通用版高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题7解析几何第31练直线与圆锥曲线的综合4653.pdf

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1、 1 通用版高考数学考前 3 个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题7解析几何第31练直线与圆锥曲线的综合问题文 题型分析高考展望 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果 预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类

2、和存在性问题考查的概率也很高 体验高考 1.(2015江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为 3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|2|AB|，求直线AB的方程 解(1)由题意，得ca22且ca2c3，解得a 2，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为x22y21.(2)当ABx轴时，AB 2，又CP3，不合题意 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2 将AB的方程代入椭圆方程

3、，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1,22k2 21k212k2，C的坐标为2k212k2，k12k2，且 ABx2x12y2y121k2x2x12 2 21k212k2.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意 从而k0，故直线PC的方程为 yk12k21kx2k212k2，则P点的坐标为2，5k22k12k2，从而PC23k211k2|k|12k2.因为|PC|2|AB|，所以23k211k2|k|12k24 21k212k2，解得k1.此时直线AB的方程为yx1 或yx1.2(2016浙江)如图，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴

4、的距离等于|AF|1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围 解(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x1 的距离，由抛物线的定义得p21，即p2.(2)由(1)得，抛物线方程为y24x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t0，t1.因为AF不垂直于y轴，3 可设直线AF：xsy1(s0)，由 y24x，xsy1消去x得y24sy40.故y1y24，所以B1t2，2t.又直线AB的斜率为2tt21，故直线FN的斜率为t212t，从而得直线FN：yt212t(x1)，

5、直线BN：y2t.所以Nt23t21，2t.设M(m,0)，由A，M，N三点共线得2tt2m2t2tt2t23t21，于是m2t2t21，所以m0 或m2.经检验，m0 或m2 满足题意 综上，点M的横坐标的取值范围是(，0)(2，)3(2016四川)已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P3，12在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|MB|MC|MD|.(1)解 由已知，得a2b，又椭圆x2a2y2b21(ab0)过点

6、P3，12，故34b214b21，解得b21.所以椭圆E的方程是x24y21.(2)证明 设直线l的方程为y12xm(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)4 由方程组 x24y21，y12xm，得x22mx2m220，方程的判别式为4m24(2m22)，由0，即 2m20，解得 2m0)，其离心率为22.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线l过点P(0,4)，则直线l何时与椭圆M相交？解(1)因为椭圆M的离心率为22，5 所以4b24222，得b22.所以椭圆M的方程为x24y221.(2)过点P(0,4)的直线l垂直于x轴时，直线l与椭圆M相交 过点P(0,4)的直线l与x轴不垂直时，可

7、设直线l的方程为ykx4.由 ykx4，x24y221消去y，得(12k2)x216kx280.因为直线l与椭圆M相交，所以(16k)24(12k2)2816(2k27)0，解得k142.综上，当直线l垂直于x轴或直线l的斜率的取值范围为，142142，时，直线l与椭圆M相交 点评 对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同 变式训练 1(2015安徽)设椭圆E的方程为x2a2y2b21(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(

8、a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为510.(1)求椭圆E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求E的方程 解(1)由题设条件知，点M的坐标为23a，13b，又kOM510，从而b2a510，进而得a 5b，ca2b22b，故eca2 55.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为x5byb1，点N的坐标为 6 52b，12b.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为x1，72，则线段NS的中点T的坐标为54bx12，14b74.又点T在直线AB上，且kNSkA

9、B1，从而有 54bx125b14b74b1，7212bx152b 5，解得b3.所以a3 5，故椭圆E的方程为x245y291.题型二 直线与圆锥曲线的弦的问题 例 2 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的两个焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，过点E(a2c，0)的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1AF2B，|F1A|2|F2B|.(1)求椭圆的离心率；(2)求直线AB的斜率 解(1)由F1AF2B，且|F1A|2|F2B|，得|EF2|EF1|F2B|F1A|12，从而a2cca2cc12，整理，得a23c2，故离心率e33.(2)由(1)得b2a2c22c2，所以椭圆的

10、方程可写为 2x23y26c2，设直线AB的方程为yk(xa2c)，即yk(x3c)由已知设A(x1，y1)，B(x2，y2)，7 则它们的坐标满足方程组 ykx3c，2x23y26c2消去y并整理，得(23k2)x218k2cx27k2c26c20，依题意，48c2(13k2)0，得33kb0)的左，右焦点，过F1且斜率为 1 的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求椭圆E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求椭圆E的方程 解(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB|43a，l的方程为y

11、xc，其中ca2b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组 yxc，x2a2y2b21消去y，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x22a2ca2b2，x1x2a2c2b2a2b2.8 因为直线AB的斜率为 1，所以|AB|2|x2x1|2x1x224x1x2，即43a4ab2a2b2，故a22b2，所以E的离心率ecaa2b2a22.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知 x0 x1x22a2ca2b22c3，y0 x0cc3.由|PA|PB|，得kPN1，即y01x01，得c3，从而a3 2，b3.故椭圆E的方程为x218y29

12、1.高考题型精练 1(2015北京)已知椭圆C：x23y23，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x3 交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由 解(1)椭圆C的标准方程为x23y21，所以a 3，b1，c 2.所以椭圆C的离心率eca63.(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，y1)，直线AE的方程为y1(1y1)(x2)，令x3，得M(3,2y1)，所以直线BM的斜率kBM2y1y1311.(3)直线BM与直线DE平行，证

13、明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM1.又因为直线DE的斜率kDE10211，9 所以BMDE，当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk(x1)(k1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y1y11x12(x2)令x3，得点M3，y1x13x12，由 x23y23，ykx1，得(13k2)x26k2x3k230，所以x1x26k213k2，x1x23k2313k2，直线BM的斜率kBMy1x13x12y23x2，因为kBM1 kx11x13kx21x123x2x123x2x12 k1x1x22x1x233x2x12 k13k2313k212k213k233x

14、2x120，所以kBM1kDE.所以BMDE，综上可知，直线BM与直线DE平行 2(2016课标全国甲)已知A是椭圆E：x24y231 的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当 2|AM|AN|时，证明：3k0，由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4.又A(2,0)，因此直线AM的方程为yx2.将xy2 代入x24y231 得 7y212y0，10 解得y0 或y127，所以y1127.因此AMN的面积SAMN21212712714449.(2)证明 将直线AM的方程yk(x2)(k0)代入x24

15、y231 得(34k2)x216k2x16k2120，由x1(2)16k21234k2得x1234k234k2，故|AM|x12|1k212 1k234k2.由题设，直线AN的方程为y1k(x2)，故同理可得|AN|12k1k23k24.由 2|AM|AN|，得234k2k3k24，即 4k36k23k80，设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点，f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)单调递增，又f(3)15 3260，因此f(t)在(0，)有唯一的零点，且零点k在(3，2)内，所以 3k0)到直线l：xy20 的距离为3 22.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值 解(1)依题意知|c2|23 22，c0，解得c1.所以抛物线C的方程为x24y.(2)由y14x2得y12x，