2020年中考数学基础题提分精讲精练专题20以相似三角形为背景的证明与计算45583.pdf

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1、1专题 20以相似三角形为背景的证明与计算考点分析【例 1】（2019 辽宁中考真题）已知，在 RtABC中，ACB90，D是 BC 边上一点，连接 AD，分别以CD 和 AD 为直角边作 RtCDE和 RtADF，使DCEADF90，点 E，F 在 BC 下方，连接 EF（1）如图 1，当 BCAC，CECD，DFAD 时，求证：CADCDF，BDEF；（2）如图 2，当 BC2AC，CE2CD，DF2AD 时，猜想 BD 和 EF 之间的数量关系？并说明理由【答案】（1）见解析；见解析；（2）BDEF，理由见解析.【解析】（1）证明：ACB90，CAD+ADC90，CDF+ADC90，CA

2、DCDF；作 FHBC 交 BC 的延长线于 H，则四边形 FECH为矩形，CHEF，在ACD和DHF中，90CAD HDFACD DHFAD DF ，()ACD DHF AASDH AC，AC CB，2DH CB，DH CD CB CD，即HG BD，BD EF；（2）BD EF，理由如下：作FG BC交BC的延长线于G，则四边形FECG为矩形，CG EF，CAD GDF，90ACDDGF ，ACD DGF，2DG DFAC AD，即2DGAC，GF2CD，BC2AC，CE2CD，BCDG，GFCE，BDCG，GFCE，GFCE，G 90，四边形 FECG为矩形，CGEF，BDEF【点睛】3

3、此题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和掌握各判定定理.【例 2】（2019辽宁中考真题）如图，ABC中，AB AC，DE 垂直平分 AB，交线段 BC 于点 E（点E 与点 C 不重合），点 F 为 AC 上一点，点 G为 AB 上一点（点 G与点 A不重合），且180GEF BAC（1）如图 1，当45B 时，线段 AG 和 CF 的数量关系是（2）如图 2，当30B 时，猜想线段 AG 和 CF 的数量关系，并加以证明（3）若6AB，1DG，3cos4B，请直接写出 CF 的长【答案】（1）AG CF；（2）12AGCF，理由见解析

4、；（3）2.5 或 5【解析】解：（1）相等，理由：如图 1，连接 AE，DE 垂直平分 AB，AE BE，45BAE B ，AE BC，AB AC，BE EC AE，45BAE EAC C ，180GEF BAC，360180 180AGE AFE ，180AFE CFE，AGE CFE，45GAE C ，AEG CEF AAS，AG CF；故答案为：AG CF；4（2）12AGCF，理由：如图 2，连接 AE，AB AC，30BC ，120BAC，DE 垂直平分 AB，AE BE，30BAE B ，90CAE，BAE C，180GEF BAC，180AGE AFE，180CFE AFE，A

5、GE CFE，AGE CFE，AG AECF CE，在Rt ACE中，30C ，1sin2AECCE，12AGCF，12AGCF；（3）当 G在 DA 上时，如图 3，连接 AE，DE 垂直平分 AB，3AD BD，AE BE，cosBDBBE，343cos4BDBEB，4AE BE，BAE B，AB AC，5BC ，CBAE ，180GEF BAC，360 180 180AGE AFE ，180AFE CFE，CFE AGE，CFE AGE，CF CEAG AE，过 A作AH BC于点 H，3cos4BHBAB，3396442BHAB ，AB AC，29BCBH，4BE，9 45CE ，3

6、12AG AD DG ，524CF，2.5CF；当点 G在 BD 上，如图 4，同（1）可得，CFE AGE，CF CEAG AE，3 14AG AD DG ，544CF，5CF，综上所述，CF 的长为 2.5 或 56【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键考点集训1（2019 山东中考真题）如图 1，在 RtABC 中，B=90，BC=2AB=8，点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点，连接 DE，将EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为.（1）问题发现 当0时，AEBD；当时，AEBD

