概率论与数理统计21649.pdf

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1、 概率论与数理统计 Last revision on 21 December 2020 内容串讲 第一章 随机事件及其概率 1事件的关系与运算 必然事件：随机试验全部结果构成的集合。不可能事件：一般事件 A：A 若 A、B为两事件 若BA，则其蕴含：“A发生导致 B发生”。若BAAB，这表示A发生时，B必不发生，反之亦然。若 A-B=A，则 AB=；若 AB=A，则BA；若 ABA，则 BA。若nAAA,21为 n 个事件，由它们的运算可产生诸多新事件，如 1111,nnniiiiiiiiAAAA等等。例 1 事件niiA1发生等于“nAAA,21至少有 1 个发生”。2常用概率公式（1）1)

2、(APO，1)(P，0)(P（2）若BA，则)()(BPAP（3）)()()()(ABPBPAPBAP；当AB，则)()()(BPAPBAP（4）)(1)(APAP（5）)()()(ABPAPBAP（6）若nAAA,21两两互不相容，则niiniiAPAP11)()(（7）若nAAA,21相互独立，则 例 2 设1.0)(,4.0)(,2.0)(ABPBPAP 则5.0)()()(1)(1)(ABPBPAPBAPBAP 3古典概型 古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件A的概率为 例 3 从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设 A：取到两个白球；B：一白一红

3、球，求)(),(BPAP（1）无放回抽样：（2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次 注：若设 X为两次有放回取球中取到白球数，则X)52,2(B，从而12122)521()52()2()(CXPAP 4条件概率（1）若0)(BP，则)()()(BPABPBAP，其中 A 为任一事件。（2）乘法公式：)()()(ABPAPABP)()()()(ABCPABPAPABCP （其中0)(ABP）例 4 箱中有两白球、三红球，iA表第i次取到白球，则 P（“前两次取到白球”）1014152)()()(12121AAPAPAAP P（“第一次取到白球，第二次取到红球”）1034352)()()(1

4、2121AAPAPAAP（3）全概率公式：设nBBB,21是一完备事件组（或的一个划分），即：jiBB，njiji,2,1,（即诸iB互不相容）且niiB1，则对任一事件 A有)()()(1iniiBPBAPAP（4）Bayes 公式 niiiKKKBAPBPBAPBPABP1)()()()()(例 5 某工厂生产的产品以 100 个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取 10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过 4个，并且恰有)4,3,2,1(ii个次品的概率如下（1）求各批产品通过的概率；（2）求通过检查的各批产品中恰有 i 个次品的概率。

5、)4,3,2,1(i 解：（1）设事件iB是恰有i个次品的一批产品)4,3,2,1(i，则由题设 设事件 A是这批产品通过检查，即抽样检查的 10 个产品都是合格品，则我们有1)(0BAP 由全概率公式，即得8142.0)()()(40iiiBAPBPAP（2）由 Bayes 公式，所求概率分别为 5事件的独立性（1）定义：A、B相互独立等价于)()()(BPAPBAP（2）若nAAA,21相互独立，则有)()()()(2121nnAPAPAPAAAP（3）有放回抽样中的诸事件是相互独立的。例 6 袋中有 3白球，2 个红球，今有放回的抽取 3次，求先后抽到（白、红、白）的概率 解：设iA表第

6、i次抽到的白球，则所求为12527535253)()()()(321321APAPAPAAAP（4）在 n重贝努利（Bernoulli）试验中，若每次试验事件 A发生的概率为，即)10()(ppAP，则事件 A发生 K次的概率为nkppCkPknkknn,2,1,0,)1()(例 7 一射手对同一目标独立射击 4 次，每次射击的命中率为，求：（1）恰好命中两次的概率；（2）至少命中一次的概率。解：由于每次射击相互独立，故本题可视为4n的贝努利试验，其中8.0p（1）设2A：“4 次射击恰命中两次”，则1536.0)2.0()8.0()2()(222442CPAP（2）设 B：“4 次射击中至少

7、命中一次”，0A表“4 次皆未命中”，则 第二章 随机变量及其概率分布 1离散型随机变量 例 1 设 ，则3.02.05.01c 2常见离散型随机变量（1）01 分布：设X),1(pB，则 应用背景：一次抽样中，某事件 A 发生的次数X),1(pB，其中EXXPAPp)1()(例 2 设某射手的命中率为 p，X 为其一次射击中击中目标的次数，则 X),1(pB（2）二项分布：设 X),(pnB，则()(1),0,1,2,kkn knP XkCppkn 应用背景：n 次独立重复抽样中某事件 A 发生的次数 X),(pnB，其中()pP A为事件 A 在一次抽样中发生的概率。例 某射手的命中率为，

