图形14879.pdf

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1、 直线型面积计算（1）ABCDadhabchhbacbaaba面积=12ACBD周长=4a面积=12(a+b)h周长=a+b+c+d面积=ah周长=2(a+b)面积=12ah周长=a+b+c面积=a2周长=4a面积=ab周长=2(a+b)菱形梯形平行四边形三角形正方形长方形面积公式周长公式图形名称 对于三角形的面积计算，我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，下面就是我们小学奥数常用的三条性质：【例 1】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积 HGFEDCBAH

2、GFEDCBA【分析】本 题是等底等高的两个三角形面积相等的应用 连接BH、CH AEEB，SSAEHBEH 同理，SSBFHCFH，S=SCGHDGH，11SS562822阴影长方形ABCD（平方厘米）铺垫你有多少种方法将任意一个三角形分成：2个面积相等的三角形；3个面积相等的三角形；4个面积相等的三角形 分析 如右图，D、E、F分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；DCBAEABCFCBA 如右图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点；答案不唯一；等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们

3、的高之比；夹在一组平行线之间的等积变形，如BCDACDSS；反之，如果BCDACDSS，则可知直线AB平行于CD DCBA EDABCFCBADGDABC 如下图，答案不唯一，以下仅供参考(5)(4)(3)(2)(1)【例 2】如图，三角形ABC的面积为1，其中3AEAB，2BDBC，三角形BDE的面积是多少？EDCBAEDCBA【分析】连 接CE 3AEAB，2BEAB，2BCEACBSS 又2BDBC，244BDEBCEABCSSS 【例 3】如图，三角形ABC中，2DCBD，3CEAE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【分析】3CEAE，4ACAE

4、,4ADCADESS;又2DCBD,32BCDC,361202ABCADCADESSS（平方厘米）铺垫如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？乙甲EDCBAABCDE 分析 连 接AD 3BE,6AE，13BEAB,13BDEABDSS 又4BDDC,12ABDABCSS,1136BDEABDABCSSS,15SS乙甲 拓展如图，在三角形ABC中，8BC 厘米，6AD 厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？FECBAFEDCBA 分析 F是AC的中点,12ABFABCSS，同理12BEFABFSS

5、，111866442BEFABCSS（平方厘米）【例 4】如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB；延长BC至E，使2CEBC；延长CA至F，使3AFAC，求三角形DEF的面积 FEDCBAABCDEF【分析】本 题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）连接AE、CD S1S1S1ABCABCDBC，S1DBC 同理可得其它，最后三角形DEF的面积18 拓展如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形ABCD的面积 HGFEDCBAABCDEFGH 分析 连 接BD.设1DCBSS，

6、2DABSS CBBF，2CDFCDBCDBCBBFSSSCB,又DCCG,12CFGCDFSSS，同理22AEHSS，2CFGAEHABCDSSS 连接AC，同理2HDGBEFABCDSSS 5EFGHCFGAEHHDGBEFABCDABCDSSSSSSS，111355ABCDEFGHSS（平方米）拓展如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？FEDCBAFEDCBA 分析 连 接对角线AE ADEF是长方形 12ADEAEFADEFSSS 38ADBADESDBDES，12ACFAEFSFCEFS 58BEDEDBDE

7、DE，12CEFECFEFEF 1515162822BECS 132ABCADEFADBACFCBESSSSS 拓展如图，长方形ABCD中，:2:3BEEC，:1:2DFFC，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积 ABCDEFGABCDEFG 分析 连 接AE，FE 因为:2:3BE EC，:1:2DFFC，所以3111()53210DEFABCDABCDSSS长方形长方形 因为12AEDABCDSS长方形，11:5:12 10AG GF，所以510AGDGDFSS，所以12AFDS因为16AFDABCDSS长方形，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米 【例 5】（第八届小

8、数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DFFC，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等已知梯形ABCD的面积是32平方厘米求图中阴影部分的面积 ABCDEF甲乙丙【分析】因 为乙、丙两个三角形面积相等，底DFFC所以A到CD的距离与E到CD的距离相等，即AE与CD平行，四边形ADCE是平行四边形，阴影部分的面积平行四边形ADCE的面积的12，所以阴影部分的面积乙的面积2从而阴影部分的面积23212.85（平方厘米）拓展如图，在平行四边形ABCD中，BEEC，2CFFD求阴影面积与空白面积的比 HABCDEFG 分析 因 为BEEC，2CFFD，所以14ABE

