49电大考试题25385.pdf

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1、 高等代数专题研究期末练习 下面给出高等代数专题研究两组练习，供期末复习练习参考。模拟练习之一 一、单项的选择题(每小题 3 分，本题共 15 分)1.令 Q是正有理数集，若规定2baba，则()(A)是代数运算且满足结合律 (B)是代数运算，但不满足结合律 (C)不是 Q上的代数运算 (D)(A),(B),(C)都不对 2.域 F 有无穷多个元素，域 F 上的多项式Faaxaxaxfinnnn,.)(011，则()(A)f(x)在域 F 上至少有一个根 (B)f(x)在域 F 上最多有 n 个根 (C)f(x)在域 F 上没有根 (D)f(x)在域 F 上恰有 n 个根 3.虚数1i是有理数

2、域上的()(A)代数元 (B)超越元 (C)可逆元 (D)既约元 4.若 Dn表示 n 个数码的扰乱排列总数，则 Dn()(A)Dn1+Dn2 (B)nDn1 (C)(n1)(Dn1+Dn2)(D)n(Dn1+Dn2)5.整系数多项式0.011axaxannnn的有理数根pq，(p,q)=1，则()(A)pan，qan (B)pa0，qa0 (C)pan，qa0 (D)pa0，qan 二、填空题(每小题 3 分，本题共 15 分)6.自然数 a 与 b 的加法定义所满足的两个条件是 7.函数 f(x)是上凸函数的定义为 8.整环 R 中的元素 p 是 R 中的不可约元素，则 p，p 不是可逆元

3、，由 p=ab 9.由 5 个元素取 7 个的可重复组合数是 10.整数环 Z 上的多项式0111.)(axaxaxaxfnnnn为本原多项式，则 (an,an1,a1,a0)三、简述题(每小题 7 分，共 14 分)11.试给出一个从整数集 Z 到自然数集 N 的的单映射，但不是满映射 12.试给出一个从整数集 Z 到自然数集 N 的的双射 三、计算题(每小题 10，本题共 40 分)13.设 x，y，z 是正实数，且 xyz=10，求 2x+3y+4z 的极小值 14.求(x+y+z)6展开合并同类项后共有多少项，并指出项 x2y3z 的系数 15.求从 1 到 2 000 的自然数中能被

4、 5 或 7 或 11 整除的自然数个数 16.从 n 个数码 1,2,n 中取 k(2n)个数码，但不允许取两个连续数码(如 1，2 不能连续取)，求共有多少种取法 四、证明题(每小题 10 分，本题共 20 分)17.设kmkRm,2Z，证明集合 R 对于普通数的加法和乘法构成一个整环 18.利用反归纳法证明：n 个正数的算术平均值大于等于这 n 个正数的几何平均值，即 iinnnxxxxxnxxx,0(.2121R)模拟练习之二 一、单项选择题(每小题 3 分，本题共 15 分)1.整环中元素 c 是不可约元素，则()(A)c，c可逆元素 (B)c，c可逆元素，cabca 或 cb (C

5、)c，c可逆元素，caba 可逆或b 可逆 (D)c=且 c 是可逆元素 2.函数 f(x)=n+1 是整数集合 Z 到自然数集合 N 的()(A)单映射 (B)满映射 (C)双射 (D)恒等映射 3.是有理数域上的()(A)超越元 (B)代数元 (C)可逆元 (D)不可约元 4.设1，2，3是区间0，上的三个数，则()(A)321321sinsinsin)sin(B)321321sinsinsin)sin(C)sinsin(sin313sin321321(D)sinsin(sin313sin321321 5.设 d(x)是 f(x)和 f(x)的公因式，则()(A)d(x)是 f(x)的二重

6、因式 (B)d(x)是 f(x)单因式 (C)d(x)是 f(x)的三重因式 (D)d(x)是 f(x)k 重因式 二、填空题(每小题 3 分，本题共 15 分)6.自然数加法定义为 7.若 d 是 a 和 b 的最大公因式，则 d 应满足的两个条件为 8.掷两颗骰子一共有多少种不同情况 9.n 个数码 1，2，,n 的扰乱排列总数是 10.反归纳定理为 三、简述题(每小题 7 分，共 14 分)11.空集合的幂集是空集合码？应该是什么？12.在模 12 的剩余类环 Z12中哪些元素是可逆元素 三、计算题(每小题 10，本题共 40 分)13.求012x在剩余类环 Z12中的根 14.求(x+