8、X 为其 5 次射击中命中目标的次数，则 X 取的可能值为5,1,0，52()0.80.2kkkP XkC，即 X)8.0,5(B 记住：若 X),(pnB，则npEX,)1(pnpDX（3）泊松（Poisson）分布 若(),0,1,2,!KP Xkekk则称 X 服从参数的泊松分布，且DXEX，记 X)(B，0 应用背景：偶然性事件发生的次数 X 一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。另外，当 Y),(pnB，且 n 很大，P 很小时，令np，则()!kP Ykek 例 4 一个工厂生产的产品中的次品率，任取 1000 件，计算 解：设 X表任取的 1000

9、件产品中的次品数，则 X)005.0,100(B，由于 n 很大，p很小，令5 np 则（1）55551506151!15!051)1()0(1)2(eeeeeXPXPXP（2）5505(5)!kkP Xek 3随机变量的分布函数：X 的分布函数为)()(xXPXF，x)(xF的性质：1)(0 xF 若21xx，则0)()(12xFxF 1)(,0)(FF)()(bFbXP，)(1)(),()()(bFbXPafbFbXaP 例 5 设 X的分布函数0,00,)(xxbeaxFx，其中0，则_ab=_.解：由1)(F知1a（因为abeaFxx)(lim)(）由0)(F，及题设0 x时0)(xF

10、，故0)1()()(lim0bbeaxFxx 综上有0,00,1)(xxexFx，即1,1ba 例 6 设 X的分布函数exexxxxF,11,ln1,0)(求)5.22(),30(),2(XPXPXP 解：2ln)2()2(FXP 4连续型随机变量 若(,)()baP Xa bf x dx，其中ba 任意，则称 X为连续型随机变量。此时，xduufxF)()(；)()(xFxf 其中 )(xf为 X的概率密度，满足1)(0)(dxxfxf（注意与分布律的性质：KKKPP10相对照）例 7 设 X的概率密度为1,01,)(xxcxf，则 c=_ 解：由1)(dxxf知1112ccdx，故21c

11、 5常见连续型随机变量（1）均匀分布：设 X),(baU，则其他,0,1)(bxaabxf，bxbxaabaxaxxF,1,0)(2baEX，12)(2abDX 例 8 设 X),(aaU，且31)1(XP，则 a=_ 解：易知1a且adxxf131)(，即adxa13121 解得3a（2）指数分布)(E设X)(E，则0,00,)(xxexfx，0,00,1)(xxexFx 1EX，21DX 应用背景：描述电子元件，某类动物的寿命，或服务时间等。例 9 设 X 为某类电子元件的寿命，求这类元件已经使用t 时，仍能正常工作的概率（设 X)(E）解：由题意所求为ttxedxetXP)(（3）正态分

12、布),(2N，设X),(2N，则 22()/21()2xf xe，x xduufxF)()(，2,DXEX 特别，当*X)1,0(N时，称*X服从标准正态分布，其密度函数记为2/221)(xex分布函数记为xduux)()(常用公式：若*X)1,0(N，则)(1)(xx，)()(xx 975.0)96.1(*XP，*()P Xu *若X),(2N，则)()()(abbXaP 6.简单随机变量函娄的概率分布 例 10 设 ，求2XY 的概率分布。解：由题设，X 的可能值为1,0,1，故2X的可能值为1,0 而31)0()0()0(2XPXPYP 故 例 11 设 X)1,0(N，求2XY 的分布

13、密度函数 解：先求 Y的分布函数：0)(yFY，当0y；当0y时 再求 Y的分布密度函数 故0,210,0)(2/yeyyyfyY 第三章 多维随机变量及其概率分布 1二维随机变量),(YX),(YX的分布函数),(),(yYxXPyxF X的分布函数),(),(lim)(1xFyxFxFy Y的分布函数),(),(lim)(2yFyxFyFx 2离散型),(YX的分布律ijP ijijiiijPyYxXPP10),(（与KKKPP10比较）例 设),(YX的分布律为 求（1）?a（2）)0(XP（3）)2(YP（4）)2,1(YXP（5）)(YXP 解：（1）由1ijijP知10311312

