数列练习题(含答案)基础知识点26038.pdf

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1、数列基础知识点和方法归纳 1.等差数列的定义与性质 定义：1nnaad（d为常数），11naand 等差中项：xAy，成等差数列2Axy 前n项和11122nnaann nSnad 性质：na是等差数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa；（2）数列 12212,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，仍为等差数列，公差为dn2；（3）若三个成等差数列，可设为adaad，（4）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，则2121mmmmaSbT（5）na为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为 0 的二次函数）nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；

2、或者求出 na中的正、负分界项，即：当100ad，解不等式组100nnaa可得nS达到最大值时的n值.当100ad，由100nnaa可得nS达到最小值时的n值.(6)项数为偶数n2的等差数列 na，有),)()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanS ndSS奇偶，1nnaaSS偶奇.（7）项数为奇数12 n的等差数列 na，有)()12(12为中间项nnnaanS，naSS偶奇，1nnSS偶奇.2.等比数列的定义与性质 定义：1nnaqa（q为常数，0q），11nnaa q.等比中项：xGy、成等比数列2Gxy，或Gxy.前n项和：11(1)1(1)1nnna

3、qSaqqq（要注意！）性质：na是等比数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa（2）232nnnnnSSSSS，仍为等比数列,公比为nq.注意：由nS求na时应注意什么 1n 时，11aS；2n 时，1nnnaSS.3求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法 如：数列 na，12211125222nnaaan，求na 解 1n 时，112 1 52a ，114a 2n 时，1212111121 5222nnaaan 得：122nna，12nna，114(1)2(2)nnnan 练习数列 na满足111543nnnSSaa，求na 注意到11nnnaSS，代入得14nnSS；又14S，nS是

4、等比数列，4nnS 2n 时，113 4nnnnaSS（2）叠乘法 如：数列 na中，1131nnanaan，求na 解 321211 212 3nnaaanaaan，11naan又13a，3nan.（3）等差型递推公式 由110()nnaaf naa，求na，用迭加法 2n 时，21321(2)(3)()nnaafaafaaf n两边相加得1(2)(3)()naafff n 0(2)(3)()naafff n 练习数列 na中，111132nnnaaan，求na（1312nna）（4）等比型递推公式 1nnacad（cd、为常数，010ccd，）可转化为等比数列，设111nnnnaxc ax

5、acacx 令(1)cxd，1dxc，1ndac是首项为11dacc，为公比的等比数列 1111nnddaaccc，1111nnddaaccc（5）倒数法 如：11212nnnaaaa，求na 由已知得：1211122nnnnaaaa，11112nnaa 1na为等差数列，111a，公差为12，11111122nnna，21nan(附：公式法、利用1(2)1(1)nnSSnS nna、累加法、累乘法.构造等差或等比1nnapaq或1()nnapaf n、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4.求数列前 n 项和的常用方法(1)裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互

6、为相反数的项.如：na是公差为d的等差数列，求111nkkka a 解：由11111110kkkkkkdaaaaddaa 11111223111111111111nnkkkkkknna adaadaaaaaa 11111ndaa 练习求和：111112123123n 121nnaSn，（2）错位相减法 若 na为等差数列，nb为等比数列，求数列nna b（差比数列）前n项和，可由nnSqS，求nS，其中q为 nb的公比.如：2311234nnSxxxnx 23412341nnnx Sxxxxnxnx 2111nnnx Sxxxnx 1x 时，2111nnnxnxSxx，1x 时，11232nn

7、 nSn （3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121nnnnnnSaaaaSaaaa相加 12112nnnnSaaaaaa 练习已知22()1xf xx，则 111(1)(2)(3)(4)234fffffff 由2222222111()111111xxxf xfxxxxx 原式11111(1)(2)(3)(4)1 1 1323422fffffff 二、等差等比数列复习题 一、选择题 1、如 果 一 个 数 列 既 是 等 差 数 列，又 是 等 比 数 列，则 此 数 列 （）（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在 2.、在等

8、差数列 na中，41a,且1a,5a,13a成等比数列，则 na的通项公式为 （）（A）13 nan （B）3 nan （C）13 nan或4na （D）3 nan或4na 3、已知cba,成等比数列，且yx,分别为a与b、b与c的等差中项，则ycxa的值为 （）（A）21 （B）2 （C）2 （D）不确定 4、互不相等的三个正数cba,成等差数列，x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，那么2x，2b，2y三个数（）（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已 知 数 列 na的 前n项 和 为nS

