2020年高考数学一轮复习知识点总结：数列与三角函数45012.pdf

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1、12020 年高考数学一轮复习知识点总结数列与三角函数数列考试内容：数列等差数列及其通项公式等差数列前n 项和公式等比数列及其通项公式等比数列前n 项和公式考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题03.数列知识要点数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项2等差数列等比数列定义daann 1)0(1qqaann递 推公式

2、daann 1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通 项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaA（0,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,*knNkn）等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前n项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前n项和31.等差、等比数列：等差数列等比数列定义常数）为(1daaPAannn常数）为(1qaaPGannn通 项公式na=1a+（n-1）d=ka+（n-k）d=dn+1a-dknknnqaqaa11求 和公式ndanddnnnaaansnn)2(22)1(2)

3、(1211)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnasnnn中 项公式A=2ba 推 广：2na=mnmnaaabG 2。推广：mnmnnaaa2性质1若m+n=p+q则qpnmaaaa若 m+n=p+q，则qpnmaaaa。2 若nk成 A.P（其中Nkn）则nka也为 A.P。若nk成等比数列（其中Nkn），则nka成等比数列。前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重 要性质),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm43 nnnnnsssss232,成等差数列。nnnnns

4、ssss232,成 等 比 数列。4)(11nmnmaanaadnmn11aaqnn，mnmnaaq)(nm5看数列是不是等差数列有以下三种方法：),2(1为常数dndaann211nnnaaa(2n)bknan(kn,为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：)0,2(1且为常数qnqaann112nnnaaa(2n，011nnnaaa)注：i.acb，是a、b、c成等比的双非条件，即acb a、b、c等比数列.ii.acb（ac0）为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.acb 为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.acb 且0ac为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不

5、一定有等比中项，除非有ac0，则等比中项一定有两个.nncqa(qc,为非零常数).5正数列na成等比的充要条件是数列nxalog（1x）成等比数列.数列na的前n项和nS与通项na的关系：)2()1(111nssnasannn注：danddnaan111（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为 0，则是等差数列充分条件）.等差na前n项和ndandBnAnSn221222d可以为零也可不为零为等差的充要条件若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2.等差数列依

6、次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍.,232kkkkkSSSSS；若等差数列的项数为 2 Nnn，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；若等差数列的项数为 Nnn 12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇得到所求项数到代入12 nn.3.常用公式：1+2+3+n=21nn 61213212222nnnn 2213213333nnn注：熟悉常用通项：9，99，999，110 nna；5，55，555，11095nna.4.等比数列的前n项和公式的常见应用题：6生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为r1.其中

7、第n年产量为1)1(nra，且过n年后总产量为：.)1(1)1()1(.)1()1(12rraarararaann银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为nra)1(元.因此，第二年年初可存款：)1(.)1()1()1(101112rararara=)1(1)1(1)1(12rrra.分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.1111111.11121mmmmmmmrrarxrrxraxrxrxrxra5.数列常见的几种形式：nnnqapaa12（p、q为二阶常数）用特证根方法求解

8、.具体步骤：写出特征方程qPxx2（2x对应2na，x对应1na），并设二根21,xx若21xx可设nnnxcxca2211.，若21xx可设nnxncca121)(；由初始值21,aa确定21,cc.rPaann 1（P、r为常数）用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数n转化为nnnqaPaa12的形式，再用特征根方法求na；121nnPcca（公式法），21,cc由21,aa确定.转化等差，等比：1)(11PrxxPxPaaxaPxannnn.7选代法：rrPaPrPaannn)(21xPxaPrPPraannn1111)(1)1(rrPaPnnPr211.用特征方程求解：相减，rPaa

9、rPaannnn111na1111nnnnnnPaaPaPaPaa）（.由选代法推导结果：PrPPracPcaPracPrcnnn111111112121）（，.6.几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为nS，在0d时，有最大值.如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法：一是求使0,01nnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值.如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：,.21)12,.(413,211nn 两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差

