2023年新高考数学大一轮复习专题09指数与指数函数(解析版)43436.pdf

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1、 专题 09 指数与指数函数【考点预测】1.指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果nxa，那么x叫做a的n次方根，其中(1n，)nN，记为na，n称为根指数，a称为根底数(2)根式的性质：当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)na a 中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类 正整数指数幂()nnaa a aanN 个；零指数幂01(0)aa；负整数指数幂1(0nnaaa，)nN；0的正分数指数幂等于0，0的

2、负分数指数幂没有意义(5)有理数指数幂的性质+(0mnm naa aa，m，)nQ；()(0mnm naaa，m，)nQ；()(0mmmabaa b，0b，)mQ；(0mnmnaaa，m，)nQ 2.指数函数 xya 01a 1a 图象 性质 定义域R，值域(0)，01a，即时0 x，1y，图象都经过(0 1)，点 xaa，即1x时，y等于底数a 在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 0 x 时，1xa；0 x时，01xa 0 x 时，01xa；0 x时，1xa a1xy(1,a)1Oa1xy(1,a)1O 既不是奇函数，也不是偶函数 【方法技巧与总结】1.指数函数常用技巧(1)当底

3、数大小不定时，必须分“1a”和“01a”两种情形讨论(2)当01a时，x ，0y；a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快 当1a 时x ，0y；a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快(3)指数函数xya与1()xya的图象关于y轴对称 【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式 题型二：指数函数的图像及性质 题型三：指数函数中的恒成立问题 题型四：指数函数的综合问题【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式 例 1（2022四川凉山三模（文）计算：20ln31e31lg4lg0.254_【答案】18【解析】【分析】根据指对数幂的计算公式求解即可【详解】20ln321e

4、31lg4lg0.2543 1 lg 4 0.25184 故答案为：18 例 2（2022河北邯郸一模）不等式10631xxx的解集为_.【答案】1,【解析】【分析】将原不等式变为1631101010 xxx，设 163101010 xxxf x，然后利用函数的单调性解不等 式.【详解】由10631xxx，可得1631101010 xxx.令 163101010 xxxf x，因为163101010,xxxyyy均为R上单调递减函数 则 f x在R上单调逆减，且 11f，1f xf，1x 故不等式10631xxx的解集为1,.故答案为：1,.例 3（2022陕西榆林市教育科学研究所模拟预测（理

5、）甲乙两人解关于 x 的方程220 xxbc，甲写错了常数 b，得到的根为2x 或 x=217log4，乙写错了常数 c，得到的根为0 x 或1x，则原方程的根是（）A2x 或2log 3x B1x 或1x C0 x 或2x D1x 或2x 【答案】D【解析】【分析】令2xt，则方程220 xxbc可化为20tctb，根据甲计算出常数c，根据乙计算出常数b，再将,b c 代入关于 x 的方程220 xxbc解出x 即可【详解】令2xt，则方程220 xxbc可化为20tctb，甲写错了常数 b，所以14和174是方程20tctm的两根，所以1179442c ，乙写错了常数 c，所以 1 和 2

6、 是方程20tntb的两根，所以1b 22，则可得方程29202tt，解得12142,tt，所以原方程的根是1x 或2x 故选：D 例 4（2022全国高三专题练习（文）已知函数 f x是定义在 R 上的奇函数，当0 x 时，43 22xxf xa 则关于x的不等式 6f x 的解集为（）A(,2 B(,1 C 2,00,2 D 2,02,【答案】A【解析】【分析】由 f x是 R 上的奇函数求出 a 值，并求出0 x 时，函数 f x的解析式，再分段讨论解不等式作答.【详解】因函数 f x是定义在 R 上的奇函数，且当0 x 时，43 22xxf xa，则 00043 22220faa，解得

7、1a，即当0 x 时，43 22xxf x ，当0 x 时，0 x，则()()(43 22)xxf xfx ，而当0 x 时，2311(2)244xf x ，则当 6f x 时，0(43 22)6xxx ，即0(24)(21)0 xxx，变形得024xx，解得2x，所以不等式 6f x 的解集为(,2.故选：A 例 5（2022全国高三专题练习）化简：（1）126043416(23)(2018)4(3)49 （2）322411143332a bababa b(a0，b0).（3）312211122211111aaaaaaaa.【答案】（1）99；（2）ab；（3）12a.【解析】【分析】（1）