7、（2）拓展探究试判断：当 0 360时，AEDB的大小有无变化？请仅就图 2 的情况给出证明.（3）问题解决当EDC 旋转至 A、D、E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长.【答案】（1）52,52.（2）无变化；理由参见解析.（3）4 5，12 55.【解析】（1）当=0时，RtABC 中，B=90，AC=2222(82)84 5ABBC，点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，4 52 52AE,BD=82=4，2 5542AEBD7如图 1，当=180时，可得 ABDE，ACBCAEBD，4 5582AEACBDBC（2）如图 2，当 0360时，AEBD的大小没有变化，ECD=AC

8、B，ECA=DCB，又52ECACDCBC，ECADCB，52AEECBDDC（3）如图 3，AC=45，CD=4，CDAD，8AD=2222(45)480 16 8ACCDAD=BC，AB=DC，B=90，四边形 ABCD 是矩形，BD=AC=4 5如图 4，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，过点 B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P，AC=4 5，CD=4，CDAD，AD=2222(45)480 16 8ACCD，点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，DE=111(82)4222AB =2，AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得52AEBD，BD=612

9、5552综上所述，BD 的长为4 5或12552（2019江苏初三期末）如图，四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，ADC=ACB=90，E 为 AB 的中点，9（1）求证：AC2=ABAD；（2）求证：CEAD；（3）若 AD=4，AB=6，求的值【答案】（1）见解析（2）见解析（3）AC7AF4【解析】解：（1）证明：AC 平分DABDAC=CABADC=ACB=90ADCACBADACACAB即 AC2=ABAD（2）证明：E 为 AB 的中点CE=12AB=AEEAC=ECADAC=CABDAC=ECACEAD（3）CEADAFDCFEADAFCECFCE=12AB10CE=126=

10、3AD=44AF3CFAC7AF43（2019四川中考真题）如图，90ABDBCD，DB 平分ADC，过点 B 作BM CD交 AD 于 M 连接 CM交 DB 于 N（1）求证：2BDAD CD；（2）若68CDAD，求 MN 的长【答案】（1）见解析；（2）475MN.【解析】证明：（1）DB 平分ADC，ADBCDB，且90ABDBCD，ABDBCDADBDBDCD2BDAD CD（2）/BMCDMBDBDCADBMBD，且90ABDBMMDMABMBA，4BMMDAM2BDAD CD，且68CDAD，11248BD，22212BCBDCD22228MCMBBC2 7MC/BMCDMNB

11、CND23BMMNCDCN且2 7MC 475MN【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求 MC 的长度是本题的关键4 （2019江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，Rt ABC 中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 3cm的速度向定点 A 运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 2cm的速度向点 B 运动，运动时间为 t 秒（0 t103），连接 MN（1）若BMN 与ABC 相似，求 t 的值；（2）连接 AN，CM，若 ANCM，求 t 的值【答案】（1）BMN 与ABC 相似时，t 的值

12、为2011或3223；（2）t=1312【解析】12（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，BN=（82t）cm，BA=2268=10（cm），当BMNBAC 时，BMBNBABC，382108tt，解得：t=2011；当BMNBCA 时，BMBNBCBA，382810tt，解得：t=3223，BMN 与ABC 相似时，t 的值为2011或3223；（2）过点 M 作 MDCB 于点 D，由题意得：DM=BMsinB=6310t=95t（cm），BD=BMcosB=8310t=125t（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，CD=（1285t）cm，ANCM，ACB=90，CAN+A

13、CM=90，MCD+ACM=90，CAN=MCD，MDCB，MDC=ACB=90，CANDCM，ACCDCNDM，12865925ttt，解得 t=1312考点：1相似三角形的判定与性质；2解直角三角形；3动点型；4分类讨论；5综合题；6压轴题5（2019 湖北中考真题）在ABC中，90ABC，ABnBC，M是BC上一点，连接AM（1）如图 1，若1n，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BMBN（2）过点B作BPAM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q.如图 2，若1n，求证：CPBMPQ BQ13如图 3，若M是BC的中点，直接写出tanBPQ的值（用含n的式子表示）【答案】（1