10、数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21dd，的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n2 的任意自然数,验证)(11nnnnaaaa为同一常数。(2)通项公式8法。(3)中项公式法:验证212nnnaaaNnaaannn)(221都成立。3.在等差数列na中,有关 Sn的最值问题：(1)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数 m使得ms取最大值.(2)当1a0时，满足001mmaa的项数 m 使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转

11、化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于 1nnaac其中na是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于 nnba其中na是等差数列，nb是各项不为 0 的等比数列。4.倒序相加法:类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.5.常用结论1）:1+2+3+.+n=2)1(nn2）1+3+5+.+(2n-1)=2n3）2333)1(2121nnn4）)12)(1(613212222nnnn5）111)1(1nnnn)211(21)2(1nnnn96）)()11(11qpqppqpq高中数学第四章-三角函数考试内容：角的概念的推广弧度制任意角

12、的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数 y=Asin(x+)的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角正弦定理余弦定理斜三角形解法考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式（4）能正确运用三角公式，进

13、行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(x+)的简图，理解A.10、的物理意义（6）会 由 已 知 三 角 函 数 值 求 角，并 会 用 符 号arcsinxarc-cosxarctanx表示（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形（8）“同角三角函数基本关系式：sin2+cos2=1，sin/cos=tan,tancos=1”04.三角函数知识要点1.与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：Zkk,360|终边在x轴上的角的集合：Zkk,180|终边在y

14、轴上的角的集合：Zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|终边在y=x轴上的角的集合：Zkk,45180|终边在xy 轴上的角的集合：Zkk,45180|若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：k360若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：180360 k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360kyxSINCOS三角函数值大小关系图sinxcosx1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosx112.角度与弧度的互换关系：360=2180=

15、1=0.017451=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧 度与 角度 互换 公式：1rad 180 57.30=57 1811800.01745（rad）3、弧长公式：rl|.扇形面积公式：211|22slrr扇形4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）P与原点的距离为 r，则rysin；rxcos；xytan；yxcot；xrsec；.yrcsc.5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割-+-+正弦、余割oooxyxyxy6、三角函数线正弦线：MP;余弦线：OM;正切线

16、：AT.7.三角函数的定义域：三角函数定义域)(xfsinxRxx|roxya的终边P（x,y)TMAOPxy12)(xfcosxRxx|)(xftanxZkkxRxx,21|且)(xfcotxZkkxRxx,|且)(xfsecxZkkxRxx,21|且)(xfcscxZkkxRxx,|且8、同角三角函数的基本关系式：tancossincotsincos1cottan1sincsc1cossec1cossin221tansec221cotcsc229、诱导公式：2k把的三角函数化为 的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组二公式组三xxkxxkxxkx

17、xkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式组四公式组五公式组六xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(（二）角与角之间的互换13公式组一公式组二sinsincoscos)cos(cossin22sinsinsincoscos)cos(2222sin211cos2sincos

18、2cossincoscossin)sin(2tan1tan22tansincoscossin)sin(2cos12sintantan1tantan)tan(2cos12costantan1tantan)tan(公 式 组 三公 式 组 四公式组五2tan12tan2sin22tan12tan1cos222tan12tan2tan242675cos15sin,42615cos75sin,3275cot15tan,3215cot75tan.coscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsin2sin2cos2

19、sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscossincos1cos1sincos1cos12tansin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(1410.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定 义域RRR值域 1,1 1,1RRAA,周 期性222奇 偶性奇 函数偶 函数奇函数奇函数当,0非奇非偶当,0奇函数单 调性22,22kk上 为 增函 数；223,22kk上 为 减函数（Zk）2,12kk；上 为 增函数12,2kk上 为 减函数（Zk）kk2,2上 为 增 函

20、 数（Zk）1,kk上为减函数（Zk）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上 为 减 函 数（Zk）注意：xysin与xy sin的单调性正好相反；xycos与xy cos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy 在,ba上递增（减），则)(xfy 在ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xy cotxy tanxy cosxy sinOyx15,ba上递减（增）.xy sin与xy cos的周期是.)sin(xy或)cos(xy（0）的周期2T.2tanxy 的周期为 2（2TT，如图，翻折无效）.)sin(xy的对称轴方程是2kx（Zk），对称中心（0