8、根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.（2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.（3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案.【详解】（1）原式66349(2)(3)1 434 27 1 739916 （2）原式11121082232333354331127272333333a b a ba ba babab a ba ba b.（3）原式1122313122221211111aaaaaaaaaaaaa 1122111aaaa.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f xab，()f xab，()f xab的形式常用“化同底”转化，再利用指数函

9、数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20 xxaBaC或2)00(xxaBaC的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质 例 6（2022浙江绍兴模拟预测）函数2()()xxxmf xaa，的图象如图所示，则（）A0,01ma B0,1ma C0,01ma D0,1ma【答案】C【解析】【分析】依据图像列不等式求得ma、的取值范围，即可进行选择【详解】由图像可知，当0 x 时，()0f x，则0 x 时，2()0 xm，则0m，又由()f x图像不关于原点中心对称可知0m，则0m 则0 x 时，0 xxaa，即210 xxaa，则01a 故选：C 例

10、 7（2022全国高三专题练习）函数 21xf xm恰有一个零点，则 m 的取值范围是（）A1,B 01,C01,D1,【答案】C【解析】【分析】将问题转化为|1|2xy 与ym只有一个交点，画出|1|2xy 的图象，应用数形结合法求 m 的取值范围.【详解】由题设，|1|2xy 与ym只有一个交点，又|1|2xy 的图象如下：m01,.故选：C.例 8（2022四川省泸县第二中学模拟预测（文）函数 11 exf x，下列关于函数 f x的说法错误的是（）A函数 f x的图象关于原点对称 B函数 f x的值域为0,1 C不等式 12f x 的解集是0,D f x是增函数【答案】A【解析】【分析

11、】利用特殊值法可判断 A 选项；求出函数 f x的值域，可判断 B 选项；解不等式 12f x 可判断 C 选项；利用指数型函数的单调性可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，函数 f x的定义域为R，且 1002f，所以，函数 f x的图象不关于原点对称，A 错；对于 B 选项，因为e11x，所以，10,11 exf x，B 对；对于 C 选项，由 111 e2xf x可得1xe，则0 x，解得0 x，C 对；对于 D 选项，对任意的Rx，1 e1xy，且函数1exy 在R上单调递减，故函数 f x是增函数，D 对.故选：A.例 9（2022河南三模（文）已知1f x为定义在 R 上的奇函

12、数，10f，且 f x在1,0上单调递增，在0,上单调递减，则不等式250 xf的解集为（）A22,log 6 B 2,12,log 6 C2log 6,D 21,2log 6,【答案】D【解析】【分析】首先判断出 f x的对称性，求得 0f x 的解集，从而求得250 xf的解集.【详解】因为1f x为定义在 R 上的奇函数，所以 f x的图象关于点1,0对称，且 10f，又 10f，所以 30f 依题意可得，当31x 或1x 时，0f x 所以250 xf等价于3251x 或251x，解得12x或2log 6x 故选：D 例 10（2022新疆阿勒泰三模（理）函数11xya图象过定点A，点

13、A在直线31,0mxnymn上，则121mn最小值为_.【答案】92#4.5【解析】【分析】根据指数函数过定点的求法可求得1,2A，代入直线方程可得122mn，根据1211212121mnmnmn，利用基本不等式可求得最小值.【详解】当1x 时，012ya，11xya过定点1,2A，又点A在直线3mxny上，23mn，即122mn，1m，0n，10m，21121121212512121mnmnmnmnmn2112952212mnmn（当且仅当2121mnmn，即53m，23n 时取等号），121mn的最小值为92.故答案为：92.例 11（2022北京高三专题练习）已知 212221xxxf

14、xa（其中aR且a为常数）有两个零点，则实数a的取值范围是_.【答案】4,【解析】【分析】设20,xt，可转化为2210ta t 有两个正解，进而可得参数范围.【详解】设20,xt，由 212221xxxf xa有两个零点，即方程2210ta t 有两个正解，所以2121 22402010attat t，解得4a，即4,a，故答案为：4,.例 12（2022全国高三专题练习）已知函数 22xxf xk（k为常数，kR）是R上的奇函数(1)求实数k的值；(2)若函数 yf x在区间1,m上的值域为15,4n，求mn的值【答案】(1)1k (2)72【解析】【分析】（1）由(0)0f求得参数值，再