14、）证明见解析；（2）证明见解析；1n【解析】(1)延长AM交CN于点H，AM与CN垂直，90ABC，90BAMN ，90BCN N ，BAMBCN，1n，90ABC，AB BC，ABC CBN，ABMCBN，BM BN；(2)过点C作CD BP交AB的延长线于点D，14BPAM，AM与CD垂直，由(1)，得BMBD，CDBP，CPDBPQBQ，即CPBMPQBQ；过点 C 作 CD/BP 交 AB 的延长线于点 D，延长 AM 交 CD 于点 H，PCH=BPQ，BPAM，AMCD，BPM=CHM=90，又BMP=CMH，BM=CM，BPMCHM，BP=CH，PM=HM，PH=2PM，PMB=

15、BMA，ABM=BPM=90，ABMBPM，PMBMPBAB，在 RtPCH 中，tanPCH=PHCH，tanBPQ=22PHPMBMCHPBAB，又BC=2BM，ABnBC，tanBPQ=1BCABn.15【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.6 （2019辽宁初三期中）如图，在ABC 中，AB=AC，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且APD=B,（1）求证：ACCD=CPBP；（2）若 AB=10，BC=12，当 PDAB 时，求 BP 的长【答案】（1）证明见

16、解析；（2）253.【解析】解：（1）AB=AC，B=CAPD=B，APD=B=CAPC=BAP+B，APC=APD+DPC，BAP=DPC，ABPPCD，BPABCDCP，ABCD=CPBPAB=AC，ACCD=CPBP；（2）PDAB，APD=BAPAPD=C，BAP=CB=B，BAPBCA，16BABPBCBAAB=10，BC=12，101210BP，BP=253“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明 ACCD=CPBP 转化为证明 ABCD=CPBP 是解决第（1）小题的关键，证到BAP=C 进而得到BAPBCA 是

17、解决第（2）小题的关键7 （2019 山西初三期末）如图，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点 P为射线 BD，CE 的交点（1）求证：BD=CE；（2）若 AB=2，AD=1，把ADE 绕点 A 旋转，当EAC=90时，求 PB 的长；【答案】（1）证明见解析；（2）PB 的长为2 55或6 55【解析】解：（1）ABC 和ADE 是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，DAB=CAE，ADBAEC，BD=CE（2）解：当点 E 在 AB 上时，BE=ABAE=117EAC=90，CE=22AE AC=5同（1）可证ADBAEC，D

18、BA=ECAPEB=AEC，PEBAEC，PB BEAC CE，125PB，PB=255当点 E 在 BA 延长线上时，BE=3EAC=90，CE=22AE AC=5同（1）可证ADBAEC，DBA=ECABEP=CEA，PEBAEC，PB BEAC CE，18325PB，PB=655综上所述，PB 的长为2 55或655【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得PEB AEC 是解题的关键8（2019 山东初三）如图，在四边形 ABCD中，ACBD于点 E，AB=AC=BD，点 M 为 BC 中点，N为线段 AM 上的点，且

19、MB=MN.（1）求证：BN平分ABE；（2）若 BD=1，连结 DN，当四边形 DNBC 为平行四边形时，求线段 BC 的长；（3）如图，若点 F 为 AB 的中点，连结 FN、FM，求证：MFNBDC【答案】（1）证明见解析；（2）105；（3）证明见解析.【解析】（1）AB=AC，ABC=ACB，M 为 BC 的中点，AMBC，在 RtABM 中，MAB+ABC=90，在 RtCBE 中，EBC+ACB=90，MAB=EBC，19又MB=MN，MBN 为等腰直角三角形，MNB=MBN=45，EBC+NBE=45，MAB+ABN=MNB=45，NBE=ABN，即 BN 平分ABE；（2）设

20、 BM=CM=MN=a，四边形 DNBC 是平行四边形，DN=BC=2a，在ABN 和DBN 中，ABDBNBEABNBNBN，ABNDBN（SAS），AN=DN=2a，在 RtABM 中，由 AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，解得：a=1010（负值舍去），BC=2a=105；（3）F 是 AB 的中点，在 RtMAB 中，MF=AF=BF，MAB=FMN，又MAB=CBD，FMN=CBD，12MFMNABBC，12MFMNBDBC，MFNBDC点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形

21、的判定与性质等知识点209 （2019河南中考真题）在ABC，CACB，ACB点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP（1）观察猜想如图 1，当60时，BDCP的值是，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是（2）类比探究如图 2，当90时，请写出BDCP的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形说明理由（3）解决问题当90时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点 C，P，D 在同一直线上时ADCP的值【答案】（1）1，

