2023年新高考数学大一轮复习专题15三角形中的范围与最值问题(原卷版)43265.pdf

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1、 专题 15 三角形中的范围与最值问题 【方法技巧与总结】1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避

2、免结果的范围过大.2.解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围.【题型归纳目录】题型一：周长问题 题型二：面积问题 题型三：长度问题 题型四：转化为角范围问题 题型五：倍角问题 题型六：角平分线问题 题型七：中线问题 题型八：四心问题 题型九：坐标法 题型十：隐圆问题 题型十一：两边夹问题 题型十二：与正切有关的最值问题 题型十三：最大角问题 题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题 题型十五：托勒密定理及旋转相似 题型十六：三角形中的平方问题 题型十七：等面积法、张角定理 【典例例题】题型一：周长问题 例 1（2022云

3、南昆明市第三中学高一期中）设ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设sincos()6aCcA(1)求 A；(2)从三个条件：ABC的面积为3；3b；3a 中任选一个作为已知条件，求ABC周长的取值范围 例 2（2022重庆高一阶段练习）已知向量(3sin,cos)axx，(1,1)b，函数 f xa b(1)求函数 f x在0,上的值域；(2)若ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 2fA，1a，求ABC的周长的取值范围 例 3（2022浙江高三专题练习）锐角ABC的内切圆的圆心为O，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2223tanbcbcaA，且ABC的外

4、接圆半径为 1，则BOC周长的取值范围为_.例 4（2022浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21()3sincossin2f xxxx，其中0，若实数12,x x满足 122f xf x时，12xx的最小值为2(1)求的值及()f x的对称中心；(2)在ABC中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若()1,3f Aa，求ABC周长的取值范围 题型二：面积问题 例 5（2022贵州黔东南高一期中）在面积为 S的ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且22sinsin2sinsinsinCASabABC.(1)求 C 的值；(2)若 ABC 为锐角三角形，记2Sma，求

5、m 的取值范围.例 6（2022浙江高二阶段练习）在ABC中，角,A B C的对边分别为,cos3sin2a b cAA(1)求角A；(2)若点D满足34ADAC，且2BC，求BCD面积的取值范围 例 7（2022浙江杭师大附中模拟预测）在ABC中，D的边BC的中点，32,2coscos2()2ADCAB(1)求角 C；(2)求ABC面积的取值范围 例8（2022江苏省天一中学高一期中）在ABC中，角ABC所对应的边分别为abc，若2 cos24acbC，.ABC是锐角三角形，则ABC面积的取值范围是_.题型三：长度问题 例 9（2022辽宁模拟预测）在ABC中，内角 A，B，C的对边分别为

6、a，b，c，且sinsinsin3 sincabCABaB(1)求角 C的大小；(2)设1m，若ABC的外接圆半径为 4，且2amb有最大值，求 m的取值范围 例 10（2022河南模拟预测（文）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c22cos23sin2CC，4c，2 10ab(1)求ABCS；(2)求11ab的取值范围 例 11（2022江苏高三专题练习）已知ABC 内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，2A+C=B，ABC的面积34Sa.(1)求边 c；(2)若ABC为锐角三角形，求 a的取值范围.例 12（2022陕西宝鸡中学模拟预测（文）已知cos,cos,3sin,co

7、saxxbxx，f xa b，(1)求 f x的单调递增区间；(2)设ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，若 12fA，且3a，求22bc的取值范围.例 13（2022江苏南京模拟预测）请在向量,sincaxBbc，,sinbcyAca，且xy；32 sin3bcA这两个条件中任选一个填入横线上并解答 在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，(1)求角C；(2)若ABC的面积为2 3，求2ab的取值范围 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 例 14（2022全国模拟预测）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，且sinsin2si

8、nsinsinaAcCBbCB(1)求角A；(2)若ABC为锐角三角形，求32bca的取值范围 例 15（2022辽宁抚顺市第二中学三模）在222sin2sinBcaCbcab，23coscoscos24ACAC，3tantancoscABbA这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC中，a，b，c分别为角 A，B，C所对的边，2 3b，_(1)求角 B(2)求2ac的范围 例 16（2022浙江模拟预测）在ABC中，角A BC，所对的边分别是abc，若2 sin(2)tancBacC，sinsin3sinbACB，则ac的最小值为_ 例 17（2022安徽黄山二模（文）在ABC