15、检验即可；（2）由函数的单调性得(1)15()4fnf m，代入可求得,m n(1)由()f x是奇函数得(0)10fk，1k，此时()22xxf x是奇函数；(2)由复合函数的性质得1()2222xxxxf x在定义域内是增函数，所以(1)15()4fnf m，13222n，115224mm，24m或124m（舍去），2m，所以37222mn 【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题 例 13（2022北京高三专题练习）设 f x是定义在R上的偶函数，且

16、当0 x 时，2xf x，若对任意的,1xm m，不等式 2f xfxm恒成立，则正数m的取值范围为（）Am1 B1m C01m D01m【答案】A【解析】【分析】分析可知 2xf x，由已知可得2xxm对任意的,1xm m恒成立，解得2xm对任意的,1xm m恒成立，可得出关于实数m的不等式，解之即可.【详解】因为函数 f x是定义在R上的偶函数，且当0 x 时，2xf x，则当0 x 时，0 x，2xf xfx，故对任意的Rx，2xf x，对任意的,1xm m，不等式 2f xfxm恒成立，即222xx m，即2xxm对任意的,1xm m恒成立，且m为正数，则2xxm，可得2xm，所以，1

17、2mm，可得m1.故选：A.例 14（2022北京高三专题练习）已知函数 33xxf x(1)利用函数单调性的定义证明 f x是单调递增函数；(2)若对任意1,1x，24f xmfx 恒成立，求实数m的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)4,4【解析】【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.（2）令33xxt，根据 x 的范围，可得 t 的范围，原式等价为 2h ttmt，8 8,3 3t，只需 min4h t 即可，分别讨论823m、88323m 和823m三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案.(1)由已知可得 f x的定义域为R，任取1

18、2,x x R，且12xx，则 12f xf x1122121121333331 313xxxxxxxxx，因为130 x，121103xx，211 30 xx，所以 120f xf x，即 12f xf x，所以 f x在R上是单调递增函数(2)223333xxxxf xmf xm，令33xxt，则当1,1x 时，8 8,3 3t，所以 22f xmfxtmt 令 2h ttmt，8 8,3 3t，则只需 min4h t 当823m，即163m 时，h t在8 8,3 3上单调递增，所以 min86484393h thm，解得256m，与163m 矛盾，舍去；当88323m，即161633m

19、时，h t在8,32m上单调递减，在8,2 3m上单调递增，所以 2min424mmh th ，解得44m；当823m即163m 时，h t在8 8,3 3上单调递减，所以 min 86484393h thm，解得256m ，与163m 矛盾，舍去 综上，实数m的取值范围是4,4 例 15（2022全国高三专题练习（文）已知函数 3(21xf xaa为实常数).（1）讨论函数 f x的奇偶性，并说明理由；（2）当 f x为奇函数时，对任意 1,6x，不等式 2xuf x 恒成立，求实数u的最大值.【答案】（1）函数 f x是奇函数，理由见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）若函数 f x为奇

20、函数，由奇函数的定义可求得a的值；又当32a 时 11ff，且 11ff，函数 f x是非奇非偶函数；（2）对任意 1,6x，不等式 2xuf x 恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数 t，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数 u 的最大值【详解】解：（1）当32a 时 3322302121xxf xfxaa，即 fxf x；故此时函数 f x是奇函数；因当32a 时，11,12fafa，故 11ff，且 11ff 于是此时函数 f x既不是偶函数，也不是奇函数；（2）因 f x是奇函数，故由（1）知32a，从而 33221xfx；由不等式 2xuf x，得33 22221xx

21、xu，令213,65(xt 因 1,6)x，故3133291222tutttt 由于函数 32922ttt在3,65单调递增，所以 min()31t；因此，当不等式 2xuf x 在 1,6x上恒成立时，max1.u 例 16（2022全国高三专题练习（文）已知函数1()421xxf xa（1）若函数()f x在0 x，2上有最大值8，求实数a的值；（2）若方程()0f x 在 1x，2上有解，求实数a的取值范围【答案】（1）5；（2）1718a.【解析】【分析】（1）2()(2)221xxf xa，0 x，2，21x，4，进而讨论a与52的关系求解；（2）1x，2，令122xt，4，2()2