14、11030201)(ijijPPPPPPP125.025.03.01.01.0a 解得0a（2）300102031(0)0.10.10.30.5jjP XPPPP（3）10210121)2()1()2(iiiiPPPPYPYPYP45.0)01.0()25.01.0(（4）2.01.01.0)2,0()1,0()2,0()2,1(0201PPYXPYXPYXPYXP （5）25.0)(11PYXP 3连续型),(YX的分布密度 设 D为平面上的区域，),(yxf为),(YX的分布密度，则其满足：1),(0),(dxdyyxfyxf 特别，xydudvvufyYxXPyxF),(),(),(若

15、X，Y相互独立，则有)()(),(21yFxFyxF，)()(),(21yfxfyxf，其中)(),(11xfxF分别为 X的边缘分布函数和分布密度，)(),(22yfyF分别为 Y的边缘分布函数和分布密度。4常见二维连续型分布 （1）平面区域 D上的均匀分布：设 D的面积为DS，),(YX服从 D的均匀分布，则),(YX的分布密度为其他,0),(,1),(DyxSyxfD 例 2 设1:),(22yxyxD，即 D为 xy平面上的单位园域，则DS，设),(YX服从 D上的均匀分布，则其221,1(,)0,xyf x y其他 *解：设),(YX具有 D 上的均匀分布，A为平面上的某一区域，则D

16、DASSAYXP),(，其中DAS表示 A与 D公共部分的面积。例 3 （续例 2）求)0,0(YXP 解：414)0,0(YXP（2）二维正态分布221212(,)N *，设),(YX具有该分布，则其概率密度为*此时 X的边缘密度21212/)(1121)(xexf，即X),(211N 故211,DXEX Y 的边缘密度22222/)(2221)(yeyf，即 Y),(222N，故2MEY，22DY P 为 X，Y 的相关系数，可知当0P时，)()(),(21yfxfyxf，即 X，Y 相互独立，这是一个重要结论：在正态分布的场合：不相关等价于相互独立。另外，可知12(,)Cov X YDX

17、DY *例 4 设 X)4,0(N，Y)1,1(N，两者相互独立，求),(YX的分布密度),(yxf 解：由YX,相互独立知),(YX)()(),(21yfxfyxf 第四章 随机变量的数字特征 1单个随机变量的期望 例 1 设 ，则41413410211EX 例 2 设 X的分布密度为其他,010,2)(xxxf，则1010103232322)2()(xdxxdxxxdxxxfEX 2单个随机变量函数的期望 设 X为随机变量，)(xgy 是普通函数，则()Yg X是随机变量，且 ()(),()()(),()iiig x p XxXEg Xg x f x dxXXf x当 为离散型当 为连续型

18、，且 具有密度*例 3 设 X的分布如例 1，求3)(XXg的期望 解：42541341021)1(3333EX 例 4 设 X的分布密度)(xf如例 2，求XXg)(的期望 解：10102/322)()(dxxxdxxdxxfxXE542312102/5x 当2)()(xxg（其中EX）时，DXXEXEg2)()(，即为 X的方差 例 4 设 则 021121)1(EX，021102110EY 10021)10(21)10(22DY（方差大者，取值分散）注：22)(EXEXDX是重要常用公式 例 5 设随机变量 X具有概率密度其他,010,101,1)(xxxxxf，求 DX 解：因)(xf

19、是分段函数，故求2,EXEX时也要随之分段积分 于是61)()(22EXXEDX 3),(YX函数的期望 设),(yxgZ 是普通函数，则),(YXgZ 是随机变量，其数学期望 EZ等于 例 6 设),(YX分布律为 ，XYYXgZ),(则61611)11()11()01()10()00()(1111100100PPPPPXYE 例 设),(YX的分布密度其他,00,10,2),(xyxyxf，则 当)(),(21yxyxg时，其中EYEX21,，则)(),(21YXEYXgE是 X，Y的协方差，即 EYEXXYE)(（重点）当2121)(),(yxyxg时，其中222121,DYDXEYEX

20、 1212121212()()()()(,)(,)XYE XYCov X YEg X YE *为 X，Y的相关系数 期望)(E的重要性质（1）cEC （常数）（2）CEXCXE)(（3）)()()(YEXEYXE 推广：cbEYaEXcbYaXE)(（4）若 X，Y相互独立，则()E XYEX EY 方差)(D的重要性质（1）0)(cD DXcXD)(，其中 c为常数（2）DXccXD2)(特别)()(XDXD（3）若 X，Y相互独立，则DYDXYXD)(（4）),(2)(YXCovDYDXYXD 例 设 X，Y相互独立，且4,3DYDX，则 协方差),(Cov的运算性质：（1）),(),(X