9、中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，1a，34A，若bc有最大值，则实数的取值范围是_ 例 18（2022浙江高三专题练习）已知ABC的三边长分别为a，b，c，角B是钝角，则2()a cab的取值范围是_.例 19（2022黑龙江哈尔滨三中模拟预测（文）在ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若3 sincbA，则2()abab的取值范围是（）A3,5 B4,6 C4,213 D4,215 题型四：转化为角范围问题 例 20（2022河北秦皇岛二模）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()(sinsin)()sinabABcbC.(1)求A；(2)求cosc

10、osBC的取值范围.例 21（2022广东茂名模拟预测）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且coscosabcBA(1)判断ABC的形状并给出证明；(2)若ab，求sinsinsinABC的取值范围 例 22（2022浙江温州三模）在ABC中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c.已知1,2ab.(1)若4B，求角 A的大小；(2)求coscos6AA的取值范围.例 23（2021河北沧县中学高三阶段练习）已知函数 223sin4sincoscosf xxxxx(1)求函数 f x的最大值；(2)已知在锐角ABC中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且满足224B

11、cafa，求sinsinsinABC的取值范围 例 24（2022山西模拟预测（理）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2(cos)cabC.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，求22sinsinAC的取值范围.例 25（2022安徽省舒城中学模拟预测（理）锐角ABC的内角,A B C所对的边是,a b c，且1,coscos1abAB，若,A B变化时，2sin2 sinBA存在最大值，则正数的取值范围是_ 例 26（2022江西南昌十中模拟预测（理）锐角ABC中，3A，角 A 的角平分线交BC于点M，2AM ,则BM CM 的取值范围为_.例 27（2022辽宁高一期中

12、）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanabA，且B为钝角，则BA_，sinsinAC的取值范围是_ 例 28（2021云南师大附中高三阶段练习（理）如图所示，有一块三角形的空地，已知7,4 212ABCBC千米，AB4 千米，则ACB_；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为 B，D，E，其中 D，E为 AC 边上的点，若使6DBE，则 BDBE最小值为_平方千米 例 29（2021浙江舟山中学高三阶段练习）如图，在ABC中，90ABC，22 3ACCB，P是ABC内一动点，120BPC，则ABC的外接圆半径r=_，AP的最小值为_ 例 30（2022湖北

13、武汉二中模拟预测）在锐角ABC中，22abbc，则角B的范围是_，556sintantanABA的取值范围为_.例 31（2022新疆喀什一模）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若2AB，且A为锐角，则1coscbA的最小值为（）A2 21 B3 C2 22 D4 例 32（2021北京高三专题练习）在锐角ABC中2AB，B，C的对边长分别是b，c，则bbc的取值范围是（）A1 1,4 3 B1 1,3 2 C1 2,2 3 D2 3,3 4 例 33（2022石家庄模拟）如图，平面四边形ABCD的对角线的交点位于四边形的内部，1AB，2BC，ACCD，ACCD，当ABC变化时，

14、对角线BD的最大值为 题型五：倍角问题 例 34（2021安徽芜湖一中高一期中）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2CB，则cb的取值范围为_.例 35（2021全国高三专题练习（文）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2AB，则82cbba的取值范围为_.例 36（2020全国高二单元测试）已知ABC是锐角三角形，,a b c分别是,A B C的对边.若2AB，则abba的取值范围是_.例 37（2020陕西无高一阶段练习）已知ABC是锐角三角形，若2AB，则ab的取值范围是_.例 38（2019四川成都外国语学校高二开学考试（文）已知ABC的内角、ABC的对边

15、分别为abc、，若2AB，则22cbba的取值范围为_ 例 39（2021江西鹰潭一模（理）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2AB，则22acbab的取值范围为_ 例 40（2022芜湖模拟）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2AB，则2()bacb最小值是 例 41（2022道里区校级一模）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2AB，则82cbba的取值范围为 题型六：角平分线问题 例 42（2022河北保定高一阶段练习）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且coscos2 cosbCcBaA.(1)求A的大小；(2)若BC边

16、上的高为32，且A的角平分线交BC于点D，求AD的最小值.例 43（2022全国高三专题练习）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）cosC+ccosA=0.(1)求角 C的大小；(2)设 AB边上的角平分线 CD 长为 2，求ABC 的面积的最小值.题型七：中线问题 例 44（2022江苏省天一中学高一期中）已知ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足22222sin2sinsin2sinsincoscos2ABCBCCC.(1)求角 A；(2)若AD是ABC的中线，且2AD，求bc的最大值.例 45（2022山西运城高一阶段练习）已知ABC