9、ABCDSS四边形，16ADFABCDSS四边形 因为2ADBE，所以2AGGE，所以11312BGEABEABCDSSS四边形，2136ABGABEABCDSSS四边形 同理可得，18ADHABCDSS四边形，124DHFABCDSS四边形 因为12B C DA B C DSS四边形，所以空白部分的面积111112()21224683ABCDABCDSS四边形四边形，所以阴影部分的面积是13A B C DS四边形 1 2:1:23 3，所以阴影面积与空白面积的比是1:2 【例 6】如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等 GFEDCBAGFEDCBA【分析】本

10、 题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 证明：连接BE（我们通过ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起）在平行四边形ABCD中，12ABESABAB边上的高，1SS2ABGABCD（也就是等积变换的重要依据的特殊情况）同理，1SS2ABEAEGF，平行四边形ABCD与AEGF面积相等 拓展如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？ABGCEFDABGCEFD 分析 本 题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）

11、三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 证明：连接AG.（我们通过ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）在正方形ABCD中，G12ABSABAB边上的高，1SS2ABGABCD（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，1SS2ABGEFGB 正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形的宽88106.4（厘米）【例 7】如图，正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，求图中三角形BFD的面积为多少平方厘米？HGFEDCBAHGFEDCBA【分析】连 接CF BD，CF都是正方形的对角线 45DBCFCE，BDCF BFD与BCD同底等高，11

12、010502BFDBCDSS(平方厘米)【例 8】（03年西城某重点中学小升初分班考题）右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积 G4ABCDEFG4ABCDEF【分析】这 道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系连接AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等因为三角形AGD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG与三角形GCD面积仍然相等根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形

13、BCD的面积，等于4428 拓展（小学数学夏令营五年级组试题）如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积 ABCDEFHG 分析 通 常求三角形的面积，都是先求它的底和高题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求 直接找三角形HDC与三角形AFH的关系还很难，而且也没有利用“四边形ABCD和四边形DEFG是正方形”这一条件我们不妨将它们都补上梯形DEFH这一块寻找新得到大三角形CEF和大直角梯形DEFA之间的关系经过验算，可以知道它们的面积是相等的从而得到三角形HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米

14、【例 9】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若1ADES，求BEF 的面积 ABCDEFABCDEF 分析 本 题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思想.连接AC ABCD，ADEACESS 同理ADBC，ACFABFSS 又ACFACEAEFSSS，ABFBEFAEFSSS，ACEBEFSS，即 1BEFADESS 【例10】（小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，ABCD是74的长方形，DEFG是102的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差【分析】直 接求出三角形BCO与三角形EFO

15、的面积之差，不太容易做到如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了 法1：连结BE（见右图）三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差 所求为4(107)22(107)23 法2：连结CF（见右图）三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差 所求为4(107)22(107)23 法3：延长BC交GF于H（见右图）三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面

16、积之差 所求为(42)(107)22(107)3 法4：延长AB，FE交于H（见右图）三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差所求为4(107)(4 【例11】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49那么图中阴影部分的面积是多少？OABCDEFGOABCDEFGOABCDEFGHOABCDEFGHOABCDEFG ABCDE493513【分析】三 角形ABC的面积三角形CDE的面积(133549)长方形面积阴影部分面积；又因为三角形ABC的面积三角形CDE的面积12长方形面积，所以可得：阴影部

17、分面积13354997 1 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果24AB 厘米，8BC 厘米，求三角形ZCY的面积 ABCDZY【分析】Y是BD的中点，Z是DY的中点，1122ZYDB，14ZCYDCBSS，又ABCD是长方形，11124442ZCYDCBABCDSSS(平方厘米)2 如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？ABCDEABCDE【分析】连 接BE.13AEEC 13ABEABCSS.又15ADAB11515ADEABEABCSSS，1515ABCADESS.3 两个正方形组成