21、YCovYXCov（2）Y)abCov(X,bY)Cov(aX,，其中 a，b 为常数（3）Y),Cov(XY),Cov(XY),XCov(X2121（4）若 X，Y相互独立，则0Y)Cov(X,，从而0P，即 X与 Y不相关 注：一般地，若 X，Y独立，则 X，Y必不相关（即0Y)Cov(X,）；反之不真，即 X，Y不相关推不出 X，Y独立。重要特例是：若),(YX为正态分布，则 X，Y独立等价于 X，Y不相关（即0P）例 设),(YX的分布律为 ，求xyPYXCovDYDXEYEX),(,解：易知 故2141143)1(,2143141)1(EYEX，1112EX,1112EY 43)21

22、(1)(222EXEXDX，43)21(12DY(,)0.25130.75 0.75XYCov X YDXDY *例 设),(YX)21,9,4,1,1(N，则121(,)2 332Cov X Y *例 设),(YX为连续型，则 X 与 Y 不相关的充分必要条件是_（选择题）（A）X，Y 独立 （B）EYEXYXE)(（C）EYEXXYE)(（D）),(YX)0,(222121N 解法 1（排除法）：排除（A），因 X，Y 独立YX,不相关（故非充要条件）；排除（B），这一等式成立不需任何条件；排除（D），由),(YX服从正态分布及0P知X，Y 独立，从而不相关，但并非正态场合才有这一结论故选

23、（C）解法 2（直接证明）：当EXEYXYE)(时，0EXEY-E(XY)Y)Cov(X,，故X，Y 不相关；反之亦然。第五章 大数定律与中心极限定理 1贝努利大数定律 贝努利大数定律：设PAP)(，nnA为 A在 n 次观测中发生的频率，则对任给的正数有1)(limPnnPAn 2中心极限定理 设,21XX相互独立，同分布，从而它们有相同的期望和相同的方差2)(lim1xxnnXPniin，其中)(x为标准正态分布函数 注：中心极限定理的含义是：大量随机变量的和近似正态分布，即当 n很大时niiX1近似某正态分布),(2N，为了便于查表近似计算，将niiX1标准化（从而标准化后其近似分布)1

24、,0(N）故上述随机变量的分布函数)()(xxFn，即)(1xxnnXPnii 在应用中心极限定理，大多用上式的形式 更进一步的特别场合为：若,21XX相互独立同),1(PB分布时，上式化为 这一式子在应用也较为常用 例 1 计算机进行加法计算时，设所取整误差是相互独立的随机变量,21XX，且都服从)5.0,5.0(，求 300 个数相加的误差总和的绝对值小于 10 的概率。解：易知第 i 个加数的误差iX满足：iX)5.0,5.0(，121,0iiDXEX，故0n3001300125121300iiiiDXXD 故所9544.01)2(2212130001030013001iiiiXPXP

25、第六章 统计量及其抽样分布 1设总体X)(),(xfxF 则其样本nxxx,21相互独立，同分布)(xF，n 为样本容量 从而),(21nxxxnininxFxFxFxxxF1121)()()(),(nininxfxfxfxxxf1121)()()(),(例 1 设总体 X),(2N，则222/)(21)(xexf从而其样本的联合密度函数为),(1nxx 2121)(21exp21),(niinnxxxf 2常见统计量 常见统计量：设总体为 X，nxxx,21为其样本，2,DXEX 不含任何未知参数的样本),(1nxx 的函数称为统计量（1）样本均值niixnx11，xE，nXD2，这结论对任

26、何总体都成立。进一步的，若总体 X),(2N，则X),(2nN，从而nxU/)1,0(N（2）样本方差niixxnS122)(11，212)(1niinxxnS 22ES，21nnESn（3）若总体X),(2N，则有x与2s相互独立，且 212222)(1)1(niixxsnx)1(2nx nsxt/)1(nt *（4）若总体X 与总体Y 相互独立，nxx,1与mYY,1分别为其样本，X),(211N，Y),(222N nimiiiyymSxxnS12122221)(11,)(11，其中niixnx11，miiymy11，则 22222121/SSF)1,1(mnF 进一步的，若2221，则有

