第十八章全国通用版中考数学：《平行四边形》几何证明与计算(二)—解析版17256.pdf

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1、第十八章专题：平行四边形几何证明与计算（二）1.如图，在菱形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O已知 BC=2OC，BF=EF，G 为 CE 中点，连接FG，AG（1）若 CE=8，ACE=ACB，求 AB；（2）求证：FG=AG 4133【解答】（1）解：延长 EF 与 BC 交于点 K菱形 ABCD，ACBD，BC=2OC，OBC=30，EBF=30，BEF=30，ABC=60，EKB=90，ACB=60ACE=ACB=60=15，ECK=45，4141在 RtCKE 中，EK=CK=CE=84，22222在 RtEKB 中，BK=EK433332364BC=CK+BK4+，即 AB=

2、4+；23642364（2）证明：延长 FG 至点 H，使 GH=FG，连接 CH，AHG 为 CE 中点，EG=GC，在EFG 与CHG 中，FGGH，EGFCGH，EGGC，EFGCHG（SAS），EF=CH，CHG=EFG，CH=BF，CHEF，由（1）可知EBC=60，EKB=90，BCD=120，HCB=90，ACH=BCD-HCB=120-90=30，ABF=ACH，在AFB 与AHC 中，ABAC，ABFACH，BFCH，AFBAHC（SAS），AF=AH，BAF=CAHFG=GH，AGFG，FAG=HAGBAC=BAF+FAC=60，CAH+FAC=60，即FAH=60，FAG

3、=HAG=30，FGAG 332.如图所示，在菱形 ABCD 中，AC 是对角线，CD=CE，连接 DE（1）若 AC=16，CD=10，求 DE 的长（2）G 是 BC 上一点，若 GC=GF=CH 且 CHGF，垂足为 P，求证：DH=CF 2【解答】（1）解：连接 BD 交 AC 于 K四边形 ABCD 是菱形，ACBD，AK=CK=8，在 RtAKD 中，DK=6，CD=CE，EK=CE-CK=10-8=2，在 RtDKE 中，DE=210（2）证明：过 H 作 HQCD 于 Q，过 G 作 GJCD 于 JCHGF，GJF=CQH=GPC=90，QCH=JGF，CH=GF，CQHGJ

4、F（AAS），QH=CJ，GC=GF，QCH=JGF=CGJ，CJ=FJ=CF，21GC=CH，CHG=CGH，CDH+QCH=HGJ+CGJ，CDH=HGJ，GJF=CQH=GPC=90，CDH=HGJ=45，DH=QH，DH=2QH=CF 223.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作 DEAC 且 DE=AC，连接21CE、OE，连接 AE 交 OD 于点 F（1）求证：OE=CD；（2）若菱形 ABCD 的边长为 2，ABC=60求 AE 的长【解答】（1）证明：在菱形 ABCD 中，OC=ACDE=OC21DEAC，四边形 OCED 是平行四边形ACB

5、D，平行四边形 OCED 是矩形OE=CD（2）在菱形 ABCD 中，ABC=60，AC=AB=2在矩形 OCED 中，CE=OD3在 RtACE 中，AE=74.如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，O 为 AC、BD 的中点，AB=10，AC=16，BD=12（1）四边形 ABCD 是什么特殊的四边形？请证明；（2）点 P 在 AO 上，点 Q 在 DO 上，且 AP=2OQ若 PQ=BQ，求 AP 的长【解答】（1）四边形 ABCD 是菱形O 为 AC、BD 的中点，OA=OC=AC=8，OB=OD=BD=62121四边形 ABCD 为平行四边形AO2+BO2=1

6、00，AB2=100AO2+BO2=AB2AOB=90四边形 ABCD 为平行四边形，AOB=90，四边形 ABCD 是菱形（2）设 OQ=x，则 AP=2x，OP=8-2x，BQ=6+xPOQ=90，PQ2=OP2+OQ2，又PQ=BQ，PQ2=BQ2，（6+x）2=（8-2x）2+x2，解得：x1，x229311293-11又8x0，AP=2x=93-115.如图，已知菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，BAD=45，DEBC 于点 E，交 AC 于点 F，点G 是 BC 的中点，连接 FG，过点 C 作 CMCD 交 FG 的延长线于点 M（1）若菱形 ABCD 的周长为 12，求菱形

7、 ABCD 的面积；（2）求证：CM+2EF=BC【解答】（1）解：菱形 ABCD 的周长为 12，BC=CD=3，BCD=BAD=45，DEBC，CDE 是等腰直角三角形，CE=DE=CD=，菱形 ABCD 的面积=BCDE=；22223229（2）证明：连接 BF，如图所示：四边形 ABCD 是菱形，BAF=DAF，AB=AD=BC=CD，ADBC，ABCD，DEBC，DEAD，ADF=90，在ABF 和ADF 中 ABAD，BAFDAF，AFAF，ABFADF（SAS），ABF=ADF=90，BF=DF，BFAB，CMCD，BFCM，GFB=M，点 G 是 BC 的中点，BG=CG，在B

8、FG 和CMG 中，BFGM，BGFCGM，BGCG，BFGCMG（AAS），BF=CM，CM=BF=DF，BFCM，BCD=45，CMCD，GBF=GCM=90-45=45，BEF 是等腰直角三角形，BE=EF，CM+2EF=DF+EF+BE=DE+BE=BC 6.如图，在菱形 ABCD 中，B=120，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且满足 CE=CF，连接EF（1）若 CE=1，AB=3，求 AF 的长（2）取 AF 的中点 G，连接 EG、DG，求证：EGDG【解答】（1）解：过 F 作 FHAD 于 H，如图 1 所示：则H=90，四边形 ABCD 是菱形，ADC=B=120，

9、AD=CD=BC=AB=3，FDH=60，DFH=30，CF=CE=1，DF=CD-CF=2，DH=DF=1，FH=DH=，AH=AD+DH=4，2133在 RtAFH 中，由勾股定理得：AF=；19（2）证明：延长 DG 交 AB 于 M，连接 ED、EM，如图 2 所示：四边形 ABCD 是菱形，B=120，ABCD，C=60，MAG=DFG，G 是 AF 的中点，AG=FG，在AMG 和FDG 中，MAGDFGAGFG，AGMFGD，AMGFDG（ASA），AM=FD，MG=DG，BM=CF，CE=CF，CEF 是等边三角形，EF=CF，CFE=60，BM=EF，EFD=120，在BEM 和FDE 中，BEFD BEFD120 BMEF，BEMFDE（SAS），EM=ED，MG=DG，EGDG