「线性代数习题答案(IMUST版)第五章__相似矩阵及二次型[1]」45842.pdf

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1、第五章 相似矩阵及二次型 一、计算题 1.解:1a,2a2+233(-1)（-4）4-11 单位化如下:1a单位化:111111121,2,3,4(,)3030 15 1015TTaba 2a单位化:222111122,3,1,4(,)3015 1030 15TTaba 、解:先正交化:取11ba,2122111020,0101,4101a bbabb b ，1323331211225200,1066013,220013b ab ababbb bb b 单位化：取111100beb ,22201121beb,33300113118231beb 解：先正交化：取11ba,2122111423,1

2、825343,2525a bbabb b 再单位化：111beb=3545,2224535beb 4.解：不是。因为该矩阵的列向量不都是单位向量，且不两两正交。5解：是因为该矩阵的每个列向量都是单位向量,且两两正交。解:所求向量23,a a应满足方程10Ta X，即1232240 xxx 该方程组的基础解系是：11(1,0,)2T，21(0,1,)2T，把基础解系正交化即得所求向量有211(1,0,)2Ta,312(,1,)55Ta 7.解：A 特征多项式为：2(1)(2)AE，所以特征值为:1231,2，当11时，解方程()0AE x，的基础解系:1(0,0,1)Tp，所以1kp（0k)是对

3、应于11的全部特征向量;当232时，解方程(2)0AE x，的基础解系:1(1,1,0)Tp，所以2kp(0k)是对应于232的全部特征向量 .解：A 特征多项式为：3200111(2)113AE,所以特征值为：1232，当1232时，解方程(2)0AE x，基础解系:1(1,1,0)Tp,2(1,0,1)Tp 故对应于特征值1232的所有特征向量为：1122k pk p(12,k k不同时为 0)9 解:令2331A,A 特征多项式为：237AE,所以 A 特征值为：12337337,22 0 解:A 可逆，48A,*13216248()AA A AAAAA,有321()6248，故()A的

4、特征值为：(2)12,(4)12,(6)20，所以32*622880AAAA 11、解：的特征值分别为:1231,2,3,特征值互不相等,故可以对角化。对应11，解方程组()0AE x，得基础解系1110 ,单位化得122220p 对应22,解方程组(2)0AE x,得基础解系2110,单位化得222220p 对应33,解方程组(3)0AE x，得基础解系3001 ，单位化得3001p 将1,2,3p p p构成正交阵1,2,32202222()022001Pp p p，有1100020003TP APP AP 2解:A 的特征值分别为:1232,4 对应1，解方程组(2)0AE x，得基础解系1011，单位化得102222p 对应234，解方程组(4)0AE x，得基础解系2011 ,3100 ，单位化得:202222p,3100p ，1,2,3 线性无关，故可对角化。将1,2,3p p p构成正交阵1,2,300122()02222022Pp p p,有1200040004TP APP AP 13.解:的特征值分别为:1231,4,1，特征值互不相等，故可以对角化。