18、右图所示的组合图形已知组合图形的周长是52厘米，4DG 厘米，求阴影部分的面积 GFEDCBA【分析】组 合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于(524)316（厘米）又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长(164)210（厘米），小正方形边长(164)26（厘米）阴影部分面积410266238BDGBFGSS（平方厘米）4 在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四

19、边形ABCD的面积 ABCDEFG 分析 因 为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米，所以平行四边形ABCD的面积等于10821050平方厘米 5 右图中，4CAAB厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米，求CD的长 ABCDE【分析】连 结CB三角形DCB的面积为44226平方厘米，6243CD 厘米 直线型面积计算（2）在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那

20、些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S4S3S2S1ODCBA 1243:SSSS或者1324SSSS 1243:AO OCSSSS 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系 模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：ABCDObaS3S2S1S4 2213:SSab 221324:SSSSabab ab；S的对应份数为2ab 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的

21、渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果 模型三：相似三角形性质：GFEABCD ABCDEFG ADAEDEAFABACBCAG；22:ADEABCSSAFAG：所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关 的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化

22、的工具 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形 【例 9】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形BGC的面积；:AG GC？ABCDG321【分析】根据蝴蝶定理，123BGCS，那么6BGCS；根据蝴蝶定理，:12:361:3AG GC 【例 10】(2006 年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD的ABCD，对角线AC，BD交于O，已知AOB与BOC的面积分别为 25 平方厘米与 35 平方厘米，那么梯形ABCD的面积是_平方厘米 3525OABCD【分析】根据梯形蝴蝶定理，2:25:35AOBBOCSSaab，可得:5:

23、7a b，再根据梯形蝴蝶定理，2222:5:725:49AOBDOCSSab，所以49DOCS(平方厘米)那么梯形ABCD的面积为25353549144(平方厘米)铺垫梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为 2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的23，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比 OABCD 分析 根 据梯形蝴蝶定理，2:2:3AOBBOCSSab b，可以求出:2:3a b，再根据梯形蝴蝶定理，2222:2:34:9AODBOCSSab 通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一

24、定要牢记几何模型的结论 【例 11】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的_倍 ABCDOHGABCDO【分析】在 本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种“不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型 靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个“不良四边形”，于

25、是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题 解法一：:1:3ABDBDCAO OCSS，236OC，:6:32:1OC OD 解法二：作AHBD于H，CGBD于G 13ABDBCDSS，13AHCG，13AODDOCSS，13AOCO，236OC，:6:32:1OC OD 【例 12】在边长为 1 的正方形ABCD中，2BEEC，2DFFC求四边形ABGD的面积 ABCDEFGABCDEFG【分析】题 目要求四边形ABGD的面

26、积，可以发现这个四边形是个“不良四边形”，需要对它进行改造通常在一个四边形中画辅助线，会想到画对角线，又注意到E、F都是三等分点，如果连接EF，因为EFBD，则可以构造一个梯形，从而应用梯形蝴蝶定理快速求解 因为2BEEC，2DFFC，所以:3:1BD EF 根据梯形蝴蝶定理可以知道，等腰梯形BDFE四部分面积比为1:3:3:9；而等腰梯形BDFE的面积为：111141 122339 ，所以9113394BDGBDFESS，得1131 1244ABGDADBBDGSSS 【例 13】如图，正方形ABCD面积为 1，M是AD边上的中点求图中阴影部分的面积 GMDCBA【分析】因 为M是AD边上的

27、中点，所以12AM，可得34AMCBS梯形，由于:1:2AMBC，根据梯形蝴蝶定理可以知道 22:1:12:12:21:2:2:4AMGABGMCGBCGSSSS（）（），所以阴影部分面积占梯形面积的22412249，所以341493S阴影 【例 14】如图，在长方形ABCD中，6AB，2AD，AEEFFB，求阴影部分的面积 BCADEFOBCADEFO【分析】如 图，连接DE，DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为26322 由 于:1:3E FD C，根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理，:3:1DEOEFOSS，所 以34DEODEFSS，而2D E FA D ESS，所