17、的内角,A B C所对的边分别为,33 cossina b ccaBaB.(1)若8,aABC的面积为4 3,D为边BC的中点，求中线AD的长度；(2)若E为边BC上一点，且1,:2:AEBE ECc b，求2bc的最小值.例 46（2022湖南长郡中学模拟预测）锐角ABC中，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，且 tantan.cosaBCcB(1)求角 C的大小；(2)若边2c，边 AB 的中点为 D，求中线 CD 长的取值范围 例 47（2022山东滨州二模）锐角ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知3 cos2 sin3 cosbCaAcB(1)求 A；(2)若2

18、b，D为 AB的中点，求 CD的取值范围 例 48（2022安徽合肥一中模拟预测（文）在3(cos)3sinbcAaC，1 tan(1)2 tanaCbB，sincos()6cBbC这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题 在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足_(1)求 C；(2)若ABC 的面积为2 3，D 为 AC的中点，求 BD的最小值 例 49（2022山东师范大学附中模拟预测）在2 sin3 cossinbCcBcB，coscos2BbCac两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，

19、且_.(1)求角B；(2)若3ac，点D是AC的中点，求线段BD的取值范围.例 50（多选题）（2022甘肃定西高一阶段练习）ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2a，BC 边上的中线2AD，则下列说法正确的有：（）A3AB AC B2210bc C3cos15A DBAD的最大值为 60 题型八：四心问题 例 51（2022山东泰安模拟预测）在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点 O是ABC的外心，cos3|AO ABAO ACaCABAC(1)求角 A；(2)若ABC外接圆的周长为4 3，求ABC周长的取值范围，例 52（2021河南南阳高三期末（理）

20、在 ABC中，sinsin3sincossinBCCCA.(1)求 A；(2)若 ABC的内切圆半径2r，求ABAC的最小值.例 53（2022江西高三阶段练习（理）已知 O是三角形 ABC的外心，若2|2()|ACABAB AOAC AOm AOABAC，且2sinsin3BC，则实数 m的最大值为（）A34 B35 C23 D12 例 54（2022全国高三专题练习）已知O是三角形ABC的外心，若 22ACABAB AOAC AOm AOABAC，且sinsin3BC，则实数m的最大值为（）A3 B35 C75 D32 例 55（2022全国高三专题练习）在ABC 中，内角 A，B，C 的

21、对边分别为 a，b，c，若 a=52sin（B4），c=5 且 O 为ABC 的外心，G 为ABC 的重心，则 OG 的最小值为（）A2 1 B5 256 C2 1 D105 26 例 56（2022全国高三专题练习）已知ABC的周长为 9，若cos2sin22ABC，则ABC的内切圆半径的最大值为（）A12 B1 C2 D32 例 57（2022全国高三专题练习）在钝角ABC中，,a b c分别是ABC的内角,A B C所对的边，点G是ABC的重心，若AGBG，则cosC的取值范围是（）A60,3 B46,53 C6,13 D4,15 例 58（2022广东深圳高三阶段练习）在ABC中，7c

22、os25A，ABC的内切圆的面积为16，则边BC长度的最小值为（）A16 B24 C25 D36 题型九：坐标法 例 59（2022全国模拟预测（文）在RtABC中，2BAC，2ABAC，点M在ABC内部，3cos5AMC，则22MBMA的最小值为_ 例60（2022南通一模）在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆224xy上两点，点(1,1)A，且ABAC，则线段BC的长的取值范围为 例 61M为等边ABC内一动点，且120CMB，则AMMC的最小值为 例 62（2022江苏模拟）已知ABC是边长为 3 的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足2133AQAPAC，则|BQ

23、的最小值是 例 63（2022 秋新华区校级期末）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120，根据以上性质，函数222222()(1)(1)(2)f xxyxyxy的最小值为()A2 B3 C23 D23 例 64（2022唐山二模）在等边ABC中，M为ABC内一动点，120BMC，则MAMC的最小值是()A1 B34 C32 D33 例 65（2022 春仁寿县校级期末）锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2225abc，则

24、cosC的取值范围是()A1(2，6)3 B1(2，1)C45，6)3 D45，1)例 66（2022 春博望区校级月考）在等腰ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中B为钝角，3 sincos2baAbA点D与点B在直线AC的两侧，且33CDAD，则BCD的面积的最大值为()A334 B4 3 C534 D3 例 67（2022淮安模拟）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”在ABC中，120A，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆

25、圆心依次为1O，2O，3O，若123OO O的面积为3，则ABC的周长的取值范围为 题型十：隐圆问题 例 68（2022盐城二模）若点G为ABC的重心，且AGBG，则sinC的最大值为 例69（2022 江 苏 三 模）在 平 面 四 边 形ABCD中，90BAD，2AB，1AD，若43AB ACBA BCCA CB，则12CBCD的最小值为 例 70（2022涪城区校级开学）若ABC满足条件4AB，2ACBC，则ABC面积的最大值为 例 71已知A，B是圆22:10O xy上的动点，4 2AB，P是圆22(6)(8)1C xy上的动点，则|3|PAPB的取值范围是 例 72（2022合肥模拟

26、）锐角ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，点G为ABC的重心，若AGBG，则cosC的取值范围为()A32，53 B45，6)3 C65，)D56，53 例 73 （2022 江 汉 区 校 级 模 拟）ABC中3ABAC，ABC所 在 平 面 内 存 在 点P使 得22233PBPCPA，则ABC面积最大值为()A2 233 B5 2316 C354 D3 3516 例 74（2022上城区校级模拟）设a，b为单位向量，向量c满足|2|caa b，则|cb的最大值为()A2 B1 C3 D2 例75（2022春瑶海区月考）在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，已知9CD，16BD，

27、90BDC，4sin5A，则对角线AC的最大值为()A27 B16 C10 D25 例 76已知圆22:5O xy，A，B为圆O上的两个动点，且|2AB，M为弦AB的中点，(2 2C，)a，(2 2D，2)a 当A，B在圆O上运动时，始终有CMD为锐角，则实数a的取值范围为()A(,2)B(，2)(0，)C(2,)D(，0)(2，)题型十一：两边夹问题 例 77（2022合肥一模）设ABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，1cos()cos2ACB，延长BC至D，若2BD，则ACD面积的最大值为 例 78（2022静安区二模）设ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c已知a，b，c

28、依次成等比数列，且1cos()cos2ACB，延长边BC到D，若4BD，则ACD面积的最大值为 例 79（2022常德一模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cab，且3cos()cos2ABC（）求角C；（）延长BC至D，使得4BD，求ACD面积的最大值 例 80在ABC中，若coscos2sinsinABBA，且ABC的周长为 12（1）求证：ABC为直角三角形；（2）求ABC面积的最大值 题型十二：与正切有关的最值问题 例 81（2022湖南长郡中学模拟预测）在ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且sinsin2BCbaB求：(1)A；(2)acb

29、的取值范围 例 82（2022全国模拟预测）在锐角ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若220cbca，则2114 sincostantanCCCA的取值范围为（）A4 2,9 B8,9 C8 34,93 D2 34,9 例 83（2022山西吕梁二模（文）锐角ABC是单位圆的内接三角形，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且22224cos2cosabcaAacB，则acb的取值范围是（）A(2 3,3 3)B(3,3 3)C3,2 32 D3,32 例 84（2022全国高三专题练习）在锐角三角形ABC中，角ABC的对边分别为abc，且满足22baac，则11tanta

30、nAB的取值范围为_.例 85（2022全国高三专题练习）在锐角ABC中，角、ABC所对的边分别为,a b c，若22acbc，则113sintantanACA的取值范围为（）A(2 3,)B(2 3,4)C13 3(,4)6 D13 3(2 3,)6 例 86（2022全国高三专题练习）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，且222Sabc，则bc的取值范围为（）A1,22 B2 3,3 2 C3 4,4 3 D3 5,5 3 题型十三：最大角问题 例 87（2022 春海淀区校级期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角AQB的一边QA上的两点

31、，试在QB边上找一点P，使得MPN最大”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点(1,2)M，(1,4)N，点P在x轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标是()A7 B1 或7 C2 或7 D1 例 88（2022 秋青羊区校级期中）（理科）E、F是椭圆22142xy的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，EPF的最大值是()A60 B30 C90 D45 例 89（2022 春辽宁期末）设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且3coscos5aBbAc，则tan()AB的最大值为()A35

32、 B13 C38 D34 例 90（2022滨州二模）最大视角问题是 1471 年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面()c cb米的C处看此树，离此树的水平距离为 米时看A，B的视角最大 例 91如图，足球门框的长AB为2(13.66)dw dwm，设足球为一点P，足球与A，B连线所成的角为(090)（1）若队员射门训练时，射门角度30，求足球所在弧线的方程；（2）已知点D到直线AB的距离为3dw，到直线AB的垂直平分线的距离为2dw，若教练员要求队员，当足球运至距离点D为2dw处的一点时射门，问射门角度