27、 mnSyxtw11)()(21)2(nmt 其中2)1()1(22212mnSmSnSw 3.关于Ftx,2分布的密度曲线及分位数（1）2x分布 若2x)(2nx，则nDxnEx2,22，)(22nxxP 从而1)(22nxxP 而 F 分布的密度曲线与上图相似。（2）t分布 若t)(nt，则0Et t 分布的密度曲线)(xf关于 y 轴对称，故有)()(1ntnt 例 设总体X)1,1(U，x是容量 n 的样本均值，求)(),(xDxE 解：由总体X)1,1(U，知0EX，311222DX，31,02 故 0 xE，nnnXD313/12 例 设总体 X),(2N，nxxx,21为其样本，

28、则212)1()(nxxEnii 证明：niixx122)(1)1(2nx)1()(1212nxxEnii 即 221)1()(nxxEnii 第七章 参数估计 1矩法估计：矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量 设 X为总体，EX，2DX，nxxx,21为其样本 则的矩估计 x 2的矩估计 2122)(1niinxxnS 例 1 设总体X),(2N，其中2,皆未知，nxxx,21为其样本，求2,的矩估计 解：因为EX，故x 2DX，故22nS 例 2 设总体X),0(U，0未知，求的矩估计 解：因为2EX，故x2（矩法方程），由此解得x2，即为的矩估计 例 3 设总体X),1(PB，其

29、中10 P，未知nxxx,21为其样本，求P 的矩估计 解：由PEX，故 P 的矩估计xP 2极大似然估计 设总体 X，具有概率密度函数);(xf，H 其中为未知参数，其变化范围为H，nxxx,21为其样本，则似然函数为 若存在L使()maxLL),(LH，则称L为的极大似然估计 一般求法：由题设，求出niixfL1);()(的表达式 取对数：1ln()ln(;)niiLf x *求导并令其等于 0，建立似然方程ln()0dLd *解之即得的极大似然估计2 例 4 设nxxx,21是总体 X的样本，总体概率密度为)1(,01,);()1(其他xxxf 求 的矩估计1和极大似然估计2 解：（1）

30、由xdxxxEX1)1(1 解得11xx为之矩估计（2）似然函数niniininiixxxfL1)1(1)1(1);()(1ln()ln(1)lnniiLnx *niixndLd10ln)(ln 解得的极大似然估计niixn12ln 例 5 设总体 X),0(U，0，nxxx,21为其样本，求的极大似然估计 解：由于按常规方法建立的似然方程无解，故用极大似然估计的定义解之 设nxxxnx,max)(21 欲使似然函数nniixfL1);()(1达最大，取)(nx即可 注其他,0,0,1)(21nnxxxL 3估计量的评价标准（1）无偏性：若E，则为的无偏估计（2）有效性：若1、2皆为之无偏估计

31、，且D21D，则称1较2有效（3）相合性：若的估计量),(1nnxx 满足nnElim，0limnnD，则称n为之相合估计 4参数的区间估计 设总体X),(2N，nxxx,21为其样本 则的置信度)1(的区间估计为（1）2已知时；2/2/,unxunx（2）2未知时；)1(),1(22ntnsxntnsx（见书中表）例 6 设总体X),(2N，且212,12,4nx，则的置信区间为 注请查看教材中正态总体参数的区间估计一览表 第八章 假设检验 1 假设检验的基本思想：小概率事件在一次抽样中是几乎不可能发生的 例 1 设总体X)1,(N，其中未知，nxxx,21为其样本 试在显着性水平下检验假设

32、 00:H；01:H 这里，即为小概率事件的概率，当00:H真时，nxnxu/1/00)1,0(N 则)(2/uuP 即事件)(2/uu 即为小概率事件，当它发生时，即认为原假设0H不真，从而接受对立假设01:H 2 两类错误 以例 1 为例，上述nxu/10的取值完全由样本nxx,1所决定，由于样本的随机性，假设检验可能犯以下两类错误：第一类错误：P（拒00HH真），也即检验的显着性水平 第二类错误：P（接受00HH不真）P（接受10HH真）在样本容量 n 固定时，,相互制约，当减小时，的值会增大，反之亦然。3正态总体),(2N参数的假设检验（1）首先要会判断所讨论问题是否为假设检验问题 例 2 从一批灯泡中随机抽取 50 个，分别测得其寿命，算得其平均值1900 x（小时），样本标准差490s（小时），问可否认为这批灯泡的平均寿命（）为 2000 小时。分析：本题中虽然没说总体（寿命）服从什么分布，但由于样本容量50n，可按正态总体处理，“可否认为平均寿命为 2000 小时”等价于作检验2000:0H （2）检验问题主要是对提出的假设检验确定出检验的拒绝域，这可参考指定教材第八章正态总体检验一览表。