22、60（2）45（3）22，22【解析】解：（1）如图 1 中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O60PADCAB，CAPBAD，21CABA，PADA，()CAPBAD SAS，PCBD，ACPABD，AOCBOE，60BEOCAO，1BDPC，线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是60，故答案为 1，60（2）如图 2 中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E45PADCAB，PACDAB，2ABADACAP，DABPAC，PCADBA，2BDABPCAC，EOCAOB，45CEOOAB，直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度

23、数为45（3）如图 31 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H22CEEA，CFFB，EF AB，45EFCABC，45PAO，PAOOFH，POAFOH，HAPO ，90APC，EA EC，PE EA EC，EPAEAPBAH ，HBAH ，BHBA，45ADPBDC，90ADB，BDAH，22.5DBADBC，90ADBACB，A，D，C，B 四点共圆，22.5DACDBC，22.5DCAABD，22.5DACDCA，23DA DC，设=AD a，则DCAD a，22PDa，2222ADaCPaa c如图 32 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：

24、=DA DC，设=AD a，则CDAD a，22PDa，22PCaa，2222ADaPCaa【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题10（2019山东初三期中）如图 1，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点 F 作 CD 的垂线，两垂线交于点 G，连接 AG、BG、CG、DG，且AGD BGC（1）求证：AD BC；（2）求证：AGD EGF

25、；（3）如图 2，若 AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值24【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2.ADEF【解析】（1）GE 是 AB 的垂直平分线，GA=GB同理 GD=GC在AGD 和BGC 中，GA=GB，AGD=BGC，GD=GC，AGDBGCAD=BC（2）AGD=BGC，AGB=DGC在AGB 和DGC 中，GAGBGDGC，AGB=DGC，AGBDGCGAEGGDFG，又AGE=DGF，AGD=EGF，AGDEGF（3）如图，延长 AD 交 GB 于点 M，交 BC 的延长线于点 H，则 AHBH由AGDBGC，知GAD=GBC，在GAM 和HBM 中，GAD=G

26、BC，GMA=HMBAGB=AHB=90，AGE=12AGB=45，2.GAGE又AGDEGF，2.ADAGEFEG11（2019 温江中学实验学校初三期中）如图，ABC 与CDE 是等腰直角三角形，直角边AC、CD 在同一条直线上，点 M、N分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE、BD（1）猜想 PM与 PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论；25（2）现将图 中的CDE 绕着点 C 顺时针旋转（0 90），得到图，AE 与 MP、BD 分别交于点 G、H请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图 中的等腰直角三角形变成直

27、角三角形，使 BC=kAC，CD=kCE，如图，写出 PM 与 PN 的数量关系，并加以证明【答案】（1）PM=PN，PMPN，理由见解析；（2）理由见解析；（3）PM=kPN；理由见解析【解析】（1）PM=PN，PMPN，理由如下：ACB 和ECD 是等腰直角三角形，AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90在ACE 和BCD 中ACBCACBECD90CECD，ACEBCD（SAS），AE=BD，EAC=CBD，点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，PM=BD，PN=AE，PM=PM，NPD=EAC，MPN=BDC，EAC+BDC=90，MPA+NPC=9

28、0，MPN=90，即 PMPN；（2）ACB 和ECD 是等腰直角三角形，AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90ACB+BCE=ECD+BCE ACE=BCD ACEBCD AE=BD，CAE=CBD又AOC=BOE，CAE=CBD，BHO=ACO=90点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点，PM=BD，PMBD；PN=AE，PNAEPM=PN MGE+BHA=180 MGE=90 MPN=90 PMPN（3）PM=kPNACB 和ECD 是直角三角形，ACB=ECD=90 ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCD BC=kAC，CD=kCE，=k BCDACE BD=kA

29、E26点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点，PM=BD，PN=AE PM=kPN考点：相似形综合题12（2019山东初三期中）（提出问题）（1）如图 1，在等边ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C），连结 AM，以 AM 为边作等边AMN，连结 CN求证：ABC=ACN（类比探究）（2）如图 2，在等边ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C），其它条件不变，（1）中结论ABC=ACN 还成立吗？请说明理由（拓展延伸）（3）如图 3，在等腰ABC 中，BA=BC，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C），连结 AM，以 AM

