2020年初三上学期数学预习知识点总结44835.pdf
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1、1初三数学知识点总结二次函数知识点:1.定义:一般地,如果cbacbxaxy,(2是常数,)0a,那么y叫做x的二次函数.2.二次函数2axy 的性质(1)抛物线2axy)(0a的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.(2)函数2axy 的图像与a的符号关系.10a时抛物线开口向上顶点为其最低点;当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成:khxay2的形式,其中abackabh4422,.5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:2axy;kaxy2;2hxay;khxay2;cbxaxy2
2、.6.抛物线的五要素:开口方向、对称轴、顶点、与 x 轴交点、与 y 轴交点.a决定抛物线的开口方向:当0a时,开口向上;当0a时,开口向下;a相等,抛物线的开口大小、形状相同;a越大,开口越小。平行于y轴(或重合)的直线记作hx.特别地,y轴记作直线0 x.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:abacabxacbxaxy442222,顶点是),(abacab4422,对称轴是直线abx2.2(2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为 khxay2的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是hx.(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛
3、物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.抛物线与 x 轴有无交点的判定情况抛物线与 y 轴的交点(c,0)用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失9.抛物线cbxaxy2中,cba,的作用(1)a决定开口方向及开口大小,这与2axy 中的a完全一样.(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2,故:0b时,对称轴为y轴;0ab(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;0ab(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.(左同右异)(3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0 x时,cy,抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一
4、个交点(0,c):0c,抛物线经过原点;0c,与y轴交于正半轴;0c,与y轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则0ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy 当0a时开口向上当0a时开口向下0 x(y轴)(0,0)kaxy20 x(y轴)(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422,)311.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式:cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.(2)顶点式:khxay2.已知图像的顶点或对称
5、轴,通常选择顶点式.(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标1x、2x,通常选用交点式:21xxxxay.12.直线与抛物线的交点(1)与y轴平行的直线hx 与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).(2)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是kcbxax2的两个实数根.(3)一次函数 0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点,由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定:方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个
6、交点;方程组无解时l与G没有交点.(4)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为 0021,xBxA,由 于1x、2x是 方 程02cbxax的 两 个 根,故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB44422212212212113二次函数与一元二次方程的关系:(1)一元二次方程cbxaxy2就是二次函数cbxaxy2当函数 y 的值为0时的情况(2)二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当0y时自变量x的值,即一元二次方程02cbx
7、ax的根(3)当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有两个交点时,则一元二次方程cbxaxy2有两个不相等的实数根;当二次函数cbxaxy2的图象与4x轴有一个交点时,则一元二次方程02cbxax有两个相等的实数根;当二 次 函 数cbxaxy2的 图 象 与x轴 没 有 交 点 时,则 一 元 二 次 方 程02cbxax没有实数根14、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后,得到的解析式是2yaxbxc;2ya xhk关于x轴对称后,得到的解析式是2ya xhk;2.关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后,得
8、到的解析式是2yaxbxc;2ya xhk关于y轴对称后,得到的解析式是2ya xhk;3.关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后,得到的解析式是2yaxbxc;2ya xhk关于原点对称后,得到的解析式是2ya xhk;4.关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180)2yaxbxc关于顶点对称后,得到的解析式是222byaxbxca;2ya xhk关于顶点对称后,得到的解析式是2ya xhk 5.关于点mn,对称2ya xhk关于点mn,对称后,得到的解析式是222ya xhmnk 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达