22、10g ttat 在1,42有解，进而求解【详解】解：（1）2()(2)221xxf xa，0 x，2，21x，4，52a时，2()42418maxf xa ，解得258a（舍)52a 时，2()121 18maxf xa ，解得5a，5a；（2）1x，2，令12,42xt，2()210g ttat 在1,42有解，1121222 2ttatt当且仅当122tt，即1t 时等号成立，此时函数2()21g ttt的图象如图，4t 时，a取得最大值178，综上1a，178【点睛】本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题 例

23、 17（2022全国高三专题练习）已知函数2()f xx，1()2xg xm（1）当 1,3x 时，求()f x的值域；（2）若对0,2x，()1g x成立，求实数m的取值范围；（3）若对10,2x，2 1,3x，使得12()()g xf x成立，求实数m的取值范围【答案】（1）0,9；（2）34m；（3）8m.【解析】【分析】（1）由二次函数的性质得出值域；（2）将问题转化为求()g x在0,2的最小值大于或等于 1，再根据指数函数的单调性得出实数m的取值范围；（3）将问题转化为()g x在0,2的最大值小于或等于()f x在 1,3上的最大值 9，从而得出实数m的取值范围【详解】（1）当

24、1,3x 时，函数2()0f xx，9()f x的值域0,9（2）对0,2x，()1g x成立，等价于()g x在0,2的最小值大于或等于 1 而()g x在0,2上单调递减，所以2112m，即34m（3）对10,2x，2 1,3x，使得12()()g xf x成立，等价于()g x在0,2的最大值小于或等于()f x在 1,3上的最大值 9 由19m，8m 【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函

25、数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 题型四：指数函数的综合问题 例18（2022天津河西二模）已知定义在R上的函数()f x满足：2()0fxf x；20f xfx；在1,1上的解析式为 cos,1,021,0,1x xf xx x，则函数()f x与函数1()2xg x的图象在区间3,3上的交点个数为()A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】【分析】由函数的性质作出其图象，再观察交点个数即可得解【详解】由(2)()0fxf x知()f x的图象关于(1,0)对称，由(2)()0f xfx知()f x的图象关于1x 对称，作出()f x与|1()()2xg

26、x 在 3,3上的图象：由图可知函数()f x与函数1()2xg x的图象在区间3,3上的交点个数为 4 故选：B 例 19（2022北京二模）若函数 223,02,0 xxf xxxa的定义域和值域的交集为空集，则正数a的取值范围是（）A0,1 B0,1 C1,4 D2,4【答案】B【解析】【分析】首先得到函数的定义域，再分析当0 x 时 f x的取值，即可得到3a，再对0 xa时分2a 和02a两种情况讨论，求出此时 f x的取值，即可得到 f x的值域，从而得到不等式，解得即可；【详解】解：因为 223,02,0 xxf xxxa，所以 f x的定义域为,a，0a，当0 x 时 23xf

27、 x，则 f x在,0上单调递增，所以 3,4f x；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a，当0 xa时 22f xx，若2a 则 20f，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若02a时 f x在0,a上单调递减，此时 22,4fxa，则 22,43,4fxa，所以2202aaa，解得01a，即0,1a 故选：B 例 20（2022甘肃省武威第一中学模拟预测（文）已知函数 4sin22xxf x，则124043202220222022fff_【答案】4043【解析】【分析】根据题意，化简得到 22f xfx，结合倒序相加法求和，即可求解.【详解】由题意，函数 4sin22xxf x，可

28、得 244sinsin(2)22222xxfxxfxx 2244 242 222242 22222xxxxxx，设124043202220222022Sfff，则404340421202220222022Sfff 两式相加，可得 140432404222022202220222022Sffff 404312 404320222022ff，所以4043S.故答案为：4043.例 21（2022全国高三专题练习）已知函数 f x的定义域为R，满足121f xf x，且当1,1x 时，12xf x，则2020f_【答案】10092【解析】【分析】根据已知条件，求得(2)2()f xf x，结合 0f

29、的值以及递推关系，即可求得结果.【详解】由(1)2(1)f xf x，得(2)2()f xf x，于是 210102020220182201620ffff，又当1,1x 时，12xf x，故可得 102f，则1010100912020222f.故答案为：10092.例 22（2022辽宁建平县实验中学模拟预测）已知函数 221010,231,2xxxfxxx，则不等式 10f xf x的解集为_.【答案】9,2【解析】【分析】分别在2x、23x、34x和4x 的情况下，根据 f x和1f x的解析式和符号依次求解即可.【详解】当2x 时，1 1x，221010 xxf x在,2上单调递增，20