7、y+zt)10展开合并同类项后共有多少项，并指出项 x5y2z3的系数 15.上 11 个台阶，如果每次只能走一阶或二阶，问有多少种不同走法 16.设kmkRm,2Z，求出 R 中所有可逆元素和不可约元素 四、证明题(每小题 10 分，本题共 20 分)17.证明在整环 R 中任意两个元素都有最大公因式且对 R 中的三个元素 a，b，c，若(a,b)1，(a,c)1，则(a,bc)1 18.如果域 F 含有无限个元素，求证 Fx上两个多项式 f(x)和 g(x)相等，从代数的观点和函数的观点是一致的 模拟练习之一解答 一、单项选择题 1.B 2.B 3.A 4.C 5.C 二、填空题 6.a+

8、1=a；a+b=(a+b)7.q1+q2=1,q10，q20，f(q1x1+q2x2)q1f(x1)+q2f(x2)8.a 为可逆元或 b 为可逆元 9.711C 10.1 三、简述题 11.如032022)(nnnnnf(nN)，(不惟一)12.如12122)(nnnnnf(nN)，(不惟一)四、计算题 13.因为 x，y，z0，所以 3333240244323432xyzzyxzyx 所以 2x+3y+4z 的极小值是3306 14.共有28278286136CC；x2y3z 系数为60!1!2!3!6 15.设 A能被 5 整除的自然数，B能被 7 整除的自然数 C能被 11 整除的自然

9、数则 181112000,28572000,40052000CBA，361152000,271172000,57752000CACBBA，511752000CBA 所以，CBACBACACBBACBA 4002851815727365751 16.用 f(n,k)该数，f(n,k)=f(n1,k)+f(n2,k1)，f(n,k)=kknC1 参考原教材 P152：定理 5.1 五、证明题 17.易知 R 对于数的加法和乘法封闭 )(20ZmRm，在 R 中有零元),(22ZmkkRkmm，即存在负元素，满足结合律，且对满足分配律 存在R0211,),(221122ZmkkkkRkmmmm，总之

10、，R 是整环 18.当 n=2,4,8,2m时命题正确 设命题对 n=k 时正确，即kxxxSkk.21 则kSxxxSkkk11211.，所以 kkkkSxxxS11211.，即 12111.kkkxxxS 因而 11211.kkkxxxS，所以命题对一切自然数成立 模拟练习之二解答 一、单项选择题 1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 二、填空题 6.a+1=a；a+b=(a+b)7.da，db，a,b 的公因式d 8.21 种 9.)!1)1(.!31!2111(!nnn 10.无限个自然数满足定理；k 成立k1 成立 三、简述题 11.不是应为 P()=12.在 Z12中11,7,5

11、,1是可逆元素 四、计算题 13.7,5,1xxx是方程的根 14.共有2866111213313101410CC；x5y2z3系数为5202!3!2!5!10 15.对台阶作归纳 当 n=0 时，f(0)=1；当 n=1 时，f(1)=1；当 n=2 时，f(2)=2=f(1)+f(0),当 n=3 时，f(3)=3=f(2)+f(1)；一般地，f(n)=f(f1)f(n2)f(4)=5；f(5)=8；f(6)=13；f(7)=21；f(8)=34；f(9)=55；f(10)=89；f(11)=144 走完 11 个台阶可以有 144 种不同走法 16.R 中的可逆元素是m21；R 中的不可约元素为mp2，p 为不等于 2 的素数 五、证明题 17.由于(a,b)1(ac，bc)c所以，有 1(a，c)(a，(ac，bc)(a,，ac)，bc)1(a(1，c)，bc)(a，bc)18.设0111.)(axaxaxaxfnnnn，0111.)(bxbxbxbxgnnnn )()(.)()()()(0011111baxbaxbaxbaxgxfnnnnnn0，从函数的观点，f(x)g(x)有无数个根，但 f(x)g(x)最多有 n 个根，所以 ),.,1,0(0nibaii 所以，从代数上 f(x)=g(x)，即 ai=bi(i=0,1,2,n)所以，它们一致.