30、为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连结 CN试探究ABC 与ACN 的数量关系，并说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）证明：ABC、AMN 是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60BAM=CAN在BAM 和CAN 中，ABAC BAMCAN AMAN，BAMCAN（SAS）ABC=ACN（2）结论ABC=ACN 仍成立理由如下：ABC、AMN 是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60BAM=CAN在BAM 和CAN 中，ABAC BAMCAN AMAN，27BAMCAN（SAS）ABC=ACN（3）ABC=ACN理由如下：BA=BC，MA=MN，顶角

31、ABC=AMN，底角BAC=MANABCAMNABACAMAN又BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，BAM=CAN.BAMCANABC=ACN13（2019 福建省莆田擢英中学初三月考）如图，在 RtABC 中，C=90，点 P 为 AC 边上的一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转（点 P 对应点 P），当 AP 旋转至 APAB 时，点 B、P、P恰好在同一直线上，此时作 PE AC 于点 E（1）求证：CBP=ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当32CPPE，BP=55时，求线段 AB 的长【解析】（1）证明：AP是 AP 旋转得到，AP=AP，APP=APP，C=90

32、，APAB，CBP+BPC=90，ABP+APP=90，又BPC=APP，CBP=ABP；（2）证明：如图，过点 P 作 PDAB 于 D，28CBP=ABP，C=90，CP=DP，PEAC，EAP+APE=90，又PAD+EAP=90，PAD=APE，在APD 和PAE 中，90PADAP EADPP EAAPAP ，APDPAE（AAS），AE=DP，AE=CP；（3）解：32CPPE，设 CP=3k，PE=2k，则 AE=CP=3k，AP=AP=3k+2k=5k，在 RtAEP中，PE=22(5)(3)kk=4k，C=90，PEAC，CBP+BPC=90，EPP+EPP=90，BPC=E

33、PP，CBP=EPP，又CBP=ABP，ABP=EPP，又BAP=PEP=90，ABPEPP，29ABP AP EPE，即42ABP Akk，解得 PA=12AB，在 RtABP中，AB2+PA2=BP2，即 AB2+14AB2=（55）2，解得 AB=10考点：1.全等三角形的判定与性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.相似三角形的判定与性质14（2019 辽宁中考真题）如图 1，在RtABC中，90ACB，30B=，点 M是 AB 的中点，连接MC，点 P 是线段 BC 延长线上一点，且PCBC，连接 MP交 AC 于点 H 将射线 MP绕点 M逆时针旋转60交线段 CA的延长线于点

34、 D（1）找出与AMP相等的角，并说明理由（2）如图 2，12CPBC，求ADBC的值（3）在（2）的条件下，若133MD，求线段 AB 的长【答案】（1）DAMP ；理由见解析；（2）39ADBC；（3）2AB.【解析】（1）DAMP 理由如下：90ACB，30B=，60BAC60DDMA 30由旋转的性质知，60DMAAMP DAMP；（2）如图，过点C 作CGBA交 MP 于点G30GCPB，150BCG90ACB，点M 是 AB 的中点，12CMABBMAM30MCBB 120MCG18060120MADMADMCG DMGAMGAMCAMG ，DMAGMC 在MDAV与MGCV中，M

35、ADCGAMCMDMAGMCM ()MDAMGCASAVVADCG12CPBC13CPBPCGBM，CGPBMPVV13CGCPBMBP设CGADt，则3BMt，6ABt在RtABC中，3cos2BCBAB313 3BCt393 3ADtBCt；（3）如图，由（2）知CGPBMPVV则133MDMGCGMACGHAMH GHCMHA，GHCMHAVV13HGCHCGHHAHAM11131344312HGMG1313133124MH由（2）知，CGADt，则3BMAMCAt34CHt，94AHtMHADHM，HMAD MHADMHVVMHAHDHMH2MHAHDH，即213913444tt解得113t，213t （舍去）62ABt【点睛】32考查了几何变换综合题解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA）与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题过程中，注意方程思想在求相关线段长度时的灵活运用