33、最大可为多少？题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题 例 92（2022 秋安徽月考）17 世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC中，若三个内角均小于120，当点P满足120APBAPCBPC 时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点根据以上性质，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的单位向量，则|ababac的最小值是()A23 B23 C31 D31 例 93（2022深圳模拟）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马(16011665)于 1643 年提出的平面几何极值问

34、题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC的三个内角均小于120时，则使得120APBBPCCPA 的点P即为费马点已知点P为ABC的费马点，且ACBC，若|PAPBPC，则实数的最小值为 例 94（2022 秋全国月考）费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为120已知ABC的三个内角均小于120，P为ABC的费马点，且3PAPBPC，则ABC

35、面积的最大值为 例 95（2022 春湖北期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三 角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”已知ABC内接于半径为6的圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A，B，C若30ACB，则A B C的面积最大值为 例 96（2022 春润州区校级期中）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角

36、形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”已知ABC内接于单位圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A，B，C若90ACB，则A B C 的面积最大值为 题型十五：托勒密定理及旋转相似 例 97（2022 春五华区月考）数学家托勒密从公元 127 年到 151 年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin”所用的几何图形已知点B，C在以线段AC为直径的圆上，D为弧BC的中点，点E在线段AC上且AEAB，点F为EC的中点设2ACr，DAC，那么下列结论：2 cosDCr，2 cos2A

37、Br，(1cos2)FCr，2(2)DCrrAB 其中正确的是()A B C D 例 98（2022 春扬州期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，4 2BD，且ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A8 B16

38、C8 3 D16 3 例 99（2021 秋宝山区校级月考）凸四边形就是没有角度数大于180的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，1AB，3BC，ACCD，ACCD，当ABC变化时，对角线BD的最大值为()A3 B4 C61 D72 3 例 100（2022冀州市校级模拟）在ABC中，2BC，1AC，以AB为边作等腰直角三角形(ABD B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）当C变化时，线段CD长的最大值为()A1 B2 C3 D4 例 101（2022日照一模）如图所示，在平面四边形ABCD中，1AB，

39、2BC，ACD为正三角形，则BCD面积的最大值为()A2 32 B312 C322 D31 题型十六：三角形中的平方问题 例 102（2021 秋河南期末）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，23B，2 3b，2223bcabc若BAC的平分线与BC交于点E，则(AE )A6 B7 C2 2 D3 例 103（2022洛阳二模）已知ABC的三边分别为a，b，c，若满足22228abc，则ABC面积的最大值为()A55 B2 55 C3 55 D53 例 104（2022 春张家界期末）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂

40、减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是2222221()42abcSa b，其中a，b，c是ABC的内角A，B，C的对边，若sin2sincosBAC且2b，2，2c成等差数列，则ABC面积S的最大值为()A55 B2 35 C1 D2 55 例 105（2022晋城一模）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S，若222sin()SACbc，则1tan2tan()CBC的最小值为()A2 B2 C1 D2 2 例 106（2022秦淮区模拟）在锐角三角形ABC中，已知2224sinsin

41、4sinABC，则111tantantanABC的最小值为 例 107（2022浙江三模）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若已知224sin()6bcbcA，则tantantanABC的最小值是 例 108（2022 春鼓楼区校级期中）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2233cos0ababC，则coscos()ABcab的最小值为 例 109（2022全国高三专题练习）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，且222Sabc，则22224121741213bbccbbcc的取值范围为（）A9 73,5 37 B281

42、 9,181 5 C732,37 D281,2181 例 110（2022安徽南陵中学模拟预测（理）在ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足222533abc，则sin A的取值范围是_.题型十七：等面积法、张角定理 例111（2022秋厦门校级期中）给定平面上四点A，B，C，D，满足2AB，4AC，6AD，4AB AC，则DBC面积的最大值为 例 112（2022 春奎屯市校级期末）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，120ABC，ABC的平分线交AC于点D，且1BD，则4ac的最小值为()A8 B9 C10 D7 例 113（2022云南一模）在ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，23ABC，BD平分ABC交AC于点D，2BD，则ABC的面积的最小值为()A3 3 B4 3 C5 3 D6 3 例 114在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，120ABC，ABC的平分线交AC于点D，且1BD，则23ac的最小值为()A2 5 B52 6 C5 D34 2