21、,k）；)cos(xy的对称轴方程是kx（Zk），对称中心（0,21k）；)tan(xy的对称中心（0,2k）.xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当tan,1tan)(2Zkk；tan,1tan)(2Zkk.xy cos与kxy22sin是同一函数,而)(xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy.函数xy tan在R上为增函数.（）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，xy tan为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，

22、奇函数：)()(xfxf）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：xy tan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域，则无此性质）xy sin不是周期函数；xy sin为周期函数（T）；xy cos是周期函数（如图）；xy cos为周期函数（T）；yxy=cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象16212cosxy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy),(5)(.abbabaycos)sin(sincos22有yba22.11、三角函数图象的作法：）、

23、几何法：）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.）、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x）的振幅|A|，周期2|T，频率1|2fT，相位;x初相（即当 x0 时的相位）（当 A0，0时以上公式可去绝对值符号），由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当 0|A|1）到原来的|A|倍，得到yAsinx的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的1|倍，得

24、到 ysin x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用x替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向左（当0）或向右（当0）平行移动个单位，得到 ysin（x）的图象，叫做 相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x替换 x)17由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到 ysinxb的图象叫做沿 y 轴方向的平移（用 y+(-b)替换y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。4、反三角函数：函数ysinx

25、，22，x的反函数叫做反正弦函数，记作yarcsinx，它的定义域是1，1，值域是22，函数ycosx，（x0，）的反应函数叫做反余弦函数，记作yarccosx，它的定义域是1，1，值域是0，函数ytanx，22，x的反函数叫做反正切函数，记作yarctanx，它的定义域是（，），值域是22，函数yctgx，x（0，）的反函数叫做反余切函数，记作yarcctgx，它的定义域是（，），值域是（0，）II.竞赛知识要点一、反三角函数.1.反 三 角 函 数：反 正 弦 函 数xy arcsin是 奇 函 数，故xxarcsin)arcsin(，1,1x（一定要注明定义域，若,x，没有x与y一一对应

26、，故xy sin无反函数）注：xx)sin(arcsin，1,1x，2,2arcsinx.18反余弦函数xy arccos非奇非偶，但有kxx2)arccos()arccos(，1,1x.注：xx)cos(arccos，1,1x，,0arccosx.xy cos是偶函数，xy arccos非奇非偶，而xy sin和xy arcsin为奇函数.反正切函数：xy arctan，定义域),(，值域（2,2），xy arctan是奇函数，xxarctan)arctan(，x),(.注：xx)tan(arctan，x),(.反余切函数：xarcycot，定义域),(，值域（2,2），xarcycot是非

27、奇非偶.kxarcxarc2)cot()cot(，x),(.注：xxarc)cotcot(，x),(.xy arcsin与)1arcsin(xy互为奇函数，xy arctan同理为奇而xy arccos与xarcycot非奇非偶但满足 1,1,2)cot(cot 1,1,2arccos)arccos(xkxarcxarcxkxx.正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a的取值范围解集a的取值范围解集ax sin的解集ax cos的解集a1a119a=1Zkakxx,arcsin2|a=1Zkakxx,arccos2|a 1Zkakxxk,arcsin1|a 1Zkakxx,arccos|ax ta

28、n的解集：Zkakxx,arctan|ax cot的解集：Zkakxx,cotarc|二、三角恒等式.组一组二nknnnk12sin2sin2cos8cos4cos2cos2cosnkdndxdnndxdxxkdx0sin)cos()1sin()cos()cos(cos)cos(nkdndxdnndxdxxkdx0sin)sin()1sin()sin()sin(sin)sin(tantantantantantan1tantantantantantan)tan(组三 三角函数不等式xsinx)2,0(,tanxxxxxfsin)(在),0(上是减函数若CBA，则CxyBxzAyzzyxcos2cos2cos2222cos3cos43cossin4sin33sin332222coscossinsinsinsinsin22sin2cos.4cos2coscos11nnn