9、式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式15.二次函数的应用:(1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值;(2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间5的二次函数关系;运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值15.解决实际问题时的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理
10、性,对问题加以拓展等重难点:二次函数的图像与性质,二次函数与一元二次方程的关系,用二次函数解决实际问题。考点:二次函数在中考中占有很重要的地位,是中考中的必考内容。中考的主要命题点为:(1)求二次函数的关系式(2)抛物线的顶点、开口方向和对称轴(3)二次函数的最大(小)值(4)抛物线2yaxbxc(a0)与a,b,c 的符号(5)二次函数与一元二次方程(6)二次函数的简单实际问题等。题型主要有选择题、填空题、解答题,还有探究题和开放题。有关二次函数的热点问题仍然是函数型应用题与方程、几何知识、三角函数等知识综合在一起的综合题、探究题和开放题。圆的基本性质知识点:1.圆的有关概念(1)圆心、半圆
11、、同心圆、等圆、弦与弧。(2)直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。2.圆周角与圆心角(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。(2)圆周角与半圆或直径:半圆或直径所对的圆周角是直角;90圆周角所对的弦是圆的直径。(3)圆周角与半圆或等弧:同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。3.圆的对称性(1)圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。6(2)圆的旋转不变性:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其他各组量分别相等。(3)圆的轴对称性:经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的
12、基础。垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为:如果有一条直线,1.垂直于弦;2.经过圆心;3.平分弦(非直径);4.平分弦所对的优弧;5.平分弦所对的劣弧,同时具备其中任意两个条件,那么就可以得到其他三个结论。4.弧长及扇形的面积弧长公式:圆弧是圆的一部分,若将圆周分为 360 份,1的圆心角所对的弧是圆周长的1360,因为半径为 r 的圆周长是 2r,所以 n的圆心角所对的弧长l的计算公式为2360180nnrlr(其中,l为弧长,n 为弧所对的圆心角度数,r 为弧所在圆的半径)扇形的面积公式:1 扇形的定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇
13、形,如图,AB和半径 OA、OB所组成的图形是一个扇形,读作扇形 OAB2扇形的周长扇形的周长等于弧长与两半径的长之和,即2RABll扇形3扇形是圆面的一部分,若将半径为 r 的圆分为 360 份,圆心角 1的扇形面积是圆面积的1360,因为半径为 r 的圆的面积是2r,所以半径为r,圆心角为 n的扇形面积为2360nrS4弧长为l,半径为 r 的扇形面积为21136021802nrnrSrlr 5扇形面积的应用(求圆的一部分的面积):75.圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图,设圆锥的母线长为 l,底面圆的半径为 r,那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长 l,扇形的
14、弧长即为底面圆的周长 2r,根据扇形面积公式可知 S212rlrl因此圆锥的侧面积为S侧rl圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积,全面积为 S全=r2+rl重点:1.弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系。2.用尺规作图法对不在同一直线上的三个点作圆。3.垂径定理。(重中之重:“垂直于弦的直径平分弦和弧”经常考)4.扇形弧长和面积、圆锥侧面积和体积的计算。难点:1.对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中的存在性和唯一性的理解2.圆锥侧面积计算公式的推导过程需要较强的空间想像能力3.类似蚂蚁爬圆锥的计算问题。4.有关圆的无图多解问题。考点:1垂直于弦的直径2圆周角定理及其推论3 圆内
15、接四边形4 圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系5 圆的性质综合题相似三角形知识点:1相似图形形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.2比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段ba,的长度分别为nm,,那么就说这两条线段的比是nmba,或写成nmba:注意:在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位8在四条线段dcba,中,如果ba 和的比等于dc 和的比,那么这四条线段dcba,叫做成比例线段,简称比例线段注意:(1)当两个比例式的每一项都对应相同,两个比例式才是同一比例式(2)比例线段是有顺序的,如果说a是dcb,的第四比例项,那么应得比例式
16、为:adcb3比例的性质基本性质:(1)bcaddcba:;(2)bacbcca2:注意:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bcad,除了可化为dcba:,还可化为dbca:,badc:,cadb:,cdab:,bdac:,abcd:,acbd:更比性质(交换比例的内项或外项):()()()a bc da cd cb db ad bc a,交换内项,交换外项 同时交换内外项反比性质(把比的前项、后项交换):cdabdcba合比性质:ddcbbadcba注意:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立如:dcd
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