30、f xf，又 1120f xff，10f xf x恒成立；当23x时，112x，3120f xxx，又 120f xf，10f xf x恒成立；当34x时，213x，314f xxx，1413f xxx；110f xf x 恒成立；当4x 时，13x，314f xxx，1415f xxx，1290f xf xx，解得：92x，942x；综上所述：不等式 10f xf x的解集为9,2.故答案为：9,2.例 23（2022江西二模（文）设函数 2,111,12x axf xxx，若 1f是函数 f x的最大值，则实数a的取值范围为_【答案】1,2 【解析】【分析】由1x，求得()f x的范围，再

31、求得|()2x af x的单调性，讨论1a，1a时函数()f x在1x的最大值，即可得到所求范围【详解】解：因为 2,111,12x axf xxx，当1x 时 112fxx 函数单调递减且 12f x，当1x 时 122x ax af x，可得在xa时函数单调递减，在xa单调递增，若1a，1x，则()f x在xa处取得最大值，不符题意；若1a，1x，则()f x在1x 处取得最大值，且11122a，解得12a，综上可得a的范围是1,2 故答案为：1,2 【过关测试】一、单选题 1（2022北京通州模拟预测）已知函数1()33xxf x，则()f x（）A是偶函数，且在R是单调递增 B是奇函数

32、，且在R是单调递增 C是偶函数，且在R是单调递减 D是奇函数，且在R是单调递减【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得；【详解】解：1()33xxf x定义域为R，且 113333xxxxfxf x，所以1()33xxf x为奇函数，又3xy 与13xy 在定义域上单调递增，所以1()33xxf x在R上单调递增；故选：B 2（2022安徽淮南二模（理）1947 年，生物学家 Max Kleiber 发表了一篇题为 body size and metabolicrate的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F

33、c M，其中 F 为基础代谢率，M 为体重若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的 10 倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：4101.7783）（）A5.4 倍 B5.5 倍 C5.6 倍 D5.7 倍【答案】C【解析】【分析】利用幂的运算性质去求解即可解决【详解】设该哺乳动物原体重为1M、基础代谢率为1F，则34101Fc M，经过一段时间生长，其体重为110M，基础代谢率为2F，则3420110FcM 则33334444201011101010FcMcMF，则32341101.77835.6FF 故选：C 3（2022陕西西安中学模拟预测（文）英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将

34、函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：23e126!nxxxxxn，其中R,Nxn，则e的近似值为（精确到0.01）（）A1.63 B1.64 C1.65 D1.66【答案】C【解析】【分析】应用题设泰勒展开式可得 121111e12848!2nn,随着n的增大，数列1!2nn递减且靠后各项无限接近于0，即可估计12e的近似值.【详解】计算前四项，在千分位上四舍五入 由题意知:01231211e111222220!1!2!3!nn 11111.6461.652848 故选：C 4（2022河

35、南洛阳二模（文）已知函数 1331,1log52,1xxfxxx，且 2f m，则6fm（）A26 B16 C16 D26【答案】A【解析】【分析】由分段函数的性质可得当m1时，1312m ，当1m时，3log(5)22m，求出m的值，从而可求出6fm【详解】由题意得 当m1时，1312m ，方程无解，当1m时，3log(5)22m，解得4m ，所以2 16(64)(2)3126fmff，故选：A 5（2022四川成都三模（理）若函数 32log19xxfxxx的零点为0 x，则0091xx（）A13 B1 C3 D2【答案】B【解析】【分析】由已知有1x，根据零点得到03000log19(1

36、)xxxtx，利用指对数的关系及运算性质得到01x 关于 t 的表达式，进而由指数函数的单调性确定 t 值即可.【详解】由题设1x，由0()0f x得：03000log19(1)xxxx，若009(1)xxt，可得002103xtx ，若300log1xtx，可得0201103txx ，综上，0022133xxtt，故1t.故选：B 6（2022河南开封高中模拟预测（文）若关于 x 的不等式221xxaxR有实数解，则实数 a 的取值范围是（）A1,B2,C1,D2,【答案】A【解析】【分析】参变分离得到112xa ，根据指数函数的性质求出112x的取值范围，即可得解；【详解】解：由题知221