9、,nnSn24212,则 此 数 列 的 通 项 公 式 为 （）（A）22 nan （B）28 nan （C）12nna （D）nnan2 6、已知)(4)(2zyyxxz，则 （）（A）zyx,成等差数列 （B）zyx,成等比数列 （C）zyx1,1,1成等差数列 （D）zyx1,1,1成等比数列 7、数列 na的前n项和1nnaS，则关于数列 na的下列说法中，正确的个数有 （）一定是等比数列，但不可能是等差数列 一定是等差数列，但不可能是等比数列 可能是等比数列，也可能是等差数列 可能既不是等差数列，又不是等比数列 可能既是等差数列，又是等比数列（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

10、8、数列1,1617,815,413,21,前n项和为 （）（A）1212nn （B）212112nn （C）1212nnn （D）212112nnn 9、若两个等差数列 na、nb的前n项和分别为nA、nB，且满足5524nnBAnn，则135135bbaa的值为 （）（A）97 （B）78 （C）2019 （D）87 10、已 知 数 列 na的 前n项 和 为252nnSn,则 数 列 na的 前 10 项 和 为 （）（A）56 （B）58 （C）62 （D）60 11、已知数列 na的通项公式5 nan为,从 na中依次取出第 3，9，27，3n,项，按 原 来 的 顺 序 排 成

11、一 个 新 的 数 列，则 此 数 列 的 前n项 和 为 （）（A）2)133(nn （B）53 n （C）23103nn （D）231031nn 二、填空题 13、各项都是正数的等比数列 na，公比1q875,aaa,成等差数列，则公比q=14、已知等差数列 na，公差0d,1751,aaa成等比数列，则18621751aaaaaa=15、已知数列 na满足nnaS411,则na=16、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、解答题 17、已知数列 na是公差d不为零的等差数列，数列 nba是公比为q的等比数列，46,

12、10,1321bbb，求公比q及nb。18、已 知 等 差 数 列 na的 公 差 与 等 比 数 列 nb的 公 比 相 等，且 都 等 于d)1,0(dd,11ba ，333ba,555ba,求nnba,。19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为 216，后三个数成等差数列，其和为 36，求这四个数。20、已知 na为等比数列，324202,3aaa，求 na的通项式。21、数列 na的前n项和记为11,1,211nnnS aaSn（）求 na的通项公式；（）等差数列 nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,ab ab ab成等比数列，求nT 22、已知数列 n

13、a满足*111,21().nnaaanN （I）求数列 na的通项公式；（II）若数列 nb满足121114.4.4(1)()nnbbbbnanN，证明：nb是等差数列；第九单元 数列综合题 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A A A C A D D D D 二、填空题 13.251 14.2926 15.n)31(34 16.63 三、解答题 1b=a1,a2b=a10=a1+9d,a3b=a46=a1+45d 由abn为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.q

14、=4 又由abn是an中的第bna项，及abn=ab14n-1=3d4n-1,a1+(bn-1)d=3d4n-1 bn=34n-1-2 18.a3=3b3,a1+2d=3a1d2 ,a1(1-3d2)=-2d a5=5b5,a1+4d=5a1d4,a1(1-5d4)=-4d ,得243151dd=2，d2=1 或d2=51,由题意，d=55,a1=-5。an=a1+(n-1)d=55(n-6)bn=a1dn-1=-5(55)n-1 19.设这四个数为aaqaqaqa2,则36)3(216aaqaqaaqaqa 由，得a3=216,a=6 代入，得 3aq=36,q=2 这四个数为 3，6，12

15、，18 20.解:设等比数列an的公比为q,则q0,a2=a3q=2q,a4=a3q=2q 所以 2q+2q=203,解得q1=13,q2=3,当q1=13,a1=18.所以 an=18(13)n1=183n1=233n.当q=3 时,a1=29,所以an=29 3n1=23n3.21.解：(I)由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得 112,32nnnnnaaa aan 又21213aS 213aa 故 na是首项为1，公比为3得等比数列 13nna（）设 nb的公差为d 由315T 得，可得12315bbb，可得25b 故可设135,5bd bd 又1231,3,9aaa 由题

16、意可得 251 5953dd 解得122,10dd 等差数列 nb的各项为正，0d 2d 213222nn nTnnn 22（I）：*121(),nnaanN 112(1),nnaa 1na是以112a 为首项，2 为公比的等比数列。12.nna 即 2*21().nanN （II）证法一：1211144.4(1).nnbbbbna 12(.)42.nnbbbnnb 122(.),nnbbbnnb 12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb ，得112(1)(1),nnnbnbnb 即1(1)20,nnnbnb 21(1)20.nnnbnb ，得 2120,nnnnbnbnb 即 2120,nnnbbb *211(),nnnnbbbb nN nb是等差数列。