28、以321.54DEOS，阴影部分的面积为21.53.5 相似三角形性质【例 7】在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，CDO的面积是ABO面积的几倍？ABCDOEFABCDO【分析】连 接BC，易知OAEF，根据相似三角形性质，可知:OB ODAEAD，且:1:2OA BEDA DE，所以CDO的面积等于CBO的面积；由1124OABEAC可得3COOA，所以3CDOCBOABOSSS，即CDO的面积是ABO面积的3 倍 【例 8】如图，线段AB与BC垂直，已知4ADEC，6BDBE，那么图中阴影部分面积是多少？EABCDEABCDOEABCDO【分析】解 法一：这个图是个对称图形，

29、且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看 作辅助线BO，则图形关于BO对称，有ADOCEOSS，DBOEBOSS，且:4:62:3ADODBOSS 设ADO的面积为2 份，则DBO的面积为3 份，直角三角形ABE的面积为8 份 因为610230ABES，而阴影部分的面积为4 份，所以阴影部分的面积为308415 解 法 二：连 接DE、AC 由 于4ADEC，6BDBE，所 以DEAC，根 据 相 似 三 角 形 性 质，可 知:6:103:5DEACBD BA，根据梯形蝴蝶定理，22:3:35:35:59:15:15:25DOEDOACOECOASSSS，所以:1515:915152

30、515:32ADECSS阴影梯形，即1532ADECSS阴影梯形；又11101066=3222ADECS梯形，所以151532ADECSS阴影梯形 【例 9】右图中正方形的面积为 1，E、F分别为AB、BD的中点，13GCFC求阴影部分的面积 ABCDEFGIHABCDEFG【分析】题 中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质 阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积 可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I 根据相似三角形性质，:1:3CI CHCG CF，又因为C

31、HHB，所以:1:6CI CB，即:61:65:6BIBC，所以115522624BGES 【例10】如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，已知5AHcm，3HFcm，求AG ABCDEFGHO【分析】由 于ABDF，利用相似三角形性质可以得到:5:3AB DFAHHF，又因为E为AD中点，那么有:1:2OE FD，所以3:5:10:32AB OE，利用相似三角形性质可以得到:10:3AG GOAB OE，而1153422AOAFcm，所以104041313AGcm 【例11】ABCD是平行四边形，面积为 72 平方厘米，E、F分

32、别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米 OMABCDEFHGOMABCDEF【分析】注 意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质 设G、H分别为AD、DC的中点，连接GH、EF、BD 可得1=4AEDABCDSS平行四边形，对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段，又OMEF，所以23:2:344DO EDBDBD，:32:31:3OE EDEDODED，所以 11117263434AEOABCDSS平行四边形(平方厘米)，212ADOAEOSS(平方厘米)同理可得6CFMS平方厘米，12CDMS平方厘米 所以 366624ABCAEOCFMSSS(平方厘米)，于是，

33、阴影部分的面积为24121248(平方厘米)练习 5 (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知1AO，并且35ABDCBD三角形的面积三角形的面积，那么OC的长是多少？ABCDO【分析】根 据蝴蝶定理，ABDAOCBDCO三角形的面积三角形的面积，所以35AOCO，又1AO，所以53CO 6 如图，梯形ABCD中，AOB、COD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积 ODCBA【分析】根 据梯形蝴蝶定理，22:4:9AOBACODSSab，所以:2:3a b，2:3:2AODAOBSSab ab a，31.21.82AODCOBSS，1.21.81.8

34、2.77.5ABCDS梯形 7 已知三角形ABC的面积为a，:2:1AFFC，E是BD的中点，且EFBC，交CD于G，求阴影部分的面积 ABCDEGF【分析】已 知:2:1A FF C，且EFBC，利 用 相 似 三 角 形 性 质 可 知:2:3EFBCAFAC，所 以23EFBC，且:4:9A E FA B CSS 又因为E是BD的中点，所以EG是三角形DBC的中位线，那么12EGBC，12:3:423EG EF，所以:1:4GFEF，可得:1:8CFGAFESS，所以:1:18CFGABCSS，那么18CFGaS 8 在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为 1平方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米 ABCDEF【分析】根 据相似三角形性质可知:1:2EFAFBEAD，所以33ABEBEFSS(平方厘米)，那么412ABCDABESS(平方厘米)