是 x2，较大的平方数是 4x2，其和 5x2 必须是立方数 M3，不妨设 M 是 x的某一倍数，比方说就设它是 x，于是 5x2=x3，x=5所求的两个平方数是 25 和 100，其和等于 53=125 丢番图照例不说明所作假设的理由，更不给出一般

23、的解答，既然是不定方程，找到一个答案就算完结本例实际上可作更一般的假设设 给出一般的解，是极个别的情形如 8 卷 39 题，由方程 3x2+12x 6 倍增加 12，除以数的平方与 3 的差 例 3高阶不定方程卷 8 第 18 题：求两数，使得第一数的立方加上第二数是一个立方数，而第二数的平方加第一数是一个平方数相当于联立不定方程 设第一数是 x，则第二数是一个立数 M3 减去 x3，暂设这个立方数是 8，第二数是 8-x3，它的平方加上第一数是 64-16x3+x4+x=N2 可设 N 是三次式 x3+8，因为展开后即将 x4 及常数 64 消去合并同类项后得 x=32x3，约去 x 得 x

24、2=1/32这不是一个平方数(平方根不是有理的)，问题仍未得到解决 观察 32 的来源，它是 228 的结果，而 8 是开头暂设的立方数 M3，设法改变 M 的值，使 4M3=平方数，不妨令这平方数是 16M2，于是 4M3=16M2，M=4 仍设第一数为 x，重新设第二数为 64-x3，它的平方加上第一数 4096-128x3+x4+x=(x3+64)2，丢番图的方法 现存的算术以问题集的形式收录了 290 个题目，其中希腊文本 189 个，阿拉伯文本101 个，此外还有十几个引理和推论，合起来共三百多个问题大体上按由易到难排列，但很难看得出是用什么标准来分类的解题的方法更是五花八门，没有一

25、定的法则数学史家H汉克尔(Hankel，18391873)说：“近代数学家研究了丢番图的 100 个题后，去解 101个题，仍然感到困难丢番图使人眼花缭乱甚于使人欣喜”(见15，p165；16，p36)这话稍嫌夸张，却抓住了问题的要害丢番图没有着力去探求一般性的解法，或去深究丰富多采的解法之间的内在联系，这是算术的最大缺点 有两件事自始至终防碍他取得普遍性的方法首先，他只用一个符号表示未知数，遇到多个未知数时，不得不用“第一个、第二个、第三个、”或“大的、中的、小的”等词句去表达 在多数的情况下令那些未知数取得具体的数值，于是使问题特殊化而得不到普遍的解答其次，没有创用符号去表示数(如现在的

26、n，a，b，c，一样)，因此所有的解法都是针对具体数字而设的，对一般的数就不一定适合，这样当然得不到一般的解法 尽管如此，后人仍然从中摸索出若干常用的方法，下面仅举几个简单的例，以见一斑 (1)利用一些恒等式，如 可使两数的积与和、差互化如卷 2 第 11 题：求一数，使其加上 2 是一平方数，加上3 也是平方数即 (2)两数和为已知数 M，或两数一大一小，通常设这两数是 Mx，M-x，然后使其满足其他条件如前面举过的卷 1 第 28 题 (3)算术除卷 1 外，其余的几乎全是不定方程，特别是牵涉到平方数、立方数常出现一个或多个这种类型的方程：Ax2+Bx+C=M2 可设 M 是 x 的一次式

27、，适当选择系数使展开后可消去二次项或常数项 (4)使问题特殊化为了减少未知数的个数，先令某些未知数取满足一定条件的具体数值，以后不合适时再改变原先的假设 (5)近似法令未知数取某种类型的数值，且满足一定条件，这样先求出近似答案，并在计算过程中发现求得正确答案的途径 以卷 9 第 9 题为例：将 1 分为两部分，使一个已知数加上任何一部分都是平方数 设这个已知数是 6，问题于是转化为将 13 分为两个平方数，使每一个平方数都6，即13=M2 N2，M26，N26 (3-9x)2+(211x)2=13，丢番图没有进一步推广，实际上，如设 (3-mx)2+(2+nx)2=13，选择 m，n，使满足

28、数和是 1，每一个加上 6 都是平方数如令 m=13，n=16，则得另一组 其他著作 丢番图的多角数只残存一部分，它证明的方式纯粹是几何的，倒很接近古典希腊的风格，而和算术迥然不同多角数(polygonal number)是形数(figurate number)的一种用点子表示数，可以构成各种平面或立体图形，这个数叫做形数如 6 个点构成一个三角形，6 就是三角数 同样，1，5，12，22，35，都是五角数，如 22 个点构成一个正五角形，它的边是 4(每边有 4 个点，用 n 表示这个数)，角数是 5(用 a 表示)n，a 与总的点数 P 之间有公式联系起来：多角数是一个古老的课题，源出于毕

29、达哥拉斯，后经菲利波斯(Philippos，公元前 360年前后)、斯皮尤西波斯(Speusippus，公元前 340 年前后)等人研究上述公式是许普西克勒斯(公元前 175 年前后)给出的，丢番图在多角数中加以引用并推广，还建立了其他的公式 另一本著作 推论集 载有若干数论的引理及推论，可以看作 算术 的一部分或补充 来源及影响 从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期没有留下什么数学典籍，所以现在的了解是不够的巴比伦人在代数方面(如二次方程、不定方程)有很高的成就，丢番图的技巧和他们颇有相似之处例如 S甘兹(Gandz)指出，算术卷 2 第 10 题(将已知数分为二个平方数之

30、差)已在巴比伦的泥板上见到见17，pp1314)丢番图常满足于问题的解决(得到一个解)而不去追求方程的全部解，算术与其说是代数教科书，不如说是一本问题集，这些地方都和巴比伦数学相仿他的工作有时被说成是“盛开的巴比伦代数的花朵”不管丢番图受到巴比伦人的多少影响，他毕竟大大超越了前人，在数论和代数领域作出了杰出的贡献，开辟了广阔的研究道路如系统地使用了符号，深入讨论了抽象的数而不是埃及、巴比伦数学中具体的麦粒数目、田亩的面积或货币的单位这是人类思想上一次不寻常的飞跃，不过这种飞跃在早期希腊数学中已出现巴比伦人曾致力于将三次方程化为n3+n2=a 的形式，以便借助数表去求近似解，而丢番图的兴趣是求精

31、确的有理数解在多方面显示出惊人的睿智和独创性 8，9 世纪以后，丢番图的著作传到阿拉伯国家，产生巨大的影响，出现多种翻译和注释本 如凯拉吉(al-Karaj或alKarkh，活动于1020前后)的代数著作 发赫里(al-Fakhr)就直接引用算术前 3 卷的若干题目在欧洲，L斐波那契(Fibonacci，约 1170约1250，意大利人)的算盘书(Liber abaci，1202)最早载有丢番图类型的问题，他显然是通过阿拉伯文本去熟悉丢番图的近代数学家如费马、F韦达(Vieta)、欧拉、高斯等也都受到丢番图的许多启发，各自取得巨大的成就总而言之，丢番图的算术虽然有许多不 足之处，但瑕不掩瑜，它仍不失为一部承前启后的划时代著作