37、xxaxR，而21x，所以112xa ，又1012x，所以11 122x 因为关于x的不等式221xxaxR有实数解，即112xa xR有实数解，所以1a，即1,a 故选：A 7（2022四川内江市教育科学研究所三模（理）已知函数()f x满足：对任意xR，1122fxfx 当 1,0)x 时，()31xf x，则3log 90=f（）A19 B19 C1727 D1727【答案】C【解析】【分析】根据1122fxfx 可得 1f xf x，2T，则3310log 90log27ff，将310log27x 代入解析式，即可求解.【详解】因为1122fxfx，则11112222fxfx，即 1f

38、 xf x，所以 21f xf xf x，即2T，所以3331010log 90loglog927fff，因为310log1,027，所以310log273101017log311272727f ，所以317log 9027f，故选：C 8（2022上海宝山二模）关于函数131()(2)2xxf xx和实数,m n的下列结论中正确的是（）A若3mn，则()()f mf n B若0mn，则()()f mf n C若()()f mf n，则22mn D若()()f mf n，则33mn【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自

39、变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可；【详解】解：因为113311()(2)()(2)()22xxxxfxxxf x，所以函数131()(2)2xxf xx是一个偶函数，又0 x 时，122xxy 与13yx是增函数，且函数值为正数，故函数131()(2)2xxf xx在(0,)上是一个增函数 由偶函数的性质得函数在(,0)上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A 选项，由3mn，无法判断m，n离原点的远近，故 A 错误；B 选项，0mn，则m的绝对值大，故其函数值也大，故 B 不对；C 选项

40、是正确的，由()()f mf n，一定得出22mn；D 选项由()()f mf n，可得出|mn，但不能得出33mn，不成立，故选：C 二、多选题 9（2022湖南模拟预测）在同一直角坐标系中，函数xya与log2ayx的图象可能是（）A B C D【答案】BD【解析】【分析】分1a 和01a两种情况讨论两个函数的单调性进行判断.【详解】当1a 时，xya在(,)单调递增且其图象恒过点(0,1)，log2ayx在(2,)单调递增且其图象恒过点(3,0)，则选项 B 符合要求；当01a时，xya在(,)单调递减且其图象恒过点(0,1)，log2ayx在(2,)单调递减且其图象恒过点(3,0)，则

41、选项 D 符合要求；综上所述，选项 B、D 符合要求.故选：BD.10（2022全国模拟预测）已知0ab，下列选项中正确的为（）A若1ab，则1ab B若221ab，则1ab C若22=1ab，则1ab D若22loglog1ab，则1ab 【答案】BC【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质,不等式性质判断【详解】A 错，例如9,4ab满足1ab，便51ab；B 正确，2211ab，1a，又0b，所以1ab，而22()()1abab ab，所以1ab；C 正确，设21am，21bn，1mn，则1mn，1112mnnnn，所以222logloglog1mmnn，即1ab D 错误，222l

42、ogloglog1aabb，2ab，2ab，所以abb，1b不一定成立 故选：BC 11（2022 广东肇庆模拟预测）若ab，则下列不等式中正确的有（）A0ab B22ab Cacbc D22ab【答案】AB【解析】【分析】根据作差法，判断 A;根据指数函数()2xf x 的单调性，判断 B;举反例可说明 C 的正误；同样据反例，判断D.【详解】对于 A 选项，因为ab，所以0ab，故 A 正确；对于 B 选项，因为函数()2xf x 在 R 上单调递增，所以22ab，故 B 正确；对于 C 选项，当0c 时，acbc不成立，故 C 不正确；对于 D 选项，当1a，2b 时，2214ab，故

43、D 不正确,故选:AB.12（2022全国模拟预测）已知函数14sin,01()2,1xxxf xx x，若存在三个实数，使得 123f xf xf x，则（）A123xxx的取值范围为2,3 B 23x f x的取值范围为5,23 C123x x x的取值范围为51,36 2 D 13x f x的取值范围为1,23【答案】ACD【解析】【分析】先作出函数 f x的大致图象，结合题意令 123f xf xf xt，进而得到1x,2x,3x关于t的增减性以及t的取值范围，数形结合分析选项即可得解.【详解】作出函数 f x的大致图象,如图所示，设 123f xf xf xt，数形结合得:13,x

44、x均是关于t的增函数，2x是关于t的减函数，且24t.当01x时，令 2f x，得16x 或56，所以12115626xx，312x，且121xx+，所以1232,3xxx，故 A 正确；不妨设223x，则 2324sin2 33tf xf x，此时 234 323x fx，所以 B 错误；因为121xx+，所以21211111511,2436 4x xxxx，且12x x与3x均为关于t的增函数，所以12351,36 2x x x，故 C 正确；因为1x为关于t的增函数，11162x，324f xt，所以 131,23x f x，故 D 正确.故选：ACD.三、填空题 13（2022安徽淮北

45、一模（理）22log2214log42_.【答案】10【解析】【分析】利用指数幂及对数的运算性质计算即得.【详解】2224log22log222214log422log2424102.故答案为：10.14（2022四川模拟预测（理）已知两个条件：,()()()a bf abf af bR；()f x在(0,)上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数_.【答案】1()2xf x【解析】【分析】对于 f abf a f b符合指数运算的规则，减函数则应是指数函数里的减函数.【详解】由题意：是指数函数里的减函数，故可以是：12xf x，故答案为：12xf x.15（2022河南模拟预测（文）

46、函数 1423xxf x在1,2的值域为_【答案】2,3【解析】【分析】令2xt，结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：2222 23212xxxf x ，设2xt，当1,2x 时，02t，所以22123t，所以 f x在1,2的值域为2,3 故答案为：2,3 16（2022山西二模（理）已知函数 322xxxf x给出下列结论：f x是偶函数；f x在0,上是增函数；若0t，则点,t f t与原点连线的斜率恒为正其中正确结论的序号为_【答案】【解析】【分析】对于：利用偶函数的定义进行证明；对于：取特殊值：2,10ff，否定结论；对于：直接表示出点,t f t与原点连线的斜率为222tt

47、t，并判断2022ttt.【详解】函数 322xxxf x的定义域为,00,.对于：因为 332222xxxxxxfxf x，所以 f x是偶函数.故正确；对于：取特殊值：由 8322211544f，1000101110241024f，得到 210ff，不符合增函数，可得错误；对于：当0t 时，点,t f t与原点连线的斜率为 20022ttf ttt.因为0t，所以21t，所以220tt，所以 200022ttf ttt.故正确；所以正确结论的序号为 故答案为：四、解答题 17（2022全国高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下 车库时进行监测，已知

48、雨水流入过程中，地下车库积水量 y（单位：3m）与时间 t（单位：h）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时 y 与 t 的函数关系式为25tyk（k 为常数），如图所示.(1)求 y 关于 t 的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为 25602m，当积水深度小于等于 0.05m时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？【答案】(1)2000,0125000,15tttyt (2)至少需要经过 3 个小时以后，小区居民才能进入地下车库【解析】【分析】（1）利用1,2000求得y关于t的函数关系式.（2）根据积水深度

49、的要求列不等式，结合指数函数的单调性求得需要等待的时间.(1)由图可知，当01t 时，y=2000t.当 t1 时，25tyk，因为图象经过点1,2000，所以220005k，得 k=5000 所以2000,0125000,15tttyt.(2)令250002.5600.055t，即42128162550006255t，解得4t，因为消防部门从 t=1 时开始排水，故至少需要经过 3 个小时以后，小区居民才能进入地下车库.18（2022全国高三专题练习）（1）计算：1294（9.6）022327283；（2）已知1122aa3，求22112aaaa的值【答案】（1）8336；（2）163【解析

50、】【分析】（1）根据指数幂的运算法则即可求出；（2）根据完全平方公式即可求出【详解】解：（1）原式321233393242 149839436，（2）1122aa3，a+a1（1122aa）227，a2+a2（a+a1）2247，原式47 148167293 19（2022全国高三专题练习）已知 a0，且 a1，若函数 y|ax2|与 y3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围【答案】20,3【解析】【分析】讨论 0a1，作出函数 y|ax2|与 y3a 的图象，由数形结合即可求解.【详解】当 0a1 时，在同一平面直角坐标系中作出函数 y|ax2|与 y3a 的图象如图